بسته بودن مدول های منبسط تحت جمع مستقیم متناهی به این سوال مهم در رابطه با مدول های منبسط که چه موقع ان ها دارای خاصیت تبادل هستند نیز اشاره دارد . در واقع ثابت می شود که کلاس مدول های با خاصیت تبادل تحت جمع مستقیم متنهای بسته است . تزریقی را معرفی و سپس بسته بودن کلاس مدول های منبسط تحت جمع مستقیم o در این پایان نامه مدول های متناهی رابررسی می کنیم . همچنین مدول های نیمه پیوسته را معرفی کرده و با توجهبه مفهوم تزریقی بسته بودن کلاس این مدول ها را نسبت به جمع مستقیم متناهی بررسی می کنیم .

در این رساله مفهوم مقسوم علیه صفر قوی در حلقه ها را معرفی کرده و سپس در یک حلقه دلخواه به بررسی خواص مجموعه مقسوم علیه های صفر قوی پرداخته ایم. در این بررسی نتایجی حاصل شده است که به خواص مجموعه مقسوم علیه های صفر در یک حلقه تعویض پذیر نزدیک است. به علاوه گراف مقسوم علیه صفر قوی را معرفی کرده و خواص و ویژگی های آن و هم چنین ارتباط آن با گراف مقسوم علیه صفر را بررسی کرده ایم. در ادامه به تعیین شرایط لازم و کافی برای تبدیل یک s – مدول به یک s – جبر، زمانی که s یک حلقه ی تعویض پذیر یکدار است پرداخته ایم. به ویژه زمانی که s حلقه ی اعداد صحیح باشد، شرایط لازم و کافی برای تبدیل یک گروه آبلی متناهی به یک حلقه بررسی و تعین شده است. هم چنین برنامه ای به زبان matlab نوشته ایم که در آن حلقه های ساخته شده روی گروه های آیلی متناهی را مشخص میکند. در پایان حلقه های تعویض پذیر یکدار که تعداد مقسوم علیه های صفر آنها عامل p5 ندارند و هم چنین حلقه های تعویض پذیر یکدارغیر موضعی که تعداد مقسوم علیه های صفر آنها عاملp8 ندارند را دسته بندی کرده ایم.

حلقه یکدارr را قویاً تمیز می نامیم اگر هر عنصر از آن را بتوان به صورت مجموع یک یکه و یک خودتوان درr نوشت. در این پایان نامه به مشخصه سازی حلقه های تعویض پذیرr که (m_n(r قویاً تمیز است با توجه به فاکتورگیری هایی در [r[t می پردازیم. هم چنین ثابت می کنیم که برای هر چندجمله ای تکین [f?r[t، قویاً تمیزی ماتریس همراهf با قویاً تمیزی تمام ماتریس ها با چندجمله ای مشخصهf معادل است.

زیرمدول k ازm را تماما پایا گوییم اگر برای هر ? عضو (m)endr، (k)? زیرمجموعه k باشد. از جمله زیر مدول های تماما پایا ، زیر مدول های تکین می باشند و هر زیر مدول تماما پایا از یک مدول تزریقی ، شبه- تزریقی می باشد. زیر مدول های تماما پایای حلقه r به عنوان r-مدول دقیقا ایدال های r می باشند. مدول m را قویا fi-توسیعی می نامند اگر هر زیر مدول تماما پایای m در یک جمعوند تماما پایا، اساسی باشد در این پایان نامه به خواص این مدول ها پرداخته می شود. مدول m را توسیعی گوییم اگر هر زیر مدول آن در یک زیر مدول جمعوند m اساسی باشند. کلاس مدول های قویا fi- توسیعی شامل مدول های fi –توسیعی می باشد. کلاس مدول ها ی قویا fi –توسیعی و توسیعی زیر کلاسی از مدول های fi –توسیعی می باشد. بعضی خواص مدول ها که برای مدول های قویا fi –توسیعی و توسیعی برقرار است ممکن است برای مدول های fi –توسیعی برقرار نباشد. مثالی از یک مدول fi –توسیعی ارائه می دهیم که قویا fi –توسیعی نباشد. نشان می دهیم شرط قویا fi-توسیعی و fi-توسیعی یرای حلقه های نیم اول و مدول های ناتکین معادل است و هر زیر مدول جمعوند یک مدول قویا fi –توسیعی ، قویا fi-توسیعی می باشد. برخلاف مدول های fi-توسیعی ، مجموع مستقیم مدول های قویا fi- توسیعی ، لزوما قویا fi-توسیعی نیست. ویژگی قویا fi-توسیعی برای حلقه r یک خاصیت موریتا پایا است. همچنین نشان می دهیم حلقه درون ریختی از یک مدول قویا fi-توسیعی ، قویا fi-توسیعی می باشد. از جمله حلقه ها و مدول های قویا fi- توسیعی ، مدول های یکنواخت و مدول های نیم ساده و حلقه های اول می باشد.

فرض کنیم rیک حلقه جابجایی و یکدار باشد. در این پایان نامه، ابتدا مدول های فول اول معرفی می شوند. هر r-مدول فول-اول دارای طیف اول های ناتهی و نگاشت طبیعی پوشاست. نشان داده می شود که این کلاس از مدول ها به طور سره شامل مدول های آزاد و مدول های متناهی- تولید می باشد. همچنین روی یک دامنه صحیح تمام مدول های تصویری، فول-اول هستند. نشان می دهیم که نظریه طیف اول های مدول های فول-اول بسیار شبیه مدول های متناهی- تولید است. برای مثال لم ناکایاما و تساوی supp(m)=v(ann(m))، برای مدول های فول-اول نیز برقرار است و رفتار توپولوژی زاریسکی مدول های فول-اول شبیه مدول های متناهی-تولید است. اگر m یک مدول ضربی باشد آنگاه شرایط زیر معادلند: (1) m متناهی-تولید است. (2) mفول-اول است. (3) .supp(m)= v(ann(m)) (4) برای هر ایدآل اول p شامل ann(m) ،(pm:m)=p. (5) برای هر ایدآل اول p شامل ann(m) ،pm?p. نشان می دهیم موضعی سازی و زیر مدول و خارج قسمت یک مدول فول-اول لزوما فول-اول نیست وبه وسیله جمع مستقیم روشی را ساختن مدول های فول-اول بررسی می کنیم

در این پایان نامه، به بررسی گونای گراف های مقسوم علیه های صفر و ایده آل پوچ کن حلقه r می پردازیم. ابتدا با بررسی حلقه-شکل بودن یا نبودن گراف مقسوم علیه های صفر حلقه r، تمام حلقه های متناهی که برای آنها گراف مقسوم علیه های صفر حلقه-شکل است را مشخص می کنیم و همچنین، به بررسی گونای گراف های مقسوم علیه های صفر و ایده آل پوچ کن حلقه های تعویض پذیر می پردازیم.

در این پایان نامه تمام مدول ها یکدار در نظر گرفتیم. دو فرم ضعیف شده از مدول های توسیعی را بررسی کردیم که c11-مدول ها و c12- مدول ها هستند. به کمک یک لم که می گوید اگر مدول m در شرط acc روی زیرمدول های اساسی صدق کند آنگاه m/soc m نوتری است.

فرض کنیم r‎ حلقه ی دلخواه باشد. مدول هایی که در شرط های زنجیر افزایشی یا کاهشی روی زیرمدول های غیرجمعوند متعلق به بعضی رده های خاص ‎?‎ صدق می کند، در نظر گرفته می شود. هدف این پایان نامه این است که نشان دهیم که مدول ‎m‎ در شرط زنجیر افزایشی ‎(کاهشی)‎ روی غیرجمعوندها صدق می کند اگر و تنها اگر ‎m‎ نیمساده یا نویتری ‎(آرتینی)‎ باشد. روی حلقه ی نویتری راست ‎r‎، ‎-‎rمدول راست ‎m‎ در شرط زنجیر افزایشی روی غیرجمعوندهای متناهی-تولید صدق می کند اگر و تنها اگر ‎m‎ در شرط زنجیر افزایشی روی غیرجمعوندها صدق کند. همچنین ‎-‎rمدول راست ‎m‎ در شرط زنجیر کاهشی روی غیرجمعوندهای متناهی-تولید صدق می کند اگر و تنها اگر ‎m‎ آرتینی موضعی باشد. برای عدد اصلی نامتناهی ?‎ و مدول راست یکانی ‎m‎ روی حلقه ‎r‎ نشان می دهیم که هر زنجیر افزایشی ‎(کاهشی)‎ خوش ترتیب از زیرمدول های اساسی ‎m‎، عدد اصلی کمتر از ‎?‎ دارد اگر و تنها اگر هر زنجیر افزایشی ‎(کاهشی)‎ خوش ترتیب از زیرمدول های ‎m/ soc (m) ‎، کمتر از ?‎ داشته باشد. از این قضیه استفاده کرده و نشان می دهیم که مدول توسیع یافته با ?-‎شرط زنجیر روی زیرمدول های اساسی، جمع مستقیم از یک مدول با شرط زنجیر یکسان روی همه ی زیرمدول ها و یک مدول نیمساده است. شرط های لازم و کافی برای مدول روی دامنه ی ددکیند مشخص می کنیم تا در شرط زنجیر افزایشی روی زیرمدول های n‎-مولد برای هر عدد صحیح مثبت ‎n‎ صدق کند. فرض کنیم ‎r‎ دامنه ی ددکیند باشد، هرگاه ‎m‎ یک ‎-‎rمدول با زیرمدول تابدار ‎t‎ باشد در این صورت ‎m‎ در ‎pand-acc‎ صدق می کند اگر و تنها اگر ‎t کاهش یافته باشد و هر زیرمدول از تاب آزاد به طور شمارا مولد از ‎m‎ تصویری باشد.

: در این رساله ضمن تعریف تجزیه متعامد برای یک مدول نشان می دهیم که یک مدول تعداد متناهی جمعوند تماماً پایا دارد اگر و تنها اگر حلقه درونریختی هایش بعد مثلثی متناهی داشته باشد. بعد مثلثی یک مدول را برابر با سوپریموم طول تجزیه های متعامد چپ آن تعریف می کنیم. بعد مثلثی یک مدول تحت موریتا پایا است و برای حلقه های ایدآل اصلی آرتینی بعد مثلثی یک مدول با تعداد مولفه های ساکل آن مدول برابر است. اگر حلقه تعویض پذیر باشد، آن حلقه کامل است اگر و تنها اگر نیم آرتینی با بعد مثلثی متناهی باشد. نتایج اخیر بیرکنمیر و همکارانش درباره بعد مثلثی حلقه ها به مدول ها تعمیم داده شده است. برخی از نتایج مربوط به بعد مثلثی حلقه ها با رویکرد مدولی ساده تر بدست آمده اند. همچنین حلقه های نیم اول تکه ای تعریف شده اند. رده حلقه های نیم اول تکه ای به طور سره شامل حلقه های نیم اول و حلقه های اول تکه ای می باشد. این خاصیت برای حلقه ها موریتا پایاست و برخی توسیع های یک حلقه نیز آن را به ارث می برند. با استفاده از حلقه های نیم اول تکه ای، حلقه های بئر ضعیف راست مشخصه سازی شده است. حلقه هایی که پوچ ساز راست هر ایدآل پوچ توان آن به عنوان یک ایدآل راست توسط یک خود توان تولید شود. در نهایت تعمیمی از مدول های اول را معرفی نموده و برخی از خواص آن ها را مورد بررسی قرارداده ایم.

برای یک زیرمجموعه ی ‎x ‎ در حلقه ی ‎r‎، مجموعه ی {a?r | xa?nil(r) ?x?x} را پوچ ساز ضعیف ‎ xدر r‎ گوییم و به n_r (x)نشان می دهیم‎.‎ در این پایان نامه خواص پوچ ساز ضعیف روی حلقه ی توسیعی اور r[x;?,?] را بررسی می کنیم‎.‎ با فرض این که r یک حلقه ی -(?,?)‎سازگار باشد و ‎p(r)=nil(r)‎، نشان می دهیم هر عنصر پوچ توان در r[x;?,?]‎ دقیقاً عنصری از r[x;?,?]‎‎ است که ضرایب آن در ‎r پوچ توان هستند و نتیجه ‎‏می گیر‎یم که مجموعه ی عناصر پوچ توان ‎r[x;?,?] ‎یک ایده آل در r[x;?,?]‎‎ است‎.‎ نشان می دهیم اگر برا ی هر زیر مجموعه ی ‎x ‎ در ‎r‎ که x?nil(r)، n_r (x) به عنوان یک ایده آل راست توسط یک عضو پوچ توان تولید شود، آنگاه برای هر زیر مجموعه ی u در ‎r[x;?,?] که u?nil(r[x;?,?])، n_(r[x;?,?]) (u) به عنوان یک ایده آل راست توسط یک عضو پوچ توان تولید می شود.

در این پایان نامه، یک قاعده تحت عنوان "محکی برای تشخیص ایده آل های اول در یک حلقه ی تعویض پذیر" ارائه داده می شود که برخی ایده آل های اول در یک حلقه ی تعویض پذیر را شناسایی می کند. این محک نتایج شناخته شده و استاندارد روی ایده آل های اول در جبر تعویض پذیر را که توسط ریاضیدانانی از جمله: کرول، کوهن، کاپلانسکی، هرشتاین، ایساک، آدام، اندرسن و غیره بدست آمده اند را شامل می شود. به علاوه، شکل ساده ای از این محک ما را قادر به ارائه ی تعداد زیادی از نتایج ناشناخته در زمینه تشخیص ایده آل های اول می سازد. کلید اساسی برای شکل بخشیدن به این محک خانواده های اکا و خانواده های آک از ایده آل های یک حلقه ی تعویض پذیر است. که در این پایان نامه تعریف شده و به کار بسته شده اند.

در این پایان نامه مدول های -tنیمساده‎ به عنوان تعمیم مدول های نیمساده معرفی و مشخص می شوند. مدول‎ ‎m‎ را -tنیمساده‎ گوییم هرگاه برای هر زیرمدول n‎ از ‎m‏،‎ جمعوند مستقیم k از m‎ وجود داشته باشد به طوری که ‎ .k?_tes n ما در قضیه ی 3.3.2‎‎‏، نتایج 11.3.2- ‎‎‏7.3.2 و گزاره ی 13.3.2 نشان خواهیم داد که مدول های -tنیمساده‏،‎ مشخصه های دیگر زیادی را دارند. مدول های -tنیمساده‎ تحت زیرمدول‏، تصویر همریخت و مجموع مستقیم بسته اند. ما نشان خواهیم داد که بزرگترین زیرمدول -tنیمساده‎ در هر مدولm ‎ وجود دارد و اینکه آن ‎ z_2 (m)?s(m)‎ می باشد (که ‎z_2 (m)‎ زیرمدول تابدار گلدی و ‎ s(m)مجموع همه ی زیرمدول های ساده ی نامنفرد mاست‎‎).‏‎‎ نشان داده خواهد شد که مدول نیمه موضعی ‎m‏، -tنیمساده‎ است اگر و تنها اگر (rad (m‏، -z_2‎تابدار‎ باشد.‎ مدول های -tنیمساده‏،‎ پایای موریتا هستند و یک زیرکلاس اکید از مدول های -tتوسیعی‎ تشکیل می دهند.‎‏‎ در ادامه با حلقه های -tنیمساده ی‎ راست سروکار داریم. حلقه ی‎r را ‎t-نیمساده ی‎ راست گوییم هرگاه ?،r?_r‎ ‏-tنیمساده‎ باشد. هر حلقه ی موضعی آرتینی راست‏، -tنیمساده ی‎ راست است. مشخصه های متنوع از حلقه های -tنیمساده ی‎ راست داده شده است. از اینرو حلقه ی -tنیمساده ی‎ راست دقیقا حاصلضرب مستقیم دو حلقه است‏، یک حلقه ی نیمساده و یک حلقه ی ‎-z_2تابدار.‎ ‎برای انواع حلقه ها‏، شرایط معادل با -‎t‎نیمساده‎ بودن پیدا شده است و این خاصیت ‏به شرط های زنجیری توسیع داده شده است. ‏نشان داده خواهد شد که حلقه ی r‎، -tنیمساده ی‎ راست است اگر و تنها اگر هر -rمدول‎ نامنفرد روی زیرمدول های اساسی شرط زنجیر صعودی(نزولی) داشته باشد. در نهایت یک مثال از حلقه ی‎r ‎ ارایه می دهیم که هر -rمدول‎ دوری نامنفرد تزریقی است اما ‎ t-نیمساده ی‎ راست نیست‏، یعنی‏، هر -rمدول‎ نامنفرد‏، تزریقی نیست.‏ ‎ رده‎ بندی موضوع :d10 16d70 16d90 16p70 ‎‎‏‎16 کلمات کلیدی : مدول های منفرد و -z_2تابدار، زیرمدول های –tاساسی، مدول های -tنیمساده

چکیده: تجزیه اولیه ی زیر مدول ها تعمیمی از مفهوم شناخته شده ی تجزیه اولیه ی ایده آل های یک حلقه می باشد. زیرمدول n از r-مدول m دارای تجزیه اولیه است اگر بتوان آن را به صورت اشتراک تعداد متناهی از زیرمدول های اولیه ی مدول m نوشت. اگر m مدولی متناهیاً تولید شده روی یک حلقه ی نوتری تعویض پذیر باشد، هر زیرمدول n از m دارای تجزیه اولیه است. در این پایان نامه تجزیه ی اولیه برای حلقه های نوتری چپ را مورد بررسی قرار می دهیم، که تعمیمی از تجزیه اولیه روی حلقه های نوتری تعویض پذیر می باشد. به این منظور ابتدا طیف چپ حلقه که تعمیمی از طیف اول حلقه در حالت تعویض پذیر است معرفی می شود و نشان می دهیم که اگر r حلقه ای تعویض پذیر باشد تناظری دوسویی بین طیف اول حلقه و طیف چپ حلقه برقرار است. پس از آن به بررسی اول های چپ وابسته به مدول به عنوان تعمیمی از اول های وابسته به مدول روی حلقه های تعویض پذیر می پردازیم. در ادامه تعمیم دیگری از تجزیه اولیه ی یک مدول یکانی نوتری روی یک حلقه ی دلخواه مطرح می کنیم و این تجزیه را برای خانواده ی بزرگتری از مدول ها تعمیم می دهیم. این خانواده از مدول ها را به طور یکنواخت متناهی می نامیم و نشان می دهیم که برای حلقه ی دلخواه r، هر مدول m با این ویژگی که هر خارج قسمت از آن دارای بعد یکنواخت متناهی باشد دارای تجزیه اولیه است. سپس به معرفی کوتاهترین تجزیه های اولیه و کوتاهترین تجزیه های اولیه ی ماکسیمال می پردازیم و ثابت می کنیم که برای هر زیرمدول از یک مدول به طور یکنواخت متناهی، کوتاهترین تجزیه اولیه وجود دارد و هر کوتاهترین تجزیه ی اولیه مشمول در یک کوتاهترین تجزیه اولیه ی ماکسیمال است. همچنین به بررسی تجزیه های یکنواخت می پردازیم و ثابت می کنیم که هر تجزیه اولیه می تواند به یک تجزیه ی یکنواخت تبدیل شود. در ادامه دو ساختار ارائه می کنیم که به ترتیب همه ی کوتاهترین تجزیه های اولیه و همه ی کوتاهترین تجزیه های یکنواخت را توصیف می کنند. این دو ساختار نشان می دهند که تجزیه های اولیه در حالت کلی بسیار غیر یکتا هستند. در نهایت طیف یکنواخت مدول m در ?[m] را به عنوان تعمیمی از طیف چپ مدول معرفی می کنیم. سپس اول های وابسته به مدول n در ?[m]را تعریف می کنیم و به کمک این مفاهیم به معرفی تجزیه اولیه برای زیرمدول ها در ?[m]می پردازیم. در آخر ساختاری برای توصیف همه ی کوتاهترین تجزیه های اولیه و کوتاه ترین تجزیه های یکنواخت زیرمدول ها در ?[m] ارایه می دهیم و نشان می دهیم در صورتی که r یک حلقه ی نوتری تعویض پذیر باشد و m = r این تجزیه اولیه با تجزیه اولیه ی کلاسیک مدول ها روی حلقه های تعویض پذیر در r?mod منطبق است.

این رساله به بررسی خاصیت های بیشتری از مدول های تقریباً تزریقی که تعمیمی از مدول های تزریقی است، اختصاص یافته است. یکی از محک های اساسی برای تعیین تزریقی بودن یک مدول، محک بئر می باشد. در یکی از مقالات اخیر، جین و الاحمدی این پرسش را مطرح کرده اند که: ‎«‎آیا محکی شبیه محک بئر برای مفهوم تقریباً تزریقی وجود دارد؟‎»‎ ما با ارائه مثالی نشان می دهیم پاسخ این سوال در حالت کلی منفی است. در حقیقت، ثابت می کنیم که یک ‎‎r‎‏-‎مدول m وجود دارد که نسبت به r، تقریباً تزریقی می باشد، اما تقریباً تزریقی نیست. علاوه بر این، حلقه هایی را مطالعه می کنیم که هر مدول روی آنها تقریباً تزریقی است. اگر r چنین حلقه ای باشد، نشان می دهیم r/soc(r) یک حلقه نیم‎ساده و rad(r) متناهی تولید است. این حلقه ها در حالت هایی کاملاً مشخص شده اند. در حقیقت، این حلقه ها دقیقاً حلقه های آرتینی زنجیری r باrad(r)^2=0 می باشند هرگاه یکی از شرایط زیر برقرار باشد: ‎ soc(r)متناهی باشد، r توسیعی باشد، ‎ rنیم‎کامل باشد یا r دارای بعد تقلیل یافته متناهی باشد. در بخش دیگری از رساله، تقریباً v-حلقه های راست را معرفی و بررسی می کنیم. گوییم r‎ یک تقریباً ‎ ‎ v-حلقه‎ راست است هرگاه هر r‎-مدول ساده تقریباً‏ تزریقی باشد. رده تقریباً‎ ‎‎ v-حلقه ی راست بین رده v-حلقه های راست و رده حلقه های خوب راست قرار دارد. ارتباط نزدیکی بین ‎ v-حلقه های راست و تعمیمی از مفهوم توسیعی وجود دارد: ثابت می شود r یک تقریباً v-حلقه راست است اگر و تنها اگر برای هر ‎‎r‎‎‏‎‏-مدول ‎‎ ‎m، مکمل های هر زیرمدول ساده ی ‎m، جمعوندهای مستقیمی از ‎m باشند. به علاوه، نشان می دهیم‏، ‎r یک تقریباً v-حلقه راست است اگر و تنها اگر برای هر ‎‎‎r‎‎‏‎‏-‎مدول ساده ‎s، یا ‎s‎ تزریقی یا e(s) تصویری با طول ‎2‎ باشد. تقریباً ‎‎‎v‎‎‏‎‏-‎حلقه های راستی که آرتینی راست (به طور نظیر، نوتری راست) باشند، مشخص شده اند. همچنین، نشان می دهیم حلقه ماتریس های بالا مثلثی 2×2روی حلقه r‎‏، تقریباً‎ ‎‎ v-حلقه راست است اگر و تنها اگر r یک حلقه نیم‎ساده باشد.

گراف مقسوم علیه صفر یک حلقه ‎s‎ که لزوما تعویض پذیر نیست و با ‎vec {?}(s) ‎ نمایش داده می شود، یک گراف ساده جهت دار است که در آن مجموعه مقسوم علیه های صفر ناصفر به عنوان رئوس در نظر گرفته می شوند و راس ‎a‎ به ‎b‎ توسط یک جهت به صورت ‎a ? b ‎ متصل است اگر و تنها اگر ‎ab=0‎. فرض می کنیم ‎r‎ یک حلقه تعویض پذیر یکدار و t_{n}(r)‎ حلقه ی ماتریس های بالا مثلثی ‎n×n‎ روی ‎r‎ باشد. در این پایان نامه گراف جهت دار مقسوم علیه صفر ‎ vec {?}( t_{n}(r)) ‎ از t_{n}(r)‎ را مطالعه می کنیم که در آن برخی خواص پایه ای نظریه گراف داده می شود که شامل تعیین کمر و قطر گراف است. سپس ساختار ‎ vec {?}( t_{n}(r)) ‎ را توصیف کرده و کرانی برای تعداد یال های آن داده می شود. بعد از آن زمانی که ‎r‎ یک حوزه صحیح متناهی باشد، ساختار ‎ vec {?}( t_{2}(r)) ‎ کاملا توصیف خواهد شد و یک فرمول برای تعداد یال های آن داده می شود‎.‎

در این پایان نامه به بررسی برخی اتحادهای چند جمله ایی از درجه کمتر مساوی 5 می پردازیم که در تمامی جبرهای مربعثی متقارن صدق می کنند . حلقه هایی که این اتحادها در آن صادق هستند را حلقه های مربعی تعمیم یافته می نامیم . سپس به معرفی حلقه های انعطاف پذیر می پردازیم و نشان می دهیم هنگامی که یک حلقه انعطاف پذیر نباشد ، این اتحادها برای ساخت حلقه مربعی روی مرکز خودش کافی است . در نهایت نشان می دهیم هر حلقه مربعی تعمیم یافته نیم اول به صورت زیر جمع مستقیم یک حلقه ژردان ناجابجایی و یک حلقه انعطاف ناپذیر است .

مارتیندل در سال 1969 نشان داده است که هیچ اتحاد خطی ناصفر روی یک حلقه اول وجود ندارد. در این پایان نامه که برگرفته از مقاله ‏‎p. h. lee and t. k. lee, "leinear identities and commuting maps in ring with involution", comm, a lg ebra. 25 (9), 2881 - 2895(1997)‎‏ است، قضیه اتحاد خی مارتیندل را تعمیم می دهیم و ثابت می کنیم که هیچ اتحاد ناصفر روی زیر مجموعه متقارن از یک حلقه اول بازگشتی از مشخصه مخالف 2 وجود ندارد.همچنین با استفاده از قضیه اتحاد خطی مارتیندل و تعمیم آن، ساختار نگاشتهای جابجاگر روی حلقه های اول و روی زیر مجموعه متقارن از یک حلقه اول بازگشتی با مشخصه مخالف 2 را مشخص می سازیم.