در این پایان نامه روش های نیمه تحلیلی از جمله روش تجزیه آدومیان و روش آنالیز هموتوپی را مورد بحث قرار می دهیم و همچنین به بحث در خصوص حل دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری به خصوص دستگاه معادلات کسری ریکاتی با استفاده از این روش ها می پردازیم. سپس مثال هایی را ارائه می کنیم که ثابت می کند روش آدومیان حالت خاصی از روش هموتوپی است و در نتیجه روش آنالیز هموتوپی یک روش کلی است. همچنین قضیه هایی را بیان می نماییم که نشان می دهد تحت فرض های خاص، هر دو روش تجزیه آدومیان و آنالیز هموتوپی همگرا هستند و در حالت کلی همگراییی روش آنالیز هموتوپی سریع تر است. ما همچنین اشاره مختصری به روش آدومیان اصلاح شده می کنیم.

مطالعه دقیق داده های موجود در بازار ما را به این حقیقت مهم رهنمون می سازد که اگر بازده یک سبد سرمایه گذاری حول میانگین نامتقارن باشد، نظریه بهینه سازی کلاسیک سبد ارایه شده توسط مارکویتز (1952)، کارایی لازم را نخواهد داشت. به منظور یافتن راه حلی برای رفع این نقیصه، کونو در سال 1993، روشی را برای افزودن چولگی در تابع هدف پیشنهاد داده است. همچنین بویل در سال 2006، با ارایه تقریب های خطی مناسب از گشتاور مرتبه سوم و همچنین ارایه الگوریتمی کارا برای پیاده سازی این روش، گام عملی مفیدی برای گسترش این ایده در بازار های مالی برداشته است. در این پایان نامه، علاوه بر معرفی روش بویل، ایده هایی برای وارد کردن معیارهای ریسک مختلفی چون ارزش در معرض خطر و ارزش در معرض خطر شرطی به مساله بهینه سازی سبد معرفی می کنیم. به علاوه نشان می دهیم که با رد نظر گرفتن هزینه معامله و افزودن آن به مدلهای اخیر می توان رهیافتی جامع برای حل مساله اتخاب سبد بهینه در دنیای واقعی ارایه کرد.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه ابتدا به اهمیت عدم قطعیت در معادلات ذیفانسیل می پردازیم. سپس اشکال مختلفی که یک معادله دیفرانسیل می تواند شامل عدم قطعیت باشد را بیان می کنیم. کاربردهای توابع پایه ای شعاعی در درونیابی داده های پراکنده در چند بعد و حل معادلات دیفرانسیل معمولی و پاره ای موضوع بعدی این پایان نامه است. چهار روش از جمله روش جواب های اساسی را برای حل معادلات دیفرانسیل ارائه داده و در نهایت از روش توابع پایه ای پعاعی برای حل معادلات دیفرانسیل پاره ای تصادفی استفاده می کنیم. همچنین نحوه بدست آودن میانگین جواب و واریانس را با این روش توضیح می دهیم. چند مثال برای دو دسته از مسائل تصادفی یعنی مسایل مستقل از زمان و مسائل وابسته به زمان را با چها روش گفته شده حل کرده و برای هر مورد متوسط خطا و واریانس نرمال شده را پیدا میکنیم

/ j( %( - d e $ m* e g( 1n . o m* - ) ep j+ o1n . ( - 1q ??+ ??* + / - d e $ e g( 1n . r ( os@ ep ( 5 59* a o5% : 6 /: & 5 & + 6 oep ( a ( 0( + 5< t( oa - ()* -+ -2 - ? g ??= : u 1 ??+ 1n . r ( -2 e6 -+ -2 - ? . v o?? & ( ( /: ()* -+ % - ? ??p - o + * ? e70 s+* ? ??57 m* e g( + -+ 1;w g* ? ( ?? i + * ? o m* - ) ep a ??+ o? ??+ :h :@ -!+ 7w o? ( & ?

ابزارهای مشتقه از جمله مهم ترین اهرم های مالی هستند که برای مدیریت ریسک بکار می روند. همان طور که از نام آن ها پیدا است، ارزش این ابزارها بر اساس دارایی ریسکی دیگر مشخص می شود. بکارگیری این ابزارها بدون قیمت گذاری آن ها ممکن نیست و لذا قیمت گذاری آن ها جزء مهمی از بازارهای مالی می باشد. نقش اختیارات آمریکایی در این عرصه قابل اغماض نیست و بنابراین قیمت گذاری این نوع ابزار بسیار مهم است. سه رهیافت کلی مونت کارلو، دوجمله ای و تفاضلات متناهی برای قیمت گذاری این ابزارها بکار می رود. در این پایان نامه روش اصلاح شده مونت کارلو را برای ارزشیابی انواع مختلفی از اختیارات آمریکایی بکار می بریم. الگوریتم این روش در سال ???? در به صورت ساده بیان شد. اساس این الگوریتم که مونت کارلو-کمترین مربعات نامیده می شود، شبیه سازی و روش مونت کارلو می باشد. در این پایان نامه به بیان و اثبات همگرایی روش پرداختیم و این روش را برای قیمت گذاری اختیارات آمریکایی، اختیارات با مانع آمریکایی و اختیارات آسیایی آمریکایی با بعد پایین بکار بردیم. همچنین در جهت بهبود روش اصلاحاتی روی آن اعمال کردیم و در نهایت از مدل پرش-پخش برای قیمت گذاری اختیارات با این روش استفاده کردیم.

در ادبیات ریاضیات مالی، به علت ناکامل بودن بازار تحت مدل های لوی، قیمت گذاری اختیارات بر مبنای این نوع مدل ها به موضوعی داغ و پراهمیت تبدیل شده است. با استفاده از حسابان تصادفی برای فرآیندهای لوی، می توان معادله انتگرال-دیفرانسیل جزیی ناشی از قیمت گذاری اختیارات مالی، وقتی که دارایی پایه از مدل لوی نمایی پیروی می کند را به دست آورد. هدف این پایان نامه، بررسی و پیاده سازی برخی روش های عددی برای حل این نوع معادلات است. در این رابطه جواب های کلاسیک و ویسکوزیته را در چارچوب روش تفاضل متناهی بررسی خواهیم کرد. به علاوه، با استفاده از تقریب جواب معادلات انتگرال-دیفرانسیل جفت شده حاصل از قیمت گذاری اختیار آمریکایی با مدل تغییر رژیم پرش-پخش، توسط ترکیب خطی از توابع پایه ای شعاعی، به حل عددی این نوع مسائل پرداخته شده است. سرانجام، به عنوان کاربردی دیگر، با شبیه سازی مسیر های نمونه ای قیمت پرش-پخش، قیمت اختیارات آمریکایی بامانع را به روش کمترین مربعات مونت-کارلو محاسبه خواهیم کرد.

در بازارهای مالی، رویداد یا خبر ناگهانی ممکن است باعث کاهش شدید قیمت دارایی شود که به شکاف قیمت معروف است. این شکاف، باعث ایجاد ریسک در سبد سرمایه گذاری می گردد که آن را ریسک شکاف می نامیم. ریسک شکاف اغلب در بیمه سبد با نسبت ثابت مطرح می شود. اختیارات مالی مبتنی بر شکاف قیمت که به اختصار اختیارات شکاف گوییم، رده ای از ابزارهای مشتقه پیچیده محسوب می شوند که دارنده آن را، در برابر حرکت سریع و نزولی بازار، تحت حمایت قرار می دهند. در این پایان نامه، ابتدا به بررسی قیمت دقیق و تقریبی اختیار شکاف می پردازیم. سپس اثرات نرخ بهره تصادفی و نوسانات تصادفی را روی قیمت اختیار شکاف تحلیل می کنیم. در پایان، پوشش ریسک اختیارات به روش پوشش ریسک مرتبه دوم را توضیح می دهیم و پوشش ریسک اختیار شکاف که به وسیله اختیار فروش اروپایی کوتاه مدت انجام می شود را نیز بیان می کنیم.

قیمت گذاری، پوشش و مدیریت ریسک ابزارهای مشتقه از مباحث پر اهمیت در ادبیات مالی محسوب می شوند چرا که این ابزارهای مالی در حال حاضر بطور وسیعی برای انتقال ریسک در بازارهای مالی مورد استفاده قرار می گیرند. در چند دهه گذشته، قیمت گذاری اختیارات به یکی از حوزه های مهم در نظریه مالی مدرن تبدیل شده است. در ابتدا اختیارات با استفاده از فرضیات کلاسیک بلک-شولز قیمت گذاری شده و محاسبات پوشش ریسک آن ها انجام می شد. فرمول بلک-شولز برای قیمت گذاری و پوشش ریسک اختیار از مدل حرکت براونی هندسی استفاده می کند تا دینامیک قیمت دارایی پایه را مدل نماید. این مدل شامل دو پارامتر نرخ مورد انتظار بازده و تلاطم است، با این فرض که هر دو ثابت های مشخصی باشند. با این وجود، تغییرپذیری تصادفی در پارامترهای بازار در مدل بلک-شولز منعکس نمی شود. با استفاده از داده های تجربی ثابت شده است که دینامیک قیمت سهام تحت اندازه فیزیکی از یک فرآیند پیچده تر از حرکت براونی هندسی استاندارد با پارامترهای ثابت پیروی می کند. لذا تعمیم های متعددی از این مدل استاندارد پیشنهاد شده است، از جمله فرآیندهای با رژیم متغیر که برای اولین بار توسط همیلتون (1989) معرفی شدند و در سال های اخیر به یک ابزار مدل سازی بسیار قوی در عرصه ریاضیات مالی تبدیل شده اند. این خانواده از فرآیندها قادر به توصیف نوسانات غیر قابل پیش بینی در بسیاری از متغیرهای مالی از قبیل نرخ بهره، نرخ تبادل ارز، قیمت سهام، تلاطم بازار و غیره هستند. امروزه قیمت گذاری عددی و نیمه-تحلیلی اختیارات مالی مبتنی بر این مدل یکی از مورد توجه ترین مسائل در عرصه ریاضیات مالی محاسباتی محسوب می شود. در این پایان نامه به مطالعه پوشش ریسک و قیمت گذاری اختیاراتی که پارامترهای دارایی ریسکی آن به یک فرآیند مارکف مخفی با مقادیر گسسته وابسته هستند می پردازیم. در نتیجه معادلات دیفرانسیل با مشتقات پار ه ای جفت شده که مدل کننده دینامیک قیمت چندین اختیار است را بدست می آوریم. در ادامه به معرفی روش تفاضل متناهی برای حل این معادلات پرداخته و علاوه بر اثبات ریاضی درستی این روش ها به پیاده سازی آن ها در محیط برنامه نویسی matlab نیز می پردازیم.

مشتقات اعتباری در سال های اخیر، معامله و مدیریت ریسک اعتباری را به کلی دگرگون ساخته و به یک ابزار بسیار مهم برای انتقال و پوشش این نوع ریسک تبدیل شده اند. سوآپ های نکول اعتباری cds و تعهدات بدهی تضمین شده cdo از جمله پرکاربردترین مشتقات اعتباری هستند که قیمت گذاری آنها از مسائل چالش بر انگیز روز در حوزه ی ریاضیات مالی به شمار می رود. در میان رویکردهای مطرح برای قیمت گذاری cdo ها، مدل تک عاملی کاپولای گاوسی، عمدتاً بدلیل کارایی محاسباتی اش، به عنوان روش استاندارد بازار شناخته شده است. ولی با گذشت زمان، این واقعیت بر همگان آشکار شده است که این مدل قادر به توصیف قیمت های مشاهده شده برای برش های مختلف بر روی یک سبد از دارایی ها نیست. در این پایان نامه سعی بر این است که ابتدا نوع خاصی از تعهدات بدهی تضمین شده به نام تعهد بدهی تضمین شده ی ترکیبی و همچنین روش استاندارد قیمت گذاری این قرارداد و نیز مشکلات آن معرفی گردد. سپس دو مورد از تعمیم های این روش یعنی مدل nig و یک مدل جدید مبتنی بر مفهوم کاپولای آمیخته، که از یک توزیع آمیخته ی متشکل از توزیع nig و توزیع نرمال استاندارد بهره می گیرد و مدل m_g-nig نام دارد. از منظر عددی و روش شبیه سازی مونت کارلو مورد بررسی قرار گیرند. در انتها به مبحث بومی سازی این نوع قرارداد و استفاده ی عملی از آن در بازارهای مالی داخلی پرداخته خواهد شد.

مسأله ی انتخاب سبد یکی از مسائل مهم در حوزه ی مدیریت سرمایه گذاری است. اولین مدل برای این مسأله بر مبنای رابطه ی ریسک و بازده توسط مارکوئیتز در سال ???? مطرح شده که به مدل میانگین-واریانس معروف است. وزن های به دست آمده از مدل میانگین-واریانس به پارامترهای ورودی به خصوص بازده های مورد انتظار، بسیار حساس هستند. در این پایان نامه سعی شده است با استفاده از روش های بیزی که قابلیت ترکیب اطلاعات پیشینی سرمایه گذار با اطلاعات حاصل از مشاهدات را دارند، برآورد بهتری از پارامترها برای بهبود نتایج حاصل از مدل میانگین-واریانس صورت گیرد. همچنین مدل بلک-لیترمن به عنوان یکی از مدل های معروف بیزی که سعی در ترکیب دیدگاه های سرمایه گذار با اطلاعات بازار دارد، مورد بررسی قرار گرفته است. طبق اصل کلی فون نویمن و مورگن اشترن سرمایه گذاران وزن های بهینه ی سبد را با ماکزیمم سازی مطلوبیت مورد انتظار ثروت خود با توجه به یک تابع مطلوبیت غیر نزولی به دست می آورند که در این پایان نامه از تابع مطلوبیت نمایی استفاده شده است. چون توزیع پسینی تعدادی از مدل های بیزی که بررسی شده اند شکل بسته نداشته اند، لذا روش نمونه گیری گیبس برای استنباط مورد استفاده قرار گرفته است. همه ی مدل ها نیز با استفاده از داده های واقعی بازار مورد بررسی قرار گرفته اند.

در ریاضیات مالی و بخصوص مبحث اندازه گیری ریسک های مالی، «ارزش در معرض خطر» یک اندازه ریسک شناخته شده و بسیار مورد استفاده در محاسبه ی ریسک یک سبد خاص از دارائی های مالی است. برای یک سبد معلوم ، یک سطح احتمال معین و یک افق زمانی داده شده، ارزش در معرض خطر به صورت آن مقدار آستانه ای تعریف می شود که احتمال اینکه ضرر سبد در طول افق زمانی فوق از این مقدار بیشتر شود، همان سطح احتمال داده شده باشد. هزینه های محاسباتی برای بدست آوردن تخمین های دقیق از این اندازه ریسک با استفاده از روش شبیه سازی مونت-کارلو که یکی از روش های مطرح در این حوزه می باشد، اغلب بالا است. هدف این پایان نامه، بررسی و پیاده سازی برخی تکنیک های کاهش واریانس برای افزایش کارایی روش شبیه سازی مونت-کارلو جهت تخمین دو اندازه ریسک ارزش در معرض خطر و « ارزش در معرض خطر شرطی» است. این تکنیک ها روی «تقریب دلتا-گاما» که بسط سری تیلر مرتبه دوم از عوامل ریسک بازار است، پایه ریزی شده اند و به طور قابل توجهی باعث کاهش واریانس و تسریع روش شبیه سازی مونت-کارلو خواهند شد. در ادامه به بررسی تلاطم بازار به عنوان یکی از عوامل ریسک می پردازیم و الگوریتمی کارا برای تخمین دقیق معیار ریسک ارزش در معرض خطر معرفی می کنیم. در انتها به کاربرد تقریب دلتا-گاما در مسائل بهینه سازی سبد سرمایه با تابع هدف مینیمم کردن ارزش در معرض خطر سبد می پردازیم.

یک «سفارش محدود» در یک بازار مالی، سفارشی جهت خرید یا فروش تعداد مشخصی از سهام یک شرکت با قیمتی مشخص است. دفتر سفارشات محدود در این بازار، در بر دارنده تمامی سفارشات محدود و تغییرات ایجاد شده در آنها بر اثر ورود سفارشات جدید (با تطبیق دادن سفارشات جدید در مقابل سفارشات قدیمی تر) است. با وجود اینکه امروزه در بسیاری از بازارهای مالی از این روش جهت مدیریت معاملات استفاده می شود، هنوز دینامیک این دفتر برای محققان عرصه مالی به طور کامل شناخته شده نیست. در این پایان نامه، یک مدل تصادفی پیوسته-زمان برای دینامیک دفتر سفارشات محدود ارائه می شود که در مقایسه با دیگر مدل های موجود در این عرصه از مزایای زیادی از جمله منطبق بودن بر داده های واقعی، قابلیت انجام محاسبات تحلیلی و سریع بودن محاسبه کمیت های مورد نظر برخوردار است. برای تشخیص میزان دقت توصیف های فراهم شده به وسیله مدل، ویژگی های دفتر شبیه سازی شده توسط مدل با ویژگی های مشاهده شده در مطالعات تجربی مقایسه خواهند شد. یک انگیزه مهم برای مدل سازی دینامیک دفتر سفارشات محدود، استفاده از اطلاعات فراهم شده به وسیله دفتر سفارشات برای پیش بینی رفتار کوتاه مدت کمیت های مختلفی است که در اجرای معاملات و معاملات الگوریتمی مفید هستند. برای این منظور با استفاده از محاسبات ماتریسی ساده و روش های تبدیل لاپلاس، احتمالات شرطی پیشامدهای مختلف به شرط وضعیت معلومی از دفتر سفارشات، محاسبه و پیاده سازی می شوند. در ادامه، نتایج بدست آمده از این روش ها با نتایج حاصل از روش شبیه سازی مونت-کارلو مقایسه خواهد شد.

در ریاضیات مالی همواره قیمت گذاری دارایی های مالی از اهمیت خاصی برخوردار بوده است. به همین منظور نظریه های بسیاری گسترش پیدا کرده است که از جمله آنها می توان به نظریه بازار کارا اشاره کرد. در این نظریه، مفروضاتی چون بیشینه سازی مطلوبیت مورد انتظار و عقلانیت کامل برای سرمایه گذاران در نظر گرفته می شود که با واقعیت های بازار در تناقض است. جهت رفع این مشکل، در سال های اخیر مدل هایی از بازار ارائه شده است که در آنها رفتار یک عامل نوعی (agent) و یا گروهی از عوامل با این فرض که آنها از «عقلانیت محدود» تبعیت می کنند، بررسی شده است. مدلی که در این پایان نامه معرفی خواهد شد، یک مدل مبتنی بر عامل است که به بررسی و پارامتری کردن دو فاکتور انگیزشی روان شناختی در تصمیم گیری های مالی تحت عناوین «ترس از قرار گرفتن در اقلیت» و «بازنگری در موقعیت مالی» می پردازد و بر این اساس مدلی برای تغییرات قیمت دارایی زمینه ای در بازار ارائه می شود. اولین فاکتور، استرس ناشی از باقیماندن در موقعیت اقلیت خرید یا فروش نسبت به تمایلات سراسری بازار است که پیوستن به اکثریت بازار را در پی دارد. این الگوی رفتاری در ادبیات مالی تحت عنوان «رفتار توده وار» نامیده می شود. دومین فاکتور ناظر بر افزایش تمایل عاملان در بازنگری موقعیت سرمایه گذاری خود بنا بر شرایط بازار است که این بازنگری در موقعیت به منظور کاهش زیان و یا بدست آوردن سود صورت می گیرد و می توان از آن به عنوان یک استراتژی معاملاتی نام برد. برای هر یک از این فاکتورها و هر یک از عامل ها در مدل، یک سطح آستانه ای در نظر گرفته می شود و هرگاه عاملی از سطح آستانه ای متناظرش برای هریک از فاکتورها عبور کند، موقعیت آن عامل در بازار تغییر می کند که این امر منجر به تغییر قیمت دارایی زمینه ای می شود. با انجام شبیه سازی های عددی متعدد نشان می دهیم که با در نظر گرفتن تنها دو فاکتور انگیزشی می توان واقعیت های ساختاری داده های واقعی بازار از جمله دم کلفت توزیع بازده، کشیدگی اضافی، عدم همبستگی بازده های قیمت و خوشه بندی تلاطم در بازه زمانی کوتاه مدت (چند روزه) را بازسازی کرد. به علاوه با اضافه کردن یک پارامتر اضافی، تأثیر نوسانات معامله گران با دوره معامله کوتاه مدت بر روی قیمت نهایی مطالعه می شود که این پارامتر اضافی منجر به بازسازی ویژگی همبستگی بلند مدت تلاطم خواهد شد. مفهوم وابستگی دوربرد یکی از ویژگی های مهم سری های زمانی مالی است که وجود آن توسط پارامتری به نام نمای هرست بررسی می شود. این پارامتر را با استفاده از الگوریتم های موجود برای بازده و نوسانات قیمت تخمین می زنیم که در نتیجه وجود وابستگی دوربرد در تلاطم مشاهده می شود. سپس به معرفی فرآیند پرش- پخش پرداخته و قیمت دارایی را با استفاده از این فرآیندها مدل سازی می کنیم.

آربیتراژ آماری یکی از راهبردهای معاملاتی پرکاربرد در چهارچوب معاملات الگوریتمی است که با بهره گیری از ناهنجاری های مقطعی رخ داده در دینامیک قیمتی دو یا چند دارایی مرتبط با هم، به طرح ریزی استراتژی های سودآور می پردازد. رایج ترین رهیافت آربیتراژ آماری، یک استراتژی تحت عنوان «معاملات جفتی» است که از دهه ی ?? میلادی در بازارهای مالی جهانی مطرح شده است. این معامله، بر یک جفت دارایی با خواص آماری مشابه متمرکز است بطوریکه اختلاف قیمت آن ها دارای یک رابطه ی تعادلی طولانی مدت می باشد. انحراف کوتاه مدت قیمت هر دارایی نسبت به این تعادل، سبب یک ناهنجاری شده که با تکنیک های برنامه ریزی شده قابل کشف هستند. در وقوع این ناهنجاری، موقعیت خرید در دارایی کاهش یافته و موقعیت فروش استقراضی در دارایی افزایش یافته اتخاذ می شود و پس از آنکه قیمت دارایی ها به رابطه ی بلند مدت خود بازگشتند، این موقعیت ها با معامله ای معکوس بسته خواهند شد. سود این استراتژی صرف نظر از جریانات بازار، از اختلاف کوتاه مدت در قیمت های این دو دارایی حاصل می شود که بیانگر یک استراتژی سرمایه گذاری بازار-خنثی است. در این پایان نامه، به بررسی یک مسئله ی بهینه سازی سبد، متشکل از دو سهم در قالب جفت و یک دارایی بدون ریسک می پردازیم. در توصیف دینامیک هر دو دارایی، عوامل پرش را با استفاده از سه فرآیند پواسون مستقل لحاظ می کنیم بطوریکه یکی از سه فرآیند، بیانگر وقوع پرش ها ی مشترک بین دارایی ها است. برای مدل سازی تفاضل لگاریتم قیمت های دارایی ها از یک فرآیند تصادفی پایا و دارای خاصیت بازگشت به میانگین در قالب یک فرآیند اورنشتاین-اولنبک استفاده می کنیم و سپس از آن برای فرموله کردن مسئله ی بهینه سازی سبد، بر اساس مسئله ی کنترل تصادفی بهره می گیریم. معادله ی هامیلتون-ژاکوبی-بلمن متناظر با مسئله ی کنترل بهینه ی تصادفی، یک معادله ی دیفرانسیل پاره ای مرتبه دوم، توأم با یک مسئله ی بهینه سازی است. دشواری محاسباتی در حل این معادله، منجر به کاربرد روش های عددی می شود که در این پایان نامه دو روش عددی بکار می گیریم. روش اول، برگرفته از یک الگوریتم تقریب متوالی است که توسط آن معادله ی هامیلتون-ژاکوبی-بلمن به دو قسمت، شامل یک مسئله ی مقدار مرزی و یک مسئله ی بهینه سازی تجزیه می شود و می توان با بهره گیری از روش های عددی استاندارد و با تکرار الگوریتم به محاسبه ی استراتژی بهینه ی سبد معاملات جفتی پرداخت. روش دوم، مبتنی بر نظریه ی توابع پایه ای شعاعی است که در آن، با بسط تابع ارزش منطبق بر معادله ی هامیلتون-ژاکوبی-بلمن بر حسب توابع پایه ای شعاعی، استراتژی بهینه محاسبه می شود. هر دو روش، بر روی داده های واقعی برای یک جفت سهام خاص اعمال می شود و مقایسه ای بین نتایج آن ها صورت می پذیرد که ارائه کننده ی کارایی دو روش برای حل مسئله است. در انتها، با اعمال استراتژی بهینه ی محاسبه شده بر روی داده های مربوط به دو شرکت ایرانی، ارزش سبد در طی یک دوره ی زمانی خاص تعیین می شود که نتیجه ی مطلوبی در مقایسه با سرمایه گذاری در دارایی بدون ریسک به همراه خواهد داشت.

قیمت در بازارهای برق نوسان زیادی دارد. سری زمانی میانگین قیمت روزانه ی برق توسط الگوهای فصلی، بازگشت به میانگین، پرش ها و فرآیند رژیم متغیر مدل سازی می شود. در بازار برق، اختیارهای نوسانی می توانند از صاحبان آن ها در برابر نوسان های روزانه ی قیمت محافظت کنند. در سال 2010 وهاب و همکاران در مقاله ای با عنوان قیمت گذاری اختیار نوسانی در بازار برق تحت فرآیند رژیم متغیر، مدلی را برای دینامیک قیمت برق ارائه کردند و با استفاده از روش شبکه ای هفت جمله ای اختیار نوسانی را قیمت گذاری کردند. در این پایان نامه، ما مدل جدیدی را برای دینامیک قیمت برق ارائه می کنیم و اختیار نوسانی را با استفاده از روش شبکه ای هفت جمله ای قیمت گذاری می کنیم. در ادامه با استفاده از شبیه سازی های عددی متنوع روش را توضیح داده و نتایج بدست آمده از شبیه سازی های عددی دو مدل را با هم مقایسه می کنیم. در پایان روش مونت کارلو-کمترین مربعات را برای تخمین قیمت اختیار نوسانی تشریح می کنیم.

با توجه به اهمیت مشتقات مالی به خصوص اختیار معامله در بازارهای مالی، قیمت گذاری این گونه قراردادها به یک مسئله ی چالش برانگیز در ریاضیات مالی تبدیل شده است. با توجه به دینامیک قیمت دارایی پایه ی اختیار مسئله ی قیمت گذاری اختیار را می توان به صورت یک معادله یا دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی یا انتگرال-دیفرانسیل جزئی فرمول بندی کرد. بدست آوردن یک جواب تحلیلی برای این چنین معادلات قیمت گذاری اغلب کار دشواری است از این رو از روش های عددی برای تقریب جواب این معادلات استفاده می کنیم. روش های مختلفی برای حل این چنین معادلاتی از قبیل روش تفاضلات متناهی، روش عناصر متناهی و ... وجود دارد. یک ایده ی کلی برای اکثر روش های عددی ارائه شده برای حل این گونه معادلات قیمت گذاری این است که جواب معادله را روی یک دنباله از توابع پایه ای تصویر کنیم، به چنین روش هایی روش های تصویری گویند. در روش های تصویری انتخاب توابع پایه ای اهمیت زیادی در کارایی عددی روش دارد. در این پایان نامه ما به معرفی روش پایه ی کاهیده می پردازیم و یک روش پایه ی کاهیده برای حل مسئله ی قیمت گذاری اختیار مبتنی بر جواب های معادله ی بلک-شولز را مورد بررسی قرار می دهیم. چگونگی پیاده سازی، همگرایی و دقت این روش پایه ی کاهیده را برای مدل های پخش و پرش-پخش مورد بررسی قرار می دهیم. در نهایت این روش را برای مدل های با رژیم متغیر تعمیم می دهیم.

مسأله انتخاب سبد در بازارهای مالی یکی از موضوعات مهم در ریاضیات مالی است. اولین و معروف ترین مدل شناخته شده برای انتخاب سبد, مدل میانگین-واریانس مارکویتز (1952) است. در این مدل پارامترهای مورد نیاز, میانگین بازده ها و ماتریس واریانس-کواریانس بین بازده ها است. در بسیاری از موارد در بازارهای مالی ورودی های مدل میانگین-واریانس ناشناخته هستند و ناگزیر به برآورد آنها هستیم که این برآورد بر روی وزن های به دست آمده از این مدل تأثیر می گذارد. بنابراین سبد کارایی که ما به دنبال آن هستیم ممکن است جواب واقعی مسأله نباشد. در بهینه سازی استوار ما به مدلی می پردازیم که با در نظر گرفتن عدم قطعیت روی ورودی های مدل مارکویتز سعی در حل مسأله دارد. در این پایان نامه خطای برآورد را بر روی پارامتر ورودی میانگین بازده ها در نظر گرفته و خطای برآورد ماتریس واریانس-کواریانس را ناچیز در نظر می گیریم. دو مدل کمینه-بیشینه-میانگین-واریانس و ارزش در معرض خطر شرطی-میانگین-واریانس را معرفی می کنیم. در مدل کمینه-بیشینه-میانگین-واریانس تمرکز بر روی بدترین سناریو در بین مجموعه عدم قطعیت میانگین بازده ها است. منظور از سناریو ضعیف یا بدترین سناریو از میانگین بازده ها, بردار میانگین با حداقل یا حداکثر مقدار است. ترکیب سبد استوار کمینه-بیشینه به دست آمده می تواند بسیار محافظه کارانه باشد و توانایی رسیدن به بیشترین بازده را نداشته باشد. تنظیم سطح محافظه کاری سبد فوق, تنها به وسیله نادیده گرفتن سناریوهای ضعیف میانگین بازده ها از مجموعه های عدم قطعیت صورت می گیرد. در این پایان نامه روش بهینه سازی استوار ارزش در معرض خطر شرطی میانگین-واریانس پیشنهاد می شود که در آن خطای برآورد در میانگین بازده ها به وسیله ی ارزش در معرض خطر شرطی اندازه گیری می شود. همچنین سبد کمینه-بیشینه (با مجموعه عدم قطعیت بازه ای روی میانگین بازده ها) را با سبد استوار ارزش در معرض خطر شرطی از نظر کارایی سبدها, تغییرات مرزها با ورودی های تحقق یافته و تنوع پذیری در سبدها مقایسه می کنیم. سرانجام یک روش محاسباتی کارا برای حل مسأله بهینه سازی مدل استوار ارزش در معرض خطر شرطی میانگین-واریانس ارائه می شود. در ادامه سبدهای میانگین-ارزش در معرض خطر شرطی و ارزش در معرض خطر شرطی-میانگین-ارزش در معرض خطر شرطی را بصورت مختصر بررسی می کنیم. همچنین سبدهای استوار کمینه-بیشینه-میانگین-انحراف مطلق ارزش در معرض خطر شرطی-میانگین-انحراف مطلق را معرفی و مورد بررسی قرار دادیم.

در بازارهای مالی، قیمت یک ورق ریسکی به وسیله بازار سازان بر اساس تقاضای مازاد تعاملات عامل-های غیرهمگن تعیین می گردد. این عامل ها، چارتیست ها و فاندامنتال ها هستند که سفارش های آن ها بر مبنای تفاوت بین تخمین ها در مورد قیمت آتی بوده به طوری که چارتیست ها متکی به قوانین وجود روند عمل می کنند و فاندامنتال ها فرض می کنند که دارای اطلاعات در مورد فضای اقتصادی هستند و بر این اساس نظرات خود را شکل می دهند. اگر قیمت در بلند مدت با مقادیر پیش بینی شده فاندامنتال ها فاصله زیادی داشته باشد، فاندامنتال ها اطمینان خود را از پیش بینی ها کاهش داده و وزن بالایی به بازگشت قیمت به قیمت بنیادی می دهند. در حقیقت در بازار مالی شاهد سناریوهای دینامیک مختلفی هستیم که با توجه به تعاملات عامل های ناهمگن شکل گرفته است. بر این اساس در این تحقیق به توسعه یک مدل دینامیکی سه بعدی زمان گسسته با هدف پوشش مجموعه کاملی از سناریوهای دینامیک پرداخته شده است. نتایج حاصل از این تحقیق به دو بخش تقسیم شده است. در بخش اول به شبیه سازی کمی رفتارهای دینامیک و شناسایی جذب کننده های همزمان پرداخته می شود و در بخش دوم به بررسی تاثیر حالت بازار (نسبت هر یک از دو عامل چارتیست و فاندامنتالیست در بازار) و عامل های با استراتژی به روز شونده (افرادی که بر اساس نسبت سودی که برای هر استراتژی شناسایی می کنند، استراتژی خود را تغییر می دهند) بر رفتار قیمتی بازار پرداخته می شود.

اندازه گیری ریسک یکی از مباحث اصلی در ریاضیات مالی و آمار بیمه محسوب می شود. در طول سال های اخیر معیارهای ریسک مختلفی در ادبیات مربوطه معرفی شده و مورد بررسی قرار گرفته اند. امروزه برای محققان روشن شده است که «ارزش درمعرض خطر» به عنوان یکی از معیارهای ریسک در خاصیت زیرجمعی که یکی از معیارهای مهم برای تنوع بخشی به سبد محسوب می شود، صدق نمی کند. همچنین این معیار ریسک عمومأ برای افق های زمانی کوتاه مدت و برای سبدی با ساختار ثابت در این بازه تعریف می شود. کمیته بازل به عنوان مرجع جهانی مدیریت ریسک های بانکی در پیمان بازل 2.5 و 3، اندازه ریسک جدیدی تحت عنوان «هزینه ریسک افزایشی» معرفی کرده است که برخلاف ارزش در معرض خطر، برای محاسبه ریسک سبدی از دارایی ها در افق های زمانی طولانی مدت (معمولأ یک ساله) استفاده می شود. این اندازه ریسک مبتنی بر تعدیل مجدد ساختار سبد به طور پویا و تا رسیدن به سطح معینی از ریسک تحت قیودی بر روی تعداد تکرارهای این تعدیل می باشد. در این پایان نامه به اثرات تکرار فرایند تعدیل مجدد بر روی توزیع سود و زیان سبد در طول افق زمانی مدیریت ریسک می پردازیم. همچنین مبحث همگرائی این فرایند گسسته به نسخه پیوسته را در مدل پخش، پرش-پخش و بازگشت به میانگین به صورت نظری بررسی می کنیم.

مبحث قیمت گذاری اختیار به عنوان یکی از سه رکن اساسی ریاضیات مالی در کنار بهینه سازی سبد سرمایه و مدیریت ریسک اعتباری از اهمیت و جایگاه خاصی در عرصه مالی برخوردار است. در این میان مسئله ی قیمت گذاری اختیارهای چند متغیره به دلیل پیچیدگی ساختار تابع پرداخت نهایی و نیز بر هم کنش دینامیک قیمت دارایی ها بر روی یکدیگر، تبدیل به یکی از مسائل چالش برانگیز و دارای کاربرد فراوان در این عرصه شده است. در این پایان نامه به قیمت گذاری بدون آربیتراژ اختیارهایی از جنس اروپایی بر روی دو دارایی بر اساس تابع مفصل می پردازیم. تابع پرداخت نهایی این اختیارها وابسته به دو متغیر تصادفی که این متغیرها می توانند قیمت دو دارایی در زمان انقضاء یا برخی عوامل ریسکی دیگر مانند زمان های نکول کوپن های یک ورق قرضه باشند که ارزش اختیار را تحت تا?ثیر قرار می دهند. با توجه به نامعلوم بودن تابع توزیع توا?م و پیچیده بودن تخمین آن، با استفاده از فرمول مشهور «بریدن-لیتزنبرگر» و با در اختیار داشتن قیمت انتهایی هر دارایی و قیمت اختیار تک دارایی های معامله شده روی آن ها می توان تابع توزیع حاشیه ای را محاسبه کرد. حال با معلوم بودن توابع توزیع حاشیه ای می توان تابع مفصل متناظر با آن ها (تابع مفصل) را محاسبه کرد و با در دست داشتن آن، کران های فرشه-هوفدینگ را بدست آورد. هرگاه اطلاعات اضافی در مورد ساختارهای وابستگی چون معیارهای پیوند ?-کندال و ?-اسپیرمن معلوم باشند و یا مقادیر تابع مفصل در زیر مجموعه ی مفروضی از مربع واحد را در اختیار داشته باشیم، می توانیم کران های بهبود یافته ی فرشه-هوفدینگ را بدست آوریم. در ادامه با استفاده از این نتایج، کران های رها از مدل را برای قیمت اختیار بسته شده روی دو دارایی را بدست می آوریم. هم چنین قیمت گذاری چندین اختیار دو متغیره مانند اختیارات دیجیتال دو متغیره، اختیار روی مینیمم دو دارایی و اختیار مبادله ی یک دارایی با دارایی دیگر را بر اساس تابع مفصل و کران های فرشه مورد بررسی قرار می دهیم.

با حضور معادلات دیفرانسیل تأخیری تصادفی در حوزه هایی چون مکانیک، اقتصاد، مالی، زیست شناسی، روان شناسی و... که در حالت کلی توزیع فرآیند تصادفی یا توابع لازم وابسته به آن در دسترس نیست، انگیزه پرداختن به روش های عددی به منظور تقریب مطلوب های این مسائل افزایش می یابد. برخی از نویسندگان روش های تک گامی و چند گامی در معانی همگرایی قوی و ضعیف تحت شرایطی که معادله به اندازه کافی هموار است پیشنهاد داده اند. می دانیم طرح های تطبیقی خطای روش را کنترل می کنند و همراه با مدیریت هزینه های محاسباتی، نتایج عددی را در سطح بالاتری از دقت نسبت به حالت غیر تطبیقی ارائه می کنند.در این راستا یک نوع طرح اویلر ماریامای ضعیف پیوسته که به طور ذاتی یک خروجی چگال فراهم می آورد، مورد استفاده قرار می گردد و تخمین خطای موضعی پیشین با استفاده از نظریه در خت های ریشه دار بدست می آید و سپس با استفاده از مفهوم فلوهای تصادفی، تخمینی از خطای سراسری ارائه می شود. قابل توجه است این تحقیق یک کار پیشتاز در مجموعه طرح های تطبیقی تطبیقی برای معادلات دیفرانسیل تأخیری تصادفی است که خطای تقریب را کنترل می کند و نتایج بست آمده است تأثیر مثبت تکنیک تطبیقی را در برقراری تناسب با آستانه خطا تأیید می کند. امید است این کار انگیزه و راهنمایی برای توسعه و طراحی بسته های الگوریتم تطبیقی به منظور حل عددی معادلات دیفرانسیل تابعی تصادفی در حالت کلی باشد. به عنوان موضوع دوم، بسیاری از معادلات دیفرانسیل تأخیری تصادفی شرایط مساعدی ندارند یعنی در حقیقت به اندازه کافی هموار نیستند و به مسائل با فرضیات غیر استاندارد موسوم اند. در این راستا یک معادله دیفرانسیل تأخیری تصادفی با تابع تأخیر به زمان وابسته که ضرایب معادله دیفرانسیل تأخیری تصادفی، لیپ شیتس موضعی اند و ممکن است غیر خطی باشند در نظر گرفته می شود. در ادامه یک نوع اویلرماریامای پیوسته جدید به منظور تقریب فرآیند تصادفی جواب ارائه و همگرایی مسیری این طرح عددی بررسی و اثبات می شود. قابل ذکر است این نوع از همگرایی در حل عددی مسائلی که فرآیند تصادفی انتگرال پذیر نیست و علاوه براین در حوزه هایی چون سیستم هایی دینامیکی تصادفی ک دارای رفتار مسیری اند، کاراست.

در بررسی سری های زمانی مربوط به بازارهای مختلف اعم از دارایی های مالی و کالا، به سری های زمانی برمی خوریم که مربوط به مشاهدات دارای جهش و پرش های ناگهانی بوده و در دارایی های خاصی رخ می دهد. وجود این گونه داده ها باعث پیچیدگی های تخمین مدل شده و نیازمند روش های تخمین مناسبی است. این گونه سری های زمانی در قالب مدل های مارکف رژیم متغیر و یا به صورت مدل های پنهان مارکف بیان می شوند. مدل مارکف رژیم متغیر مدلی است که در آن سری زمانی به چند رژیم یا حالت مجزا تقسیم شده و هریک از رژیم ها پارامترهای خاص خود را داراست. از جمله این سری ها، سری های زمانی مربوط به بازارهای انرژی است. پس از خصوصی سازی بازارهای انرژی در سطح جهان و ایجاد بازار رقابتی، عرضه و تقاضای برق موجبات تغییرات شدید و ناگهانی را در سطح قیمت نقدی به وجود آوردند و درنتیجه مسائل مربوط به مدیریت پرتفو و پوشش ریسک مربوطه اش با پیچیدگی ها و دشواری های خاصی روبرو گشت. در این بازارها، تغییرات قیمت شدیداً وابسته به آب وهوا، منطقه جغرافیایی و تکنولوژی حاشیه ای تولید کننده است. در پژوهش حاضر ما به بررسی مدل قیمت نقدی برق با استفاده از مدل های مارکف رژیم متغیر می پردازیم. به علاوه نشان می دهیم که الگوریتم مناسبی با سرعت کافی تخمین وجود دارد که در آن پارامترها با انحراف معیار بسیار کوچکی بدست می آیند.

گسترش اقتصاد دانش بنیان و اهمیت مساله تأمین مالی این شرکت ها موجب پیشرفت هر چه بیشتر سرمایه گذاری خطرپذیر شده است. سرمایه گذار خطرپذیر، معمولاً در طرح ها و شرکت هایی با پتانسیل رشد بالا، سرمایه گذاری فعال می کند و علاوه بر تأمین مالی، کمک های فنی و بازاری مورد نیاز را نیز ارائه می دهد. مهم ترین طیف درگیر در فرایند تامین مالی مخاطره پذیر، کارآفرین (به عنوان دارنده ایده جدید) و سرمایه گذار خطرپذیر (به عنوان شرکت تامین مالی کننده) هستند. ارزش طرح به مثابه آورده صاحب آن قلمداد می شود؛ از این رو برآورد ارزش دقیق طرح از اهمیت بسزایی برخوردار می باشد. در تحقیقات پیشین از اختیارات حقیقی - و نوع خاص آن اختیار معامله قسطی- برای ارزش گذاری طرح های سرمایه گذاری خطرپذیر استفاده شده است. اختیار معامله قسطی همان اختیار برمودایی است با این تفاوت که هزینه اولیه آن به جای پراخت یک باره، به صورت قسطی و در طول زمان پخش می گردد. اگر همه اقساط پرداخت شوند، دارنده اختیار در زمان سررسید، ارزش ذاتی اختیار را دریافت می کند. به هر حال دارنده اختیار، این حق را دارد که از پرداخت اقساط خودداری کند؛ در این صورت اختیار معامله فسخ می شود و تعهدات دو طرف معامله از بین می رود. در اختیار برمودایی چندین زمان گسسته در نظر گرفته می شود که دارنده اختیار حق اعمال اختیار را فقط در آن زمان های تعیین شده دارد (برخلاف اختیار آمریکایی که در طول عمر اختیار، اعمال امکان پذیر است). در این پژوهش تنها با در نظر گرفتن فرض عدم آربیتراژ، کران بالا و پایینی برای ارزش گذاری اختیار معامله قسطی در دو حالت گسسته و پیوسته، به دست آمده است و از آن کران ها برای ارزش گذاری طرح های سرمایه گذاری خطرپذیر استفاده شده است. با استفاده از شبیه سازی مونت کارلو نشان داده ایم که کران های به دست آمده در این مقاله از کران به دست آمده توسط دیویس و همکارنش کاراتر است. همچنین با استفاده از روش عددی مونت کارلو با رویه حداقل مربعات ( لانگ اشتاف-شوارتز)، ارزش اختیار معامله قسطی را محاسبه کرده و با کران های به دست آمده مقایسه نموده ایم. در نهایت، در حالت پیوسته با استفاده از داده های واقعی بازار به بررسی کیفیت کران های به دست آمده پرداخته و این کران ها را با ارزش دقیق اختیار معامله قسطی ویستاپ و همکارنش مقایسه کرده و با توجه به عدم کارایی ارزش گذاری دقیق ویستاپ – به دلیل استفاده از فروض غیر منطقی بلک-شولز در به دست آوردن ارزش دقیق- نیاز به کران های ارائه شده در این پژوهش را نتیجه گیری نموده ایم.

فرض اساسی در مدل بلک-شولز این است که قیمت سهام از یک فرآیند تصادفی (حرکت براونی) پیروی می کند و درصد تغییرات قیمت سهام در یک دوره زمانی کوتاه مدت دارای توزیع نرمال می باشد. پس از کشف حرکت براونی کسری، معادله بلک-شولز کلاسیک به معادله بلک-شولز کسری توسعه یافت. در حالت کلی مدل بلک-شولز کسری، (با استفاده از فرمول ایتو کسری)، یک معادله دیفرانسیل جزئی با پارامتر هارست و در حالت خاص یک معادله دیفرانسیل جزئی کسری نسبت به زمان است. در این رساله مروری بر تغییرات نسبی قیمت سهام در یک بازار بلک-شولز و همچنین ‎یک بازار بلک-شولز کسری با استفاده از روش منت-کارلو انجام شده است.

چکیده ندارد.

معادلات دیفرانسیل تأخیری در بسیاری از حوزه های علوم و مهندسی ظاهر می شوند. به عنوان مثال دینامیک جمعیت، همه گیری بیماری ها، سینتیک فرآیندهای دارویی و زیستی، مسأله دو جسم در الکترودینامیک، کنترل جهت یابی کشتی ها و هواپیماها توسط این معادلات بیان می شوند.در برخی از مدل های ساده این معادلات جواب دقیق را می توان یافت اما در بیشتر معادلات مشکل تر یافتن جواب دقیق امکان پذیر نیست ، لذا تقریب جواب از اهمیت بالایی برخوردار است. در چند دهه اخیر در دنیای علم ومهندسی روش انتخابی برای حل معادلات تأخیری محدئود به توسیع پیئسته روش های موجود برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی به ویژه روش های رونگه-کوتای صریح پیوسته بوده است، اما مشکلات ذاتی موجود در ای معادلات باعث کاهش مرتبه دقت در تعمیم این روش ها می شود.هم چنین لزوم گسسته سازی مناسب برای یافتن نقاط ناپیوستگی و کنترل خطای موضعی برای بالا بردن دقت تقریب، از مشکلات اصلی در استفاده از این روش ها می باشد. در سال های اخیر علاقه زیادی به گسترش روش های بدون مش برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و پاره ای وجود داشته است. در 1990 کانزا یک روش هم مکانی به کمک توابع پایه ای شعاعی برای حل این معادلات معرفی کرد. یکی از فواید این روش توانایی استفاده از ساختار نامنظم نقاط است.به دلیل اینکه ساختار هندسی فضاهای د بعدی و سه بعدی شبیه هم هستند پیاده سازی این روش به آسانی انجام پذیر بوده و حجم کد لازم نیز بسیار کمتر از روش های دیگر است. هم چنین به دلیل بالا بودن مرتبه همگرایی این روش می توان از نقاط گره ای کمتری در مقایسه با دیگر روش های مشابه استفاده کرد. به طور کلی به دلیل ساده بودن بکارگیری و دقت بالای این روش، استفاده از آن در حل معادلات تأخیری رو به گسترش است.