در این پایان نامه ابتدا گراف مقسوم علیه توسیع ناگاتا را مطالعه میکنیم و سپس گراف مقسوم علیه صفر حلقه ملغمه یr تحت ایدآل آن مورد بررسی قرار می گیرد. شرایط لازم و کافی برای کامل بودن این گراف ها و قطر و کمر این گراف ها را مورد مطالعه قرار می دهیم.

در این پایان نامهرسته را به صورت تعمیمی از یک تکواره در نظر می گیریم. یک رسته را گروهوار گوییم هرگاه هر عضو آن دارای معکوس باشد و هر گروهوار با یک ترتیب جزئی روی آن که در شرایط خاصی صدق می کند را یک گروهوار مرتب گوییم. هدف ما در این پایان نامه یافتن تناظری یک به یک بین رسته های حذفی چپ و گروهوارهای مرتب است. به ویژه ثابت می کنیم هر رسته از تکریختی ها را می توان به از یک گروهوار مرتب به دست آورد.

در این پایان نامه به بررسی مفهوم عدد جمعی یکالی حلقه ها و مدول ها می پردازیم و سپس انواع حلقه های خود انژکتیو راست را معرفی می کنیم و نشان می دهیم که هر عضو از یک حلقه خود انژکتیو راست را می توان به صورت مجموعی از دو یکال از حلقه نوشت اگر وتنها اگر هیچ فاکتوری از حلقه با z_2 یکریخت نباشد. هم چنین عدد جمعی یکالی حلقه ی درون ریختی های یک مدول شبه پیوسته با خاصیت تبادل متناهی را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس در این پایان نامه نشان می دهیم که هر عضو از حلقه ی درون ریختی های یک مدول هم تاب یکدست بصورت مجموعی از دو یکال می باشد اگر و تنها اگر هیچ فاکتوری از حلقه با z_2 یکریخت نباشد. در ادامه ما توانستیم عدد جمعی یکالی مدول های هارادا و گسسته را بدست بیاوریم و نشان دهیم که هر عضو از حلقه ی درون ریختی های یک مدول شبه گسسته با خاصیت تبادل متناهی را می توانیم یه صورت مجموع دو یکال بنویسیم اگر هیچ فاکتوری از حلقه با z_2 یکریخت نباشد.در پایان توانستیم عدد جمعی یکالی حلقه های خوش ترکیب با خود توان های مرکزی را بدست آوریم.

در این پایان نامه، حلقه های ماتریسی موریتایی را مورد مطالعه و بررسی قرار میدهیم، یعنی حلقه هایی که تنها حلقه های هم ارز موریتایی با آنها حلقه های ماتریسی روی آنها است. در این نوع حلقه ها، پروژنراتورهای پیکارد و گروههای پیکارد نقش مهمی را ایفا میکنند. برای خانواده وسیعی از حلقه ها، تجزیه ناپذیری شرط لازم mm بودن حلقه است. برای حالت جابجایی شرط دیگری لازم است و آن هم تقسیم پذیر بودن گروه پیکارد است. در برخی از حالت های خاص این دو شرط کافی نیز خواهند بود. مچنین رفتار حلقه های mm تحت برخی از ساختارهای متداول حلقه ها( نظیر حلقه چندجمله ایها، سریهای توانی، عقب برها و ...) بررسی میشود و از آنها مثالهای متعددی برای حلقه های mm بدست می آید. به علاوه، مثالهای ناجابجایی را می توان در میان حلقه های منظم فون نویمان فراماتریسی پیدا کرد. که در بخش پایانی به آن می پردازیم.

اخیرامطالعاتی توسط اشنایدر،کش،بیدر و دیگران انجام شده و نشان داده اند که برخی از نظریه های حلقه ها و مدولها میتوانند در مبحث hom وارد شوند.این پایان نامه شامل چهار فصل است در فصل اول قضایا وتعاریف اولیه ی مورد نیاز برای فصول بعدی مطرح شده است.در قصل دوم بر روی زیرساختارهایی از hom بحث میشود یکی از این چهار زیر ساختار توتال است که مفهومی است که ابتدا در سال 1982 توسط کش مطرح شد وبوسیله ی کش ،اشنایدر،بیدر،مادر،ویگنت،زلمانوویتز،زولنر و... به طور وسیع مورد مطالعه قرارگرفته است.همچنین رابطه ی بین منظم بودن و زیرساختارهایی از hom از جمله توتال ،توسط کش و مادر در سال 2006 بان شد.در مطالعه ی توتال یکی از سوالات جالبی که مطرح میشود این است که چه زمانی توتال با رادیکال جیکوبسن برابر میشود که به منظور پاسخ به این سوال مفهوم نیم توان بودن در hom وقضایای مربوطه بیان شده و در بخش سوم این فصل به این سوال در قالب یک قضیه پاسخ داده میشود.نیم منظمی و منظمی در hom که توسط نیکلسون و ژو در سال 1977 بررسی شده است فصل سوم این پایان نامه را تشکیل میدهد. در فصل چهارم مدول های موضعا انژکتیو و موضعا پروژکتیو که اولین بار توسط کش در سال 2002 مطرح شدند و وضعیت مناسبی برای توتال هستند تعریف شده و برخی خواص ثانویه آن ها مطرح میشود.فصل آخر دوباره به مباحثی در منظمی و نیم منظمی در hom اختصاص یافته است.

فرض کنید m یک r-مدول چپ و i ایدالی از r باشد. (p, f) را یک i-روکش تصویری از m گوییم اگر f یک بروریختی از p به m باشد و هسته f زیرمجموعه ی ip می باشد و هرگاه p=kerf + x, آنگاه یک جمعوند y از p در kerf وجود داشته باشد به طوری کهp=y+x. این تعریف روکش تصویری را تعمیم می دهد.

می دانیم هر r_ مدول تصویری، یکدست است ولی لزومی ندارد هر r_مدول یکدست، تصویری باشد. به عنوان مثالz ،q_مدولی یکدست است که تصویری نیست. در این پایان نامه بررسی می کنیم تحت چه شرایطی هر مدول راست یکدست متناهی مولد روی حلقه r تصویری است و در صورتی که حلقه r دارای چنین خاصیتی باشد آن را s_ حلقه راست خواهیم نامید. نشان می دهیم s_ حلقه بودن تحت زیر حلقه بودن، هم ارزی موریتا و حاصل ضرب مستقیم متناهی بسته است. سوال مهمی که وجود دارد این است که آیا هر s_ حلقه راست، s_ حلقه چپ نیز می باشد؟ هر چند در حالت کلی پاسخ این سوال داده نشده است اما در بعضی موارد به آن پاسخ مثبت خواهیم داد. مثال هایی در این مورد بیان می کنیم و همچنین بررسی می کنیم اگر s،r_ حلقه راست باشد و iیده الی از حلقه r، آنگاه تحت چه شرایطی riنیز s_ حلقه است.

در این پایان نامه دسته ای از حلقه ها که مدول های تصویری روی آنها جمع مستقیمی از مدول های متناهی مولدند را مشخص می کنیم، و همچنین مثالهایی از حلقه هایی با این خاصیت و بدون این خاصیت می آوریم.f-حلقه ها را معرفی می کنیم و مشاهده می کنیم که حلقه هایی که مدول های تصویری روی آنها جم مستقیمی از مدول های متناهی مولد است f-حلقه است. همچنین نشان می دهیم دنباله های پایدار از اعضای حلقه ماتریسی روی r دارای خاصیتی مشترک می باشند. حلقه ایدال اصلی ، حلقه به طورضعیف نیمه موروثی ، حلقه های بزو و حلقه های تبادلی نمونه ای از این نوع حلقه ها می باشند. در انتها هدفمان را روی حلقه توابع پیوسته (حقیقی مقدار) از فضای توپولوژیکی x بررسی می کنیم و نشان می دهیم هر c(x)0-مدول تصویری جمغ مستقیمی از مدول های متناهی مولد است اگر و تنها اگر حلقه آن f-حلقه باشد.

اخیرا مطالعاتی توسط چان هو، هونگ کی کیم، یانگ لی در زمینه حلقه ها انجام شده است که به بررسی حلقه هایی می پردازد که هر ایده آل اصلی آن تصویری است.این حلقه ها به اختصار p.p نامیده می شوند و توسیع هایی از حلقه های منظم و بئر می باشند.در این پایان نامه به سوالاتی از فبیل اینکه آیا حلقه های p.p چپ و راست متقارن اند؟ آیا هر حلقه p.p یک حلقه بئر است؟ آیا حاصلضرب مستقیم و جمع مستقیم خانواده ای از حلقه های p.p یک حلقهp.p است؟ خواهیم پرداخت.در این پایان نامه از مرجع [11] استفاده شده است.

فرض کنیم r یک حلقه جابجایی باشد. r-مدول m را یک مدول ضربی نامیم هرگاه برای هر زیر مدول n از m، ایدآل i از r وجود داشته باشد که n=im. اما r-مدول m را pm-مدول گوییم هرگاه هر زیر مدول اول از m مشمول در یک زیر مدول ماکسیمال منحصر به فرد از m باشد. 1)اگر r یک pm باشد آنگاه هر r-مدول ضربی pm است. 2)اگر m متناهی مولد باشد آنگاه m مدول ضربی است اگر و تنها اگر spec(m فضایی طیفی باشد. 3)اگر m یک r-مدول ضربی متناهی مولد باشد آنگاه: الف) m یک pmاست اگر وتنها اگر max(m توکشنده ای از spec(m باشد اگر تنها اگر spec(m نرمال باشد اگر و تنها اگر m یک مدول گلفاند ضعیف باشد. 4)اگر m یک r-مدول ضربی باشد آنگاه spec(m نرمال است اگر و تنها اگر mod(m نرمال ضعیف باشد

فرض کنیم r حلقه ای منظم و m و a نیز دو r مدول باشند. نگاشت f از a به m را منظم گوییم هرگاه g از m به a موجود باشد که fgf= f. به یک زیر مخموعه از hom (a, m منظم گوییم هرگاه هر عضو از آن منظم باشد. در این پایان نامه به بررسی خواص بزرگ ترین زیر مدول منظم ازhom(a, m که آن را با reg(a, m)نشان می دهیم می پردازیم. انا بیشتر بحث اصلی را روی reg(a, a) که در آن a یک گروه آبلی است متمرکز کرده و خواص آن را که بزرگ ترین ایده آل منظم از حلقه ی درون ریختی a است تحقیق می کنیم. قضیه های( 10.2.3)و (30.2.3)، نتیجه ی (31.2.3)و قضیه ی (32.2.3)از مهم ترین نتایج حاصل هستند. البته لازم به ذکر است که بررسی برخی از نتایج حاصل را می توان در مورد دسته ی خاصی ازگروه ها به نام گروه های آبلی مخلوط بررسی کرد که ما در این پایان نامه در دو قضیه ی پایانی بزرگ ترین ایده آل منظم از حلقه ی درون ریختی یک گروه آبلی مخلوط را مورد مطالعه قرار می دهیم.

در این پایان نامه هدف، مطالعه نظریه بعد کرول ضرب تانسوری از دو k-جبر می باشد. در واقع فرمولی برای حاصلضرب تانسوری از دو k جبر ارائه می دهیم.

کران هایی برای انرژی گراف ها مورد بررسی قرار گرفته است. همچنین کران هایی برای گراف های ویژه ای موسوم به گراف های دوبخشی تک دوری محاسبه شده است. وجود ماتریس های هادامارد گرافیکی منتظم از مرتبه ی معین و گراف های ماکسیمم انرژی آن ماتریس ها و همین طور درخت های هیپوانرژی مورد بررسی قرار گرفته است. در پایان این کار، با توجه به مفهوم انرژی، چند انرژی مشابه با انرژی تعریف شده در بالا مورد بررسی قرار گرفته اند. از جمله انرژی های مشابهی که در این پایان نامه مورد بررسی قرار گرفته است می توان به انرژی لاپلاسی، انرژی رندیچ و غیره اشاره کرد. لازم به ذکر است که از فرمول انتگرال کولسونف که مقدارش با مقدار انرژی برابر استف نیز در پاره ای از مطالب استفاده شده است.

حلقه r را j– تمیز قوی گوییم هرگاه هر عضو آن را بتوان به صورت مجموع یک عضو خودتوان و یک عضو از رادیکال جیکوبسن r بیان کرد که با هم جابجا می شوند. در این پایان نامه با این نوع حلقه ها و برخی از ویژگی های آن آشنا می شویم. در فصل اول با تعاریف و قضایایی که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار می گیرند آشنا می شویم. در فصل دوم با حلقه های به طور یکتا تمیز و حلقه های مناسب و تبادلی و برخی از ویژگی های آن ها آشنا خواهیم شد. همچنین مطالبی را در مورد حلقه های منظم قوی و??– منظم قوی و حلقه درون ریختی های یک مدول بیان خواهیم کرد.از مطالب این فصل در اثبات قضایای فصل های بعد استفاده می کنیم. در فصل سوم با مفهوم حلقه های j– تمیز قوی و برخی از ویژگی های آن آشنا می شویم. همچنین شرایط معادلی را برای j– تمیز قوی بودن حلقه r بیان می کنیم و مثال هایی از این نوع حلقه ها را ذکر می کنیم. در فصل چهارم با مفهوم بلیچد بودن حلقه موضعی rآشنا می شویم و شرایط معادلی را برای j– تمیز قوی بودن t_n (r) ( حلقه ماتریس های بالامثلثی روی حلقه r ) در حالتی که r یک حلقه موضعی باشد، بیان می کنیم.در فصل پایانی در مورد j– تمیز قوی بودن ماتریس های 2×2 مطالبی را بیان می کنیم. برای j– تمیز قوی بودن ماتریس های 2×2 روی حلقه موضعی r با استفاده از تشابه ماتریس ها ملاکی ارائه می دهیم. همچنین نشان می دهیم حلقه ماتریس های 2×2 روی حلقه موضعی r تمیز قوی است اگر و تنها اگر هر ماتریس 2×2 منفرد محض روی آن j– تمیز قوی باشد. در نهایت ثابت می شود حلقه ماتریس های 2×2 روی یک حلقه موضعی جابجایی، j– تمیز قوی نیست؛ اما می توان با استفاده از معادله مشخصه یک ماتریس 2×2، j– تمیز قوی بودن آن را روی یک حلقه موضعی جابجایی مشخص کرد.

در این پایان نامهr))mn ، حلقه ماتریسی n×n ، روی حلقه r می باشد، که در برخی موارد با حلقه ماتریسی کامل بیان شده است. فرض کنیم k میدان و m<n اعداد صحیح مثبت باشند، در این صورت گوییم حلقه r عدد پایه ای پایا (ibn) دارد، هرگاه r –مدول های چپ آزاد یکریخت با رتبه های متفاوت روی r موجود نباشد. از طرف دیگر گوییم r، نوع حلقه (m,n-m) دارد، هرگاه برای هر جفت از اعداد صحیح مثبت a و b داشته باشیم: اگر m>a ? 1باشد، که ri و ra ، به عنوان r-مدول چپ آزاد، یکریخت باشند، آن گاه=i a و به ازای هرعدد طبیعی ?i a ، ra با ri به عنوان r-مدول چپ آزاد، یکریخت نباشند. اگر ، آن گاه r-مدول چپ آزاد ra و rb (به عنوان r-مدول) یکریخت هستند، هرگاه .(n-m (mod a ? b برای حلقه rکه دارای ویژگی ibn نباشد، اعداد صحیح مثبت m<n وجود دارند، به طوری که دارای نوع حلقه (m,n-m) می باشد. لویت در ]22[ نشان داد به ازای چنین جفت m و n، k-جبر1,n)) lk وجود دارد، که نوع حلقه اش (m,n-m) است که آن را جبر لویت نامند. در حالت خاص 1,n)) lk نوع حلقه برابر(1,n-1) است.

در این پایان نامه نشان میدهیم که (1)یک حلقه,یک حلقه کامل ماتریس های n*nاست اگر و تنها اگر شامل عناصری مانند f,a1,a2....,anباشد به طوری که .f^n=0, a1f^n-1+.....+f^n-1an =1 (2)شرایط زیر روی یک حلقه معادلند: 1-r یک حلقه ماتریسی کامل n*nاست. 2- r دارای یک مجموعه کامل از واحدهای ماتریسیn*n است. 3- r جمع مستقیمی از nایده ال راست دو به دو یکریخت است. (3)اگر kحلقه ای غیر جابجایی و m,n,i,jاعداد صحیح مثبت باشند k ,r-جبر آزاد تولید شده با عناصر b,fو روابط b^if^m+f^nb^j=1وf^m+n=0 و i/m=j/nآنگاه rیک حلقه ماتریس های m+n*m+n غیر بدیهی است.

ساختار ککوله از یک سیستم شیمیایی بودار (جورسازی تام از ساختمان متناظر کربنی اش) جایگاه پیوندهای دوگانه در یک ساختار شیمیایی را نشان می دهد. این ساختار به یاد فریدریچ ککوله، کسی که برای اولین بار نشان داد که بنزن (با معانی نظریه ی گراف ها، دوری به طول 6) می تواند چنین ساختاری داشته باشد، ساختار ککوله نام گذاری شد. در نظریه ی گراف، یک جورسازی یا مجموعه ی یال های مجزا در یک گراف مجموعه ای از یال های بدون راس مشترک است. مساله ی محاسبه ی تعداد جورسازی های تام ریشه در شیمی و مکانیک پایداری دارد، که در آن سوال اصلی این است که به چند طریق می توان گراف متناظر با یک مولکول را جورسازی کرد؟ از این رو، ساختار ککوله موضوع مهمی در نظریه ی گراف های شیمیایی به حساب می آید. تعداد این ساختارها را به روش های مختلف از جمله به روش پفافی می توان محاسبه کرد. این پایان نامه با هدف بررسی ساختارهای ککوله در نانو ساختارها و بویژه نانو لوله ها شکل گرفته است. در این پایان نامه ابتدا به محاسبه ی تعداد ساختارهای ککوله در زنجیرهای بنزن وار، صفحه ی گرافیت، نانو ستاره های دندریمری، نانو لوله ی tu c_4 c8 و نانو لوله ی دسته صندلی کلاهک دار به روش ساختمانی می پردازیم. سپس به توصیف روش فافی پرداخته و تعداد ساختارهای ککوله در دو نانو لوله را به این روش محاسبه می کنیم. در پایان با مفهوم پیکر بندی کلار که برگرفته از مفهوم ساختار ککوله است آشنا می شویم و عدد کلار را در زنجیرهای بنزن وار کاتاکاندنس، فولرن ها و نانو لوله های دسته صندلی و زیگزاگ و نانو مخروط cnc4 محاسبه می کنیم.

برای هر رابطه ی هم ارزی با خاصیت حذفی روی مجموعه اعداد صحیح مثبت یک گروه ابلی وجود دارد به طوریکه ...

در این پایان نامه ابتدا شرط برد پایدار $ n $ را معرفی کرده، سپس حلقه های تبادلی را تعریف می کنیم و شرایط لازم و کافی برای این که حلقه تبادلی $ r $، در شرط برد پایدار $ n $ صدق کند را بیان می کنیم. نشان می دهیم که حلقه تبادلی $ r $، در شرط برد پایدار $ n $ صدق می کند اگر و تنها اگر برای هرعنصر منظم $ ain r ^{n} $، عنصر تک پیمانه ای مانند $ u in r ^{n} $ وجود داشته باشد به طوری که $ au in r $ یک عضو گروهی شود اگر و تنها اگر برای $ a in r $ و $ b in m_{n} (r) $ که $ a sim _{n} b $، تک پیمانه ای های $ u in r ^{n} ~ , ~ v in ^{n} r $ وجود داشته باشند به طوری که $ a=ubv $ با $ uv=1 $.

یک نیم گروه سه تایی عبارت است از یک مجموعه ناتهی به همراه یک عمل سه تایی که شرکت پذیر می باشد. مشابه با قضایای نیم گروه ها شرط منظم برروی نیم گروه های سه تایی را معرفی و خواصی از نیم گروه های سه تایی منظم مورد بررسی و مطالعه قرار گرفته و نشان داده شده تصویر همریخت یک نیم گروه سه تایی منظم یک نیم گروه سه تایی منظم است. سپس متناظر با هر نیم گروه سه تایی یک نیم گروهی که پوشش نیم گروه نامیده شده، ارائه و ویژگی هایی از آن بررسی شده است. در ادامه نیم گروه های سه تایی از همریختی های مجموعه های مرتب مورد بررسی قرار گرفته است. سپس به معرفی ساختار نیم گروه های سه تایی ‎$ t[x,y] $‎ و ‎$ h[x,y] $‎ پرداخته و برخی از خواص نیم گروه سه تایی ‎$ h[x,y] $‎، و قضایای مرتبط با آن بررسی شده است.

فرض کنیم r یک حلقه ی یکدار باشد. عنصر a درr را تمیز نامیم اگر a= e+u ، که در آن e یک عنصر خودتوان و u یک عنصر یکال از r می باشد. اگر هر عنصر حلقه تمیز باشد، آنگاه حلقه را تمیز نامیم. عنصر a در حلقه ی r را r-تمیز نامیم اگر a= e + r ، که در آن e یک عنصر خودتوان و r یک عنصر منظم از r می باشد. اگر هر عنصر حلقه r-تمیز باشد، آنگاه حلقه را r-تمیز نامیم. حلقه های منظم و حلقه های تمیز مثالهایی از حلقه های r-تمیز هستند. اما مثالهایی را عنوان خواهیم کرد که نشان می دهند حلقه های r-تمیز لزوما تمیز و یا منظم نیستند. پس کلاس حلقه های تمیز و همچنین کلاس حلقه های منظم زیر کلاسهای سره از کلاس حلقه های r-تمیز هستند و همین موضوع نشان دهنده اهمیت بررسی چنین مفهومی است. به علاوه بعضی از روابط بین حلقه های r-تمیز و برخی از حلقه های دیگر را مورد بررسی قرار خواهیم داد و سعی خواهیم نمود که بعضی از خصوصیات حلقه های r-تمیز را به دست آوریم. عنصر a درr را j-تمیز نامیم اگر a= e+j و ej=je که در آن e یک عنصر خودتوان و j یک عنصر رادیکال جیکوبسن r می باشد. اگر هر عنصر حلقه تمیز باشد، آنگاه حلقه را j-تمیز قوی نامیم. در ادامه به بررسی برخی از ویژگی های حلقه گروههای j-تمیز می پردازیم.

در این پایان نامه مفاهیم اساسی نظریه مجموعه های ناهموار را بیان می کنیم و رابطه ای بین مجموعه های ناهموار، نظریه حلقه ها و مجموعه های فازی برقرار می کنیم. در حقیقت مفهوم زیر حلقه و ایدال ناهموار با توجه به یک ایدال، یک ایدال فازی و یک مجموعه فازی از حلقه معرفی می شود که توسیع مفهوم زیرحلقه و ایدال در حلقه های معمولی است. همچنین در این پایان نامه با استفاده از پوشش های یک مجموعه مرجع، عملگرهای تقریب روی مجموعه توانی تعریف شده و با در نظر گرفتن خواص پایه ای عملگرهای تقریب، نشان می دهیم که این عملگرها می توانند در بدست آوردن خواصساختاری جبری زیر مجموعه های مشخص، مورد استفاده قرار بگیرند.

در ابتدا مفهوم نیم حلقه سه تایی را که اولین بار توسط دوتّا و کار بیان شده است را مطرح کرده و سپس مفاهیم و قضایای مربوط به ایدال های اول و نیم اول و ماکسیمال را مطرح نموده و بین اید ال های نیم حلقه دوتایی اعداد صحیح نامنفی و ایدال های نیم حلقه سه تایی اعداد صحیح نامثبت یک تناظر دوسویی برقرار نموده و سپس نیم میدان سه تایی را معرفی و مثال ها و قضایای مربوط به آن را مطرح کرده و سرانجام ایدال های منفرد و نامنفرد را بیان نموده ایم.

در این پایان نامه ابتدا نیم گروه های سه تایی و مفهوم ایدال در نیم گروه های سه تایی را تعریف می کنیم و سپس تعریف ایدال های اول، کاملا اول، نیم اول و کاملا نیم اول را ارائه می دهیم و ارتباط بین آنها را بیان می کنیم. همچنین با استفاده از این ایدال ها، رادیکال اول و رادیکال کاملا اول را تعریف می کنیم و می بینیم چه ارتباطی با هم دارند. در ادامه به بیان و اثبات روابط بین ایدال های شبه متقارن و نیم شبه متقارن با ایدال های اول، کاملا اول، نیم اول و کاملا نیم اول می پردازیم. در آخر نیم گروه های سه تایی مرتب را معرفی می کنیم که در واقع هدف بررسی شرایطی است که با توجه به آن شرایط ایدال ها، اول، کاملا اول، نیم اول یا کاملا نیم اول باشند.

در این رساله تعمیمی از حلقه های تبادلی یعنی حلقه های تظریف پذیر را معرفی میکنیم و قطری پذیری ماتریس ها رروی حلقه های تظریف پذیر را بررسی کنیم. همچنین حلقه های بطور پایدار شمارا را معرفی کرده و قطزی پذیری ماتریس ها را روی آنها بررسی میکنیم.