فرض کنیم m یک منیفلد فشرده d-بعدی و بدون کران باشد و diff^r(m) که r بزرگتر و مساوی صفر است، مجموعه تمام دیفیومورفیسم ها روی m همراه با c^r-توپولوژی باشد. یکی از مسایل اصلی در دینامیک های مشتق پذیر، حدس مشهور پالیس است که به صورت زیر بیان می شود. حدس c^r-چگالش پالیس:" c^r-دیفیومورفیسم های روی m با یک مماس هموکلینیک یا یک دور چند بعدی، در متمم c^r-بستار سیستم های هذلولوی c^r-چگال هستند." در بعد 2، حدس پالیس در c^1-توپولوژی توسط پوژالس و سامبارینو ثابت شده است. در واقع آن ها ثابت کردند که در بعد 2، هر دیفیومورفیسم را می توان با یک دیفیومورفیسم هذلولوی یا با یک مماس هموکلینیک c^1-تقریب زد. در ابعاد بالاتر از 2 حدس پالیس هنوز باز است هر چند که ون نتایجی را درباره ی حدس پالیس برای ابعاد بالاتر بیان کرده است، او ثابت کرد که اگر دیفیومورفیسم f دور از مماس هموکلینیک و دور چند بعدی باشد، آن گاه نقاط ناسرگردان f ساختار جزئا هذلولوی دارد. همچنین، گن و ونتایج c^1-نوعی را درباره ی تماس مداری، دورهای هتروکلینیک و بستارهای هموکلینیک به دست آوردند، و قضیه c^1-چگالش سه گانه را به این صورت بیان کردند که :" دیفیومورفیسم ها با تعداد نامتناهی مولفه های ترایای ضعیف یا یک دور چند بعدی، در متمم c^1-بستار دیفیومورفیسم های هذلولوی c^1-چگال هستند." ما در این پایان نامه سعی می کنیم که قضیه c^1-چگالش سه گانه فوق را به عنوان بیان دیگری از حدس پالیس ارائه دهیم. این پایان نامه شامل سه فصل می باشد، که در هر یک از فصل ها مطالب زیر را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل اول، به بیان تعاریف و قضایای مقدماتی مورد نیاز در پایان نامه می پردازیم. در فصل دوم، اثبات حدس پالیس در بعد 2 را که توسط پوژالس و سامبارینو بیان شد را نشان می دهیم، و همچنین نتایجی از حدس پالیس را در بعد 2 و در ابعاد بالاتر از 2 بررسی می کنیم. در فصل سوم، یک نتیجه مهم از حدس پالیس را مورد بررسی قرار می دهیم که معروف به قضیه c^1-چگالش سه گانه است و توسط گن و ون ثابت شده است.

مسأل? اندیس برای عملگرهای بیضوی در سال ‎1959 (1960)‎، بوسیل? گلفند‎‎ ‎طرح شده بود. او این مسأل? کلی را مطرح کرد که اندیس آنالیزیِ یک عملگر دیفرانسیل بیضوی، چگونه با داده های توپولوژیک مسأله ارتباط دارد؟‎‎ در فصل چهار این پایان نامه می بینیم که اندیس آنالیزی، برای عملگرهای فردهولم قابل تعریف است. در سال ‎1960‎ یک ریاضیدان روسی به نام والتر‎‎ ‎ فهمید که برای عملگرهای بیضوی نیز می توان اندیس آنالیزی را محاسبه کرد. به طور صریحتر، اگر ‎$e$‎ و ‎$f$‎ دو کلاف برداری مختلط روی یک خمین? جهتدار و فشرده و هموار ‎$m$‎ باشند و ‎$$d:gamma(e) longrightarrow gamma(f)$$‎ یک عملگر دیفرانسیل بیضوی باشد، آنگاه می توان اثبات کرد که بُعد ‎$ker(d)$‎ و ‎$ker(d^ast)$‎ متناهی است ولذا می توانیم اندیس فردهولم ‎(آنالیزی)‎ را برای آن تعریف کنیم. با این داده ها مسأل? گلفند اینگونه مطرح می شود‎:‎ آیا اندیس آنالیزی را برحسب ناورداهای توپولوژیکی مربوط به ‎$m$‎ و ‎$e$‎ و ‎$f$‎ و ‎$d$‎ می توان نوشت؟‎ قضی? آتیا و سینگر به این سوال پاسخ صریح و روشنی می دهد. آتیا و سینگر اندیس توپولوژیکی را به صورت ‎$$gamma(d)={ch(d).td(m)}[m]$$‎ تعریف کردند و نشان دادند که با اندیس آنالیزی برابر است. ‎$ch(d)$‎، مشخص? چرن و ‎$td(m)$‎ کلاس تاد خمین? ‎$m$‎ است. ما در این پایان نامه سعی کردیم تا به شناسایی کلاسهای مشخصه، در فصل پنج بپردازیم که قسمت عمد? این پایان نامه را تشکیل می دهد ولی در راستای رسیدن به تعریفی از کلاسهای مشخصه، به مقدماتی نیاز داشتیم که برخی از آنها را در زیر نام می بریم‎:‎ ابتدا آشنایی با فرمهای دیفرانسیلی و کوهومولوژی دورام که در فصل یک به آن پرداخته شده است، بَعد از آن، هموستار وچند جمله ایهای ناوردا را معرفی می کنیم و سپس مفاهیمی در نظری? ‎$k$‎، که مهمترین آن بررسی قضی? ‎«‎ سر-سوآن ‎»‎ می باشد، و در فصل دوم به آن اشاره شده است. همچنین در این فصل به تعریف عنصری تفاضلی می پردازیم که در فرمول بندی اندیس فوق نقش موثری دارد. از جمله عوامل دیگری که در تشکیل این اندیس نقش مهم و تعیین کننده ای دارد قضی? یکریختی تام است که در فصل سوم تا حد نیاز مورد بررسی قرار گرفته است. و در آخر در فصل ششم به بیان قضی? اندیس آتیا-سینگر می پردازیم‎.‎ قضی? اندیس آتیا-سینگر دربردارند? تعدادی قضی? مهم مانند قضی? ریمان-رخ و تعمیم آن یعنی قضی? هیرزبرخ-ریمان-رخ‎ ‎و قضی? نشانِ هیرزبرخ می باشد، که متأسفانه فرصت پرداختن به این قضایا و نیز ارائ? یک برهان برای قضی? اندیس در این پایان نامه بدست نیامد. اوّلین نشانه های ظهور این قضی? تاریخی در سال ‎1963‎ بود اگر چه طرح برهان درآن زمان توسط آنها منتشر نشد ولی در کتاب پَلیس‎‎ ‎سال ‎1965‎ اثبات کامل ارائه شد. برهان اولّی? آتیا و سینگر از این قضیّه به کمک نظریّ? کوبوردیسم‎ توم در توپولوژی بود. و در برهان منتشر شد? آنها در سال ‎1968‎ نظریّ? ‎k‎ جای نظریّ? کوبوردیسم را گرفت. آتیا، بات، پَتُدی‎‎ ‎ در سال ‎1973‎ یک برهان جدید از قضیّ? اندیس با استفاده ازمعادل? گرما ارائه دادند که تکی? بیشتری بر آنالیز و نظریّ? طیفی عملگرهای خودالحاق دارد. ریاضیدانان دیگری نیز اثباتهای دیگری ارائه دادند یا اثباتهای اوّلی? آتیا و سینگر را ساده تر کردند که از آن جمله می توان به برهانی در نظریّ? ‎k‎ از هیگسن‎‎ ‎اشاره کرد.

و غیر ?? پایا، ارگودی ?? فشرده، هر اندازه احتمال ?? از منیفلد ریمان c1+ کنیم برای هر دیفئومورفیسم

در این پایان نامه به مرور چند اثبات مختلف از لم پوانکاره می پردازیم. در این راه، مفاهیم کوهومولوژی دورام و کوهومولوژی تکین به تفصیل معرفی می شوند. همچنین این قضیه با دیدگاههایی از قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بازنگری می شود.

در این پایان نامه، دو روش نیمه تحلیلی برای مسائل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی خطی و غیرخطی مطرح می شود. به این منظور، روش ماتریسی تیلور برای حل معادلات خطی مرتبه دوم و روش ری توانی برای حل معادلات غیرخطی ارائه می شود. در این دو روش، ابتدا جواب عمومی معادله را با سری تقریب می زنیم سپس با استفاده از شرایط مقدار اولیه و مقدار مرزی، جواب خصوصی را به دست می آوریم.

معادلات دیفرانسیل و انتگرال فازی بخش مهمی از نظریه آنالیز فازی هستند و کاربرد فراوانی در نظریه کنترل فازی دارند. با توجه به تعاریف متفاوت مشتق توابع فازی، روش های گوناگونی برای حل معادلات انتگرالی- دیفرانسیلی فازی پیشنهاد می شود. در این تحقیق این معادلات با استفاده از تعریف مشتق پذیری قوی تعمیم یافته حل می شوند. در این پایان نامه وجود و یکتایی معادلات انتگرالی- دیفرانسیلی ولترا فازی بررسی می شود علاوه بر آن روشی برای حل عددی معادلات انتگرالی- دیفرانسیلی فازی مطرح می گردد و در نهایت اعداد فازی ‎$lu$‎ را بیان می کنیم و با استفاده از این نوع نمایش معادلات انتگرالی- دیفرانسیلی ولترا فازی را بررسی می کنیم و برای روشن شدن روش های عددی مثال هایی نیز می آوریم.

در این پایان نامه به شرح مفاهیم اولیه از هندسه همتافته می پردازیم. ابتدا مفهوم فضاهای خطی همتافته وسپس منیفلدهای همتافته بررسی می شوند.در مرحله ی نهایی ازاین پایان نامه به ایده های اثبات قضیه نافشردگی گروموف اشاره می کنیم.