معادلات لینارد کلاسیک، میدان های برداری دوبعدی روی صفحه ی فاز مرتبط با معادلات دیفرانسیل اسکالر x ?+ f(x) x ?+x=0 هستند. در این رساله فرض می کنیم f یک چندجمله ای از درجه ی 2l-1 باشد به طوری که l یک عدد طبیعی دلخواه ولی ثابت است، در این صورت معادله ی لینارد متناظر از درجه ی 2l خواهد بود. نشان خواهیم داد که اگر f را به مجموعه ی فشرده ای از چندجمله ای ها با درجه ی دقیقا n=2l-1 محدود کنیم، تعداد سیکل های حدی معادله ی لینارد متناظر به طور یکنواخت کراندار می شود. مساله ی اصلی شامل مطالعه ی سیکل های حدی با دامنه ی بزرگ است که نشان می دهیم تعداد آن ها حداکثر l است.

فرض کنیم t یک عملگر خطی و کراندار روی فضای هیلبرت h باشد. طیف t عبارت است از مجموعه اعداد مختلط z که به ازای این اعداد، وارون t-zi وجود ندارد. آنالیز طیفی یا نظریهء طیفی مربوط به عملگرهای خطی کراندار، یکی از موضوعات اساسی آنالیز تابعی است که به بررسی اصولی روابط بین یک عملگر و عملگر حلال آن، مجموعه های طیف و حلال و همچنین روابط بین مقادیر ویژه و بردارهای ویژهء یک عملگر می پردازد. این نظریه کاربردهای فراوانی در ریاضیات، فیزیک، علم کامپیوتر، زمینه های مختلف مهندسی و... دارد. برای مثال در محاسبات مربوط به توابع روی ماتریس های خودالحاق نقش اساسی دارد. کاربردهای فراوانی از آن را می توان در نظریهء اعداد، نظریهء گراف، حل مسایل بهینه سازی ترکیبیاتی و فیزیک کوانتوم مشاهده کرد. همچنین بسیاری از معادلات دیفرانسیل با کمک این نظریه حل می شوند. در این پایان نامه ابتدا با استفاده از نظریهء طیفی به حل یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی به نام معادلهء موج در فضای سه بعدی می پردازیم. این معادله با مدل سازی ارتعاشات حاصل از دو گوشهء سه بعدی مجاور به دست می آید. در قسمت بعد، دستهء خاصی از عملگرها به نام عملگرهای متقارن مختلط را معرفی کرده و ساختار ویژهء این عملگرها را مورد مطالعه قرار می دهیم. این دسته از عملگرها کاربردهای فراوانی در فیزیک و ریاضیات دارند که به برخی از این کاربردها اشاره شده است.

در بسیاری از مدل های دینامیکی متغیرهای مختلف، مقیاس های متفاوتی دارند. از این رو مطالعه ی دستگاه های دینامیکی با مقیاس زمانی متفاوت یا دستگاه کند-تند مورد توجه قرار گرفته است. ویژگی جواب های چنین دستگاه هایی معمولاً به کمک نظریه اختلال تکین یا نظریه تیخونف بررسی می شود. این پایان نامه به سه بخش اصلی تقسیم می شود. در بخش اول به معرفی دستگاه های کند-تند یا مختل شده تکین پرداخته و مفاهیمی مانند منیفلد کند، زیر سیستم های کند و تند را معرفی کرده، ابتدا نشان می دهیم در این دستگاه انشعاب تبادل پایداری اتفاق می افتد. با استفاده از نظریه اختلال تکین هندسی و نظریه تیخونف مفاهیم کانارد، ناپایداری تاخیری و رفتار مجانبی منحنی های جواب را بررسی می کنیم. در بخش پایانی مدل شکار-شکارچی کلارک را به عنوان کاربردی از دستگاه ارائه شده در بخش دوم معرفی کرده و دینامیک آن را بررسی می کنیم.

این رساله به انشعابات سیکل حدی بوسیله ایجاد اختلال در سیستم های هامیلتونی می پردازد. با استفاده از ایده ی هندسی نگاشت پوانکاره و نظریه ملنیکف این مساله به مساله بررسی تعداد و موقعیت صفرهای یک تابع به نام تابع ملنیکف مرتبه اول یا انتگرال آبلی ساده می شود. انشعابات بررسی شده شامل انشعاب هاپف، انشعاب پوانکاره یا انشعاب از طوق تناوبی و انشعاب از اتصالات زینی هستند. روش های مختلفی، با توجه به نوع مساله، برای بررسی تعداد صفرهای انتگرال آبلی وجود دارند. روش های بکار گرفته در این رساله شامل: روش مبتنی بر معادلات پیکارد-فوکس، روش مبتنی بر محک چبیشف و استفاده از بسط مجانبی انتگرال آبلی در نزدیکی نقاط بحرانی تابع هامیلتونی متناظر هستند.

یکی از مهم ترین مسائل باز در نظریه معادلات دیفرانسیل در صفحه‏، تعیین تعداد ماکزیمم سیکل های حدی برای یک سیستم چندجمله ای مرتبه ‎ nدر صفحه است که اولین بار توسط هیلبرت در ابتدای قرن گذشته در دومین کنگره بین المللی ریاضی دانان در پاریس مطرح شد. این مسئله با گذشت بیش از یک سده‏، هنوز برای ‎‎‎‎n=2‎‎‏ باز است. معمولاً ماکسیمم تعداد سیکل های حدی با ‎‎‎‎h(n) ‎‏ نمایش داده می شود و عدد هیلبرت نامیده می شود. در بسیاری از مسائل کاربردی‏، تعداد و موقعیت مکانی سیکل های حدی برای درک رفتار دینامیکی یک سیستم حائز اهمیت است. وجود سیکل حدی در بسیاری از ‎‏مدل های‎ زیستی‏، اکولوژی و فیزیکی قابل اهمیت است. سیکل های حدی در سیستم های خطی‏، سیستم های پایستار و سیستم های گرادیانی نمی توانند ظاهر شوند بلکه در سیستم های غیر خطی ظاهر می شوند.‎‏‎ ‎‎‏در ریاضیات‏، به خصوص در مطالعه ی سیستم های دینامیکی و معادلات دیفرانسیل‏، یک معادله ی لیینارد یک معادله ی دیفرانسیل مرتبه دوم است که بسیاری از مدارهای نوسانی توسط آن مدل می شوند. کاربردهای معادله لیینارد را می توان در بسیاری از مثال های مهم از جمله سیستم های شکار-شکارچی و واکنش های شیمیایی یافت. ‎‎‏در این پایان نامه به مطالعه ی سیکل های حدی و انشعاب هاپف در سیستم های لیینارد هموار و غیرهموار می پردازیم. با استفاده از یک روش جبری، ثابت های لیاپانف را برای سیستم های لیینارد هموار تعمیم یافته در صفحه می یابیم. به کمک ثابت های لیاپانف، سیکل پذیری هاپف در سیستم های لیینارد غیرهموار در صفحه را مطالعه می کنیم. همچنین شرایط لازم و کافی برای این که مبدأ یک مرکز باشد را به دست می آوریم. در پایان، کاربردهایی از نتایج به دست آمده را در قالب چند مثال خاص ارائه می دهیم.

در این ‏پایان نامه به مطالعه ی کامل انشعابات سیکل های حدی در اختلالات کوچک میدان های برداری همیلتونی با یک همیلتونی فوق بیضوی از درجه پنج می پردازیم. در واقع‏، سیستم لینارد به شکل x ?=y و y ?=q_1 (x)+? y q_2 (x) را مطالعه می کنیم که در آن q_1 (x) و q_2 (x) به ترتیب چندجمله ای از درجه چهار و سه هستند. نشان داده می شود که برای 0<??1 و به اندازه کافی کوچک‏، این سیستم می تواند تحت انشعابهای هاپف تباهیده قرار گیرد و حداکثر سه سیکل حدی پدید آورد. همچنین‏، این سیستم تحت انشعاب پوانکاره قرار می گیرد و حداکثر ‏چهار سیکل حدی در صفحه پدید می آورد

در این پایان نامه به مطالعه ویژگی تابع ملنیکف مرتبه اول در دستگاه های نزدیک به همیلتونی می پردازیم که دستگاه همیلتونی مربوطه دارای یک حلقه هتروکلینیک گوشه دار شامل دو مدار هتروکلینیک متصل به دو گوشه و یک زین هذلولوی است. برای این منظور بسط مجانبی تابع ملنیکف را در نزدیکی این نوع حلقه های هتروکلینیک به دست می آوریم و فرمول هایی برای چند ضریب اول این بسط ارائه می دهیم. سپس با استفاده از نتایج به دست آمده، به مطالعه ی انشعابات سیکل های حدی در نزدیکی این حلقه ها در دستگاه های چندجمله ای ?-z?_qهم پایا از درجه ی 5 به ازای q=2,3 می پردازیم.

بسیاری خواص تناوبی از خود نشان داده و میتوان آنها را با یک سیگنال سینوسی و یا مجموع سیگنالهای سینوسی با پارمترهای متغیر با زمان مدل نمود. ارائه روشی که توانایی استخراج سیگنال های سینوسی و تخمین پارامترهای آنها را داشته باشد در بسیاری از شاخصهای مهندسی کاربرد دارد. تخمین پارامتر میتوان شامل تخمین دامنه، فرکانس و فاز این سیگنالهای سینوسی باشد. در این میان، تخمین فرکانس به لحاظ اینگونه سیگنالها ارائه وجنبههای مختلف آن مورد تحقیق قرار گرفته است. این تحقیق شامل معرفی الگوریتم، ارائه معادلات دیفرانسیل حاکم بر آن و تحلیل و اثبات پایدراری آن میباشد. در ادامه الگوریتم جهت تخمین فرکانسهای یک سیگنال که از مجموع چند سیگنال سینوسی شکل گرفته باشد، تعمیم داده شده است. علاوه بر این، در این رساله روشی جهت تفکیک مولفه های یک سیگنال تناوبی و تخمین فرکانس مولفه اصلی آن ارائه شده است. جنبه های مختلف الگوریتمهای ارائه شده و همچنین روشهای معرفی شده جهت تنظیم پارمترهای آنها از طریق شبیه سازی کامپیوتری به طور دقیق تحقیق شده است. ساختار مطرح شده در این رساله بر هیچ یک از روشهای معمول تجزیه و تحلیل سیگنالهای منطبق نبوده و یک روش غیر خطی برای مسالهای به طور ذاتی غیر خطی ارائه میکند. الگوریتم معرفی شده در این رساله هر چند دامنه و فاز را تخمین نمیزند و تنها امکان تخمین مستقیم فرکانس را فراهم میسازد. توانایی تجزیه و سیگنال شامل مجموع سیگنالهای سینوسی به مولفه های تشکیل دهنده آن را داراست. شیبه سازی های متعدد کامپیوتری موید کارایی الگوریتم برای کاربردهای تجزیه و تحلیل سیگنالها در حوزه زمان است. این شبیه سازی موید مقاوم بودن الگوریتم نسبت به نویز و تغییرات داخلی است. در مقایسه با حلقه قفل شده در فاز، الگوریتم معرفی شده به نوسان ساز کنترل شونده با ولتاژ نیازی نداشته و همچنین تنظیم پارامترهای آن ساده تر میباشد. ساختار موازی الگوریتم پیاده سازی سخت افزاری و نرم افزاری آن را ساده میسازد.

در این پایان نامه به بررسی تعداد سیکل های حدی در اختلالات عام مرتبه ی دوم از مراکز مرتبه ی دو در حالت همبعد چهار (q_4) می پردازیم که دستگاه دیفرانسیل مربوطه دارای یک مرکز، یک گره و یک انتگرال اول گویا است. برای این منظور ابتدا تابع ملنیکف مرتبه ی اول iو معادلات پیکارد فوکسی که i در آن صدق می کند را به دست می آوریم. علاوه بر این نشان می دهیم فضای جواب یکی از عملگرهای دیفرانسیل مرتبه دو در این معادلات، فضای چبیشف است و بااستفاده از این ویژگی و محاسبه ی مستقیم، سیکل پذیری طوق تناوبی q_4 را به دست می آوریم. نشان می دهیم این سیستم دارای حداقل 3 و حداکثر 5 سیکل حدی است که از طوق تناوبی آن منشعب می شوند علاوه بر این به بررسی صحت حدس زلادک در چند حالت خاص می پردازیم.

چکیده اخیرا مطالعات روی سیستم های گویای دارای عبارات خطی مورد توجه قرار گرفته و نتایج بسیار شگرفی در این موارد را شاهد هستیم ولی در این بین کم تر شاهد مطالعات روی سیستم های با عبارات درجه دو بوده ایم. در حالت کلی سیستم های گویا با عبارات درجه دو در صفحه تعریف می شوند. در این پایان نامه روی مدل جدید رقابتی لجستیک زیر که یکی دیگر از حالت های خاصمدل های گویا که شامل عبارات درجه دو هستند، تمرکز می کنیم. شرایط پایداری و انشعاب و به ویژه منیفلدهای پایا و همینطور رفتار آشوبی سیستم فوق را بررسی کرده، انشعاب های گره - زینی ، دوره مضاعف و مسیرهای آشوبی توسط شبیه سازی های عددی در مورد مدل لجستیک نمایش خواهیم داد. در ضمن سعی شده در این پایان نامه آشوب از نگاه لی و یورک و کنترل آشوب این سیستم را مورد بررسی قرار دهیم.

اهداف اصلی تدوین پایان نامه جاری بدین شرح است : معرفی مسأله شانزدهم هیلبرت و فرم ضعیف آن، چگونگی ارتباط مسأله ضعیف شده و مسأله یافتن تعداد صفرهای انتگرال های آبلی، ارایه برخی روش های استفاده شده در جهت حل مسأله ضعیف شده و در نهایت یافتن کران بالا برای تعداد سیکل های حدی برخی از دستگاه های معادلات دیفرانسیل با بررسی تعداد صفرهای انتگرال های آبلی متناظرشان.

در این پایان نامه معیاری ارائه خواهد شد که یافتن تعداد صفرهای انتگرال آبلی را ساده می کند. این مسأله ناشی از این حقیقت است که اثبات چبیشف کامل بودن یک سیستم می تواند با محاسبه رونسکین مشخص شود. نشان دادن اینکه مجموعه ای انتگرال آبلی دارای خاصیت چبیشف است تا حد زیادی ساده است و در بعضی موارد ما را قادر می سازد که مسأله را از یک راه به طور کامل جبری دوباره فرمول بندی کنیم. البته معیاری که در اینجا ارائه خواهد شد برای همه موارد نمی تواند به کار برده شود، چون انتگرال های آبلی باید دارای ساختار خاصی باشند. و حتی در مواردی که امکان به کارگیری آن وجود دارد، ممکن است شرایط مسأله با شرایط کافی که ارائه می دهیم سازگار نباشد. با این حال تأکید می کنیم که در صورت به کارگیری این روش، راه حل مسأله بسیار ساده تر می شود

معادلات کلاسیک لیینارد معادلاتی به شکل زیر هستند x ?=y-f(x) y ?=-x, که در آن f(x) یک چندجمله ای است. درجه معادلات کلاسیک لیینارد، درجه چندجمله ای f(x) است. در سال 1976 میلادی لینزف دملو و پو حدس زدند که تعداد سیکل های حدی معادلات کلاسیک لیینارد از درجه n برابر [(n-1)/2] (بزرگ ترین عدد صحیح کوچک تر یا مساوی (n-1)/2 ) است و حدس خود برای n=3 را ثابت کردند. در این پایان نامه ابتدا وجود ‎4‎ سیکل حدی هذلولوی در معادلات لیینارد از مرتبه 6‎ را اثبات می کنیم. روش اثبات مبتنی بر نظریه اختلال تکین هندسی یا همان معادلات کند تند است. در ادامه این اثبات را توسیع داده و نشان می دهیم که معادلات کلاسیک لیینارد از درجه n?6‎ می توانند ‎[(n-1)/2]+2 ‎ سیکل حدی داشته باشند، که این اثبات نشان می دهد حدس ارائه شده توسط لینز و همکارانش درمورد ‎ n?6‎ نادرست است. در فصل پایانی این پایان نامه نشان می دهیم که معادلات کلاسیک لیینارد از درجه 4‎ حداکثر یک سیکل حدی دارد که این سیکل حدی در صورت وجود یکتاست. با این اثبات حدس لینز و همکارانش درمورد تعداد سیکل های حدی برای ‎ n = 4 ‎ اثبات می شود.

جلوگیری از ناپایداری ولتاژ بلند مدت در سیستم های قدرت با بکارگیری کنترل های تصحیحی و اضطراری صورت می گیرد. هدف از کنترل اضطراری، ایجاد نقطه ی تعادل دائمی قابل قبول برای سیستم و کاهش مجموع انحراف اندازه ی ولتاژ باس عای ضعیف و جریان خطوط تغذیه کننده ی ناحیه ی ضعیف در دوره ی گذاری پس از اختلال، با کمترین میزان قطع بار می باشد. در این پایان نامه یک روش کنترل اضطراری هماهنگ مبتنی بر پیش بینی مسیرهای سیستم، با تعریف یک مسئله ی بهینه سازی پیشنهاد می گردد. کنترل پیش بین بهینه با حد اقل کردن یک تابع هدف شامل مولفه هایی همچون میزان بارزداییو انجراف شاخص های نشان دهنده ی ناپایداری در فاصله ی وقوع اختلال تا زمان رسیدن سیستم به حالت دائمی طراحی می شود. در این طرح، اقدامات کنترلی اضطراری مانند تنظیم ولتاژ مرجع ژنراتور، تنظیم ولتاژ مرجع ltc و اتصال خازن های شنت به پاس های مناسب به همراه بارزدایی به عنوان آخرین راه حل بطور هماهنگ بکارگرفته می شوند. مسئله ی بهینه سازی ترکیبی تعریف شده شامل متغیرهای گسسته، با روش ابتکاری جستجوی ممنوع حل می شود. به منظور کاهش میزان محاسبات لازم و ایجاد امکان بکارگیری روش بصورت بهنگام، برای پیش بینی مسیرهای حالت به ازای مقادیر کنترل مختلف، به جای استفاده از شبیه سازی مدل کامل سیستم از روش تحلیل حساسیت مسیر حالت استفاده می شود. به منظور حفظ دقت و اعتبار نتایج، در حل مسئله ی بهینه سازی یک الگوریتم ترکیبی متشکل از روش حساسیت مسیر حالت و شبیه سازی مدل دقیق سیستم پیشنهاد می گردد.

در این رساله ضمن معرفی مساله شانزدهم هیلبرت و فرم مماسی آن به بررسی تعداد سیکل های حدی منشعب شده از طوق تناوبی چند خانواده از دستگاه های انتگرال پذیر و هامیلتونی تحت اختلال های چند جمله ای با استفاده از روش های مختلف و بررسی تعداد صفرهای انتگرال های آبلی نظیرشان می پردازیم. در این پایان نامه به جز فصل اول که مقدمه می باشد بقیه فصل ها جدید می باشند.

کاناردها اولین بار توسط ریاضیدانان فرانسوی در مطالعه نوسان_های آرام دو بعدی، خصوصاً نوسان های وندرپل کشف شدند. پدیده کانارد، توصیف کننده یک انتقال بسیار تند، تحت تغییرات یک پارامتر است که این انتقال، از یک سیکل حدی کوچک - دامنه به یک سیکل آرام بزرگ - دامنه توسط سیکل های کانارد انجام می شود. این انتقال بسیار تند که انفجار کانارد نامیده می شود، در یک بازه پارامتری کوچک رخ می دهد، در نتیجه آشکار سازی آن بسیار سخت است. به علاوه شکل یک سیکل کانارد در فضای فاز، شبیه به یک اردک است. روش های تحلیل پدیده کانارد، بر اساس آنالیز غیراستاندارد، بسط های مجانبی تطبیق یافته و روش بزرگ نمایی هستند. این روش ها باعث بسط یافتن نظریه اختلال تکین (قضیه فنیشل) در نقاط غیر هذلولوی شد. در میدان های برداری مختل شده تکین، که در آن ها میدان برداری مختل نشده، دارای یک منحنی بحرانی است، بسته به علامت دیورژانس میدان برداری در منحنی بحرانی، مدارها به سمت آن جذب یا دفع می شوند. هنگامی که به ازای برخی نقاط انشعاب، این علامت از منفی به مثبت تغییر کند، مدارها به سرعت پس از عبور از نقطه انشعاب، از منحنی دور می شوند. رفتار غیر معمول زمانی رخ می دهد که پس از عبور از نقطه انشعاب، مدار تا مدتی منحنی بحرانی را دنبال می کند و سپس از آن دور می شود. در این حالت یک تاخیر در انشعاب رخ می دهد. برخی سیستم ها، نمایش دهنده بحران های تکرار شونده ای هستند که تکامل تناوبی اشان را مختل می کند. بطور مثال می توان به مسائلی در علوم اجتماعی، فیزیولوژی، دینامیک های جمعیتی، اقتصاد و محیط زیست اشاره کرد. بسیاری از این سیستم های پیچیده، از نظر رفتاری به یکدیگر شباهت دارند. البته چنین سیستمی متشکل از دو نوع مقیاس زمانی مختلف است: یکی برای حالت تناوبی عادی و دیگری برای بحران های دوره ای. نکته بسیار مهم در این سیستم زنجیره غذایی، درک تطبیق بین دینامیک های کند و تند است که توسط تحلیل انشعابات دینامیک های تند انجام می گیرد. دینامیک های جمعیتی آشوبی، اولین بار در اواسط دهه هفتاد میلادی قرن بیستم با استفاده از نگاشت لجستیک کلاسیک مورد استفاده قرار گرفت و پس از آن مفهوم آشوب در مدل های زیستی به دفعات استفاده شد. جاذب هایی که در این مدل ها رخ می دهند، اکثراً از نوع راسلر می باشند. نسل بعدی زنجیره های غذایی آشوبی، توسط هستینگز کشف شد. نوع دیگری از زنجیره غذایی که شامل مدارهای گره زینی هموکلینیک شلنیکوف هستند، توسط مک کان و یودزیس بررسی شدند. تمامی این اکتشافات، برگرفته از مدل های ریاضی هستند. جاذب هستینگز به شکل فنجان چای است که بر اساس آن، یک مدل هندسی توسط کوزنتسف و رینالدی (1996) پیشنهاد شده است. در این مدل فرض بر اینست که جمعیت ابر شکارچی بطور آهسته در حال رشد است. اگر جمعیت ابر شکارچی ثابت در نظر گرفته شود، آنگاه سیستم را می_توان به عنوان خانواده ای دو بعدی از شکار و شکارچی با پارامتر ابرشکارچی در نظر گرفت. این خانواده تک پارامتری، تحت یک انشعاب هاپف فوق بحرانی قرار می گیرد. وقوع انشعاب هاپف، منجر به تشکیل خانواده ای از سیکل های تناوبی در زیر نقطه انشعاب و خانواده ای از نقاط تعادل پایدار در بالای نقطه انشعاب می شود. سیکل های تناوبی تشکیل یک رویه سهمیگون می دهند که در راس آن نقطه انشعاب قرار دارد و نقاط تعادل پایدار تشکیل یک منحنی می دهند که از راس سهمیگون شروع شده و از طریق یک انشعاب گره زینی به محدوده تراکم ابرشکارچی می رسند. بدین ترتیب، یک جاذب فنجان چای توسط قسمت های تناوبی انشعاب هاپف و منحنی نقاط تعادل تشکیل می شود. این جاذب را می توان با دنبال کردن یک مدار نوعی سیستم شکار – شکارچی تصور کرد که در آن، تغییرات پارامتر سیستم (نرخ مرگ و میر ابر شکارچی)، کند است.

تک جمله ای ‎ø را انتگرال اول معادله دیفرانسیل ẋ=f(x) می نامیم هرگاه ‎ ‎xf(ø)=0. در این پایان نامه به بررسی وجود انتگرال های اول، تعداد و شکل آن ها برای یک معادله دیفرانسیل غیرخطی خودگردان با استفاده از فرم نرمال پوانکاره-دولاک خواهیم پرداخت.‎‏ هم چنین مواردی که حداکثر تعداد انتگرال اول قسمت خطی برای معادله ‏دیفرانسیل حفظ شود را بررسی کرده و در انتها کاربرد فرم نرمال در محاسبه انتگرال های اول را بیان می کنیم.‎

کی از نظریه های اساسی در رابطه با سیستم های همیلتونی، قضیه کلاسیک kam است که از نظریه های اساسی در جهت مطالعه خواص سیستم های همیلتونی نزدیک به سیستم های همیلتونی انتگرال پذیر است. نخست تعمیمی از این قضیه که به قضیه kam ضعیف مشهور است را بیان می کنیم. در ادامه از نظریه اندازه ها برای مطالعه معادلات همیلتون-ژاکوبی استفاده می کنیم. اندازه های مطرح شده، در واقع جواب های یک معادله دیفرانسیل جزیی هستند. ایده معرفی این معادله دیفرانسیل، حاصل از شناخت نظریه kam ضعیف است. هم چنین با معرفی اندازه های مختلف قادربه تحلیل رفتارهای جواب معادله و رسیدن به یک فرمول نمایشی برای جواب های چسبنده معادله همیلتون-ژاکوبی خواهیم بود. این فرمول نمایشی تعمیم فرمول های هاپف در حالت محدب است. سپس معادله خم های مشخصه را بررسی می کنیم. ازآنجاییکه در مسایل کاربردی مخصوصأ نظریه دیفرانسیلی بازی ها عملأ با توابع غیر هموار روبرو هستیم، خم های مشخصع بصورت سراسری وجود ندارند. در واقع رویه هایی وجود دارند که جواب های معادله در نزدیکی این رویه ها دچار جهش می گردند این رویه ها دسته بندی های مختلفی دارند. نوع خاصی از این رویه ها را معرفی و نحوه ی ساختن آن را شرح می دهیم.

در این پایان نامه اثباتی تحلیلی از وجود یک مدار تناوبی پایدار موجود در منطقه ی همزیستی سه گونه از یک زنجیره ی غذایی سه تغذیه ای را ارائه می دهیم. روش مورد استفاده شامل تجزیه و تحلیل یک انشعاب هاپف سه گانه است. برای برخی مقادیر پارامترها سه سیکل حدی از طریق این انشعاب بوجود می آید, یکی در صفحه ای موجود است که در آن ابر-شکارچی وجود ندارد, دیگری در دامنه ی دلخواهی که تمام متغیرهای آن مثبت هستند وجود دارد. سومین آن جایی را در بر می گیرد که همزیستی سه گونه وجود دار‎د‎. تکنیک های اثبات این نتایج بر اساس نظریه معدل گیری از مرتبه دوم است که در ابتدا به معرفی این نظریه و نتایج آن پرداخته می شود و در نهایت بوسیله ی این نظریه ارتباط بین وجود انشعاب هاپف در سیستم معدل گیری شده و سیستم اولیه عنوان می شود. وجود این انشعاب هاپف سه گانه به طور عددی توسط کوایج و همکارانش کشف شده است. همچنین برای چنین سیستم هایی ابتدا انشعاب شلنیکُف مورد بررسی قرار گرفته شده است و بعد از آن به معرفی انشعاب بلیاکُف که حاصل از گذار بین حالت انشعاب با مقادیرویژه حقیقی به انشعاب با مقادیرویژه مختلط (انشعاب شلنیکُف) است را معرفی می کنیم و نشان می دهیم که هر نقطه بلیاکف (‎‎نقطه انشعاب هموکلینیک همبُعد-2) مبدأ سه خانواده نامتناهی از منحنی های انشعاب کمکی است که این انشعابات شامل انشعاب مضاعف ساز دوره تناوب, انشعاب مماسی(گره زینی) و انشعاب هموکلینیک است.

سیستم های کند-تند دو بعدی که با دو مکانیسم شکست مواجه می شوند را مورد مطالعه قرار می دهیم. آن ها را سیکل های کانارد دو لایه می نامیم. این سیکل های کانارد شامل یک نقطه تاشدگی و یک مدار تند متصل به دو نقطه پرش است.

تاریخ علم زمانی آغاز شد که بشر در صدد آن بود که علت پدیده های طبیعی را تشریح کند تا بتواند رخدادهای آتی جهان طبیعت را پیش بینی و به دلخواه خود در آن ها تأثیر بگذارد. بدون شک ریاضیات زبان علمی بیان و تفسیر پدیده هاست. پدیده های طبیعی و فیزیکی مانند حرکت آونگ، حرکت سیارات، جریان در مدل های الکتریکی، اتلاف حرارت در اشیاء صلب، پراکنش و ردیابی امواج زلزله ای، تغییر جمعیت موجودات زنده و هم چنین مسائل علوم مهندسی همگی به عنوان یک سیستم وابسته به زمان هستند. وابستگی این پدیده ها به زمان باعث پویایی و خاصیت دینامیکی آن ها می شود، لذا تغییرات این رخدادها به تغییرات زمان وابسته است. به زبان ریاضیات، این رخدادها معادله ها هستند و نرخ تغییرات، همان مشتقات اند. معادله های شامل توابع و مشتقات آن ها، معادلات دیفرانسیل هستند. پس برای رسیدن به تابعی که این رخدادها را تفسیر می کند، مجبور به حل معادلات دیفرانسیل هستیم. گرایش معادلات دیفرانسیل از معادلات نیوتن (1727-1642م) و لایب نیتز 1716-1646م) در زمینه ی حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن هفدهم میلادی نشأت گرفته است. اگر چه کارهای نیوتن در زمینه ی معادلات دیفرانسیل نسبتاً کم بوده است، اما با بسط حساب دیفرانسیل و انتگرال و توضیح اصول مکانیک، پایه ای برای معادلات دیفرانسیل در قرن هجدهم مخصوصاً توسط اویلر‎ { }‎فراهم کرد. لایب نیتز مستقل از نیوتن، اگر چه کمی پس از او، به نتایج بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال رسید، اما اولین کسی بود که آن ها را، در سال ‎1648‎ میلادی منتشر کرد. هم چنین برادران برنولی‎،‎ ژاکوب 1705-1645م) و یوهان1748-1667م)،‎ کارهای بسیاری برای بسط روش های حل معادلات دیفرانسیل و دامنه ی کاربرد آن ها انجام دادند. این دو برادر با صورت بندی بسیاری از مسأله های مکانیک به صورت معادلات دیفرانسیل توانستند آن ها را با کمک حساب دیفرانسیل و انتگرال حل کنند. دانیل}‎برنولی ‎(1782-1700م)‎ پسر یوهان، به معادلات دیفرانسیل جزئی و کاربردهای آن علاقه مند بود و معادله ی برنولی در مکانیک سیالات به او منسوب است. هم چنین او اولین کسی بود که به توابعی که یک قرن بعد به توابع بسل‎معروف شدند برخورد. اویلر ( ‎1738-1707م)‎ بزرگترین ریاضی دان قرن هجدهم میلادی، شرط کامل بودن معادلات دیفرانسیل مرتبه ی اول را معین کرد و نظریه ی عامل انتگرال ساز را بسط داد و جواب عمومی معادلات خطی و ضرائب ثابت را در سال ‎1743‎ میلادی ارائه کرد و نتایج اخیر را در سال ‎1751‎ میلادی به معادلات غیرهمگن بسط داد. لاگرانژ (1813-1736م)‎ ثابت کرد که جواب عمومی معادله دیفرانسیل خطی و همگن مرتبه nترکیبی خطی از nجواب مستقل خطی است. لاپلاس ‎ (1827-1749م)‎ در زمینه ی مکانیک سماوی سرآمد بود و عظیم ترین کار وی، رساله ی مکانیک سماوی، در پنج جلد بین سال های ‎1779‎ تا ‎1825‎ میلادی منتشر شد. معادله ی لاپلاس، معادله ی بنیادی بسیاری از شاخه های ریاضی فیزیک است و لاپلاس آن را در ارتباط با نیروی جاذبه به طور مفصل مطالعه کرد. تبدیل لاپلاس نیز به او منسوب است با آن که مفید بودن آن در حل معادلات دیفرانسیل تا مدت ها بعد مشخص نبود. تا پایان قرن هجدهم میلادی، روش های مقدماتی متعددی برای حل معادلات دیفرانسیل کشف شده بود. در قرن نوزدهم میلادی، ریاضی دانان بیشتر به تحقیق در مورد سوال های نظری وجود و یکتایی و بسط روش های پیشرفته تر مانند استفاده از سری های توانی علاقه مند بودند، اما فراوانی معادله های دیفرانسیلی که با روش های تحلیلی حل نشدند، منجر به بررسی روش های تقریب عددی شد. تا سال ‎1900‎ میلادی، روش های کارآمدی برای انتگرال گیری عددی ابداع شده بودند، اما پیاده سازی آن ها به علت نیاز به محاسبات مفصل با دست و یا ابزارهای محاسباتی ابتدایی به شدت با محدودیت مواجه بود. در شصت سال گذشته، توسعه ی رایانه های قدرتمند و همه کاره، دامنه ی مسائلی را که به طور موثر با روش های عددی بررسی می شوند وسعت داد. اما در روش های عددی دو محدودیت عمده موجود است. اول اینکه در این روش ها دو نوع خطا معرفی می شود: ‎1)‎خطای گرد کردن حاصل از محدودیت های محاسباتی کامپیوتر، ‎2)‎خطای برشی حاصل از روش محاسبه حال اگر دینامیک معادله ی دیفرانسیل پایدار باشد، این نوع خطاها از لحاظ کیفی بر نتیجه تأثیر نخواهد داشت. اما وقتی معادله دارای دینامیکی ناپایدار باشد، خطاهای ذکر شده به طور چشمگیر افزایش می یابد به طوری که مسیر پیش بینی شده دور از جواب واقعی به دست می آید. دوم اینکه حتی وقتی که دینامیک معادله پایدار باشد، روش های عددی وقتی مفید است که ما به دنبال یک مسیر خاص جواب باشیم، اما وقتی که ما علاقه مند به بررسی دینامیک سراسری معادله هستیم، روش های عددی ناکارآمد هستند و اینجاست که اهمیت ویژه ی نظریه ی کیفی معادلات دیفرانسیل آشکار می شود. در اواخر قرن نوزدهم میلادی، لیوویل }‎ به بررسی کیفی معادلات دیفرانسیل پرداخت که منجر به نظریه ی کیفی معادلات دیفرانسیل عادی شد. اساس این نظریه آن است که به جای یافتن جواب، ویژگی های کیفی و مجانبی آن را به طور مستقیم از روی معادله بررسی و تعیین کنیم و هدف آن توصیف ساختار هندسی جواب های معادلات دیفرانسیل است. به ویژه، نظریه ی کیفی معادلات دیفرانسیل عادی برای دستگاه معادلات مسطح بسیار توسعه یافته است. در نظریه ی کیفی معادلات دیفرانسیل، برای بررسی کیفی جواب ها باید تعداد و موقعیت نقاط تعادل و سیکل های حدی مشخص باشد. مسأله ی یافتن نقاط تعادل به حل یک دستگاه معادلات جبری کاهش می یابد، ولی مسأله ی یافتن تعداد و موقعیت سیکل های حدی بسیار پیچیده و مشکل است. در این نظریه، تحقیق بر روی یافتن تعداد سیکل های حدی بسیار جذاب اما دشوار است. ‎section{‎ سیکل های حدی و مسأله ی شانزدهم هیلبرت‎:}‎ معادلات دیفرانسیل در بسیاری از زمینه ها مربوط به رشته های مختلف علمی به خصوص در ارتباط بین ریاضیات و بسیاری از شاخه های دیگر علم ظاهر می شود. به عبارت دیگر، در بسیاری از شاخه های علوم مانند زیست شناسی، شیمی، مکانیک، مکانیک سیالات، اخترفیزیک، الکترونیک، اقتصاد، ریاضیات مالی و غیره اغلب با خانواده ای از معادلات دیفرانسیل مسطح سروکار داریم که به طور غیرمستقیم پدیده های طبیعی مورد نظر را به عنوان یک مدل ریاضی ساده شده توصیف می کنند. این معادلات را می توان از جهات گوناگونی مورد مطالعه قرار داد به طوری که مطالعه ی این معادلات از دیدگاه کیفی ( دینامیکی) از بسیاری جهات در اولویت قرار دارد. اما متأسفانه مطالعه ی کامل دستگاه های دینامیکی غیرخطی حاصل از این معادلات بسیار پیچیده است، زیرا یک روش کلی برای مطالعه ی آن ها و به خصوص سیکل های حدی و انشعابات آن ها وجود ندارد و معمولاً این مطالعه به صورت ابتکاری برای هر سیستم خاص انجام می شود. یادآوری می کنیم که سیل حدی یک منحنی بسته ی ایزوله است، به این معنی که مسیرهای شروع شده در همسایگی های آن منحنی های بسته نیستند و به صورت مارپیچ یا به سیکل حدی نزدیک یا از آن دور می شوند. سیکل های حدی پایدار که تمامی مدار‎های شروع شده در همسایگی شان را جذب می کنند، سیستم هایی را مدل می کنند که حتی در غیاب نیروهای تناوبی خارجی نوسان می کنند. به عنوان مثال، ضربان قلب و یا ارتعاشات خودبرانگیز و خودجوش در پل ها و بال های هواپیما از این جمله هستند که تحت ‎اختلال های کوچک به حالت استاندارد اولیه ی خود برمی گردند. سیکل های حدی به طور ذاتی پدیده ای غیرخطی هستند و در سیستم های خطی اتفاق نمی افتند. سیکل های حدی هم چنین در سیستم های لیینارد که یک کلاس بزرگ و مهم از سیستم های دینامیکی غیرخطی در علوم فیزیک و غیره هستند ظاهر می شوند و نقشی کلیدی در رفتار دینامیکی سیستم ها بازی می کنند. بنابراین تعداد سیکل های حدی، نحوه ی توزیع و انشعابات آن ها در بسیاری از کاربردها حائز اهمیت است. مطالعه ی سیکل های حدی یکی از زمینه های اولیه ی پژوهش در نظریه ی سیستم های دینامیکی بوده است. برای اولین بار، پوانکاره در سال های ‎(1886-1881)‎ میلادی در چهار مقاله که درباره ی منحنی های انتگرالی معادلات دیفرانسیل بود، سیکل حدی را کشف کرد و پس از آن ریاضی دانان بسیاری درباره ی سیکل های حدی مسائل مختلفی را بیان کردند. سیستم های لیینارد در مدل های ریاضی بسیار مهم هستند. در این پایان نامه ، سیستم های لیینارد از درجه دلخواه روی صفحه را بررسی می کنیم و یک روش جدید برای پایین ترین کران از بیشترین تعداد سیکل های حدی به دست خواهیم آورد.در نیمه ی اول قرن گذشته مدل هایی که براساس سیستم لیینارد بودند، به علت پیشرفت رادیو و تکنولوژی لوله های خلاء، بسیار مورد توجه قرار داشتند. امروزه این سیستم به طور گسترده برای توصیف فرآیندهای نوسانی در شاخه های مختلف مدل های ریاضی - فیزیک، زیست، شیمی، فیزیولوژی، اقتصاد و خیلی از پدیده های دیگر به کار می رود. هدف از ارائه ی این پایان نامه به دست آوردن تعداد سیکل های حدی سیستم لیینارد است. یک سیستم لیینارد به صورت زیر است: ‎egin{equation}‎ ‎dot{x} = y‎ , ‎,,,‎, ‎dot{y} =‎ ‎-g(x)-‎ ‎f(x) y‎, ‎end{equation}‎ که x))g‎ و ‎f(x) ‎ چندجمله ای هایی برحسب x به ترتیب از درجه ی ‎m‎ و ‎n‎ هستند. فرض کنیم h(n,m) ‎ نشان دهنده ی حداکثر تعداد سیکل های حدی است. لذا پایین ترین کران برای ‎ h(n,m) ‎ را به دست خواهیم آورد و تخمین هایی برای ‎ h(n,m) ‎ با ‎ m ثابت، ‎ h(m,m) و‎ h(m+r,m) ‎و h(m-r,m) بیان خواهیم کرد. در پایان، x))g‎ را یک چندجمله ای مشخص در نظر می گیریم و به کمک توابع ملنیکف و روش های انشعاب هاپف، هموکلینیک و هتروکلینیک، پایین ترین کران برای ‎‎ h(n,m) ‎ برای برخی از مقادیر ثابت ‎ m ‎ و n را به دست خواهیم آورد. برای این کار مساله شانزدهم هیلبرت را بیان می کنیم و ارتباط آن با تعداد سیکل های حدی را توصیف می کنیم. کلمات کلیدی: {سیکل حدی، سیستم چندجمله ای لیینارد، انشعاب سراسری، حلقه ی هموکلینیک، حلقه ی هتروکلینیک، تابع ملنیکف‎.}

برای بررسی کیفی ساختار جوابهای یک دستگاه از معادلات دیفرانسیل رفتار جوابها را در نزدیکی نقاط تعادل جوابهای متناوب آن مطالعه می کنیم. قسمت مهم و پیچیده مساله یافتن تعداد و موقعیت سیکل های جدی است که در قسمت دوم مساله شانزدهم هلیبرت مطرح شد. صورت ضعیف شده آن به تخمین صفرهای آنها به وسیله سیستمهای چبیشف چند جمله ای مدل می شود. در این رساله برای یک اختلال درجه سوم از سیستم های هامیلتونی درجه چهار تابع فاصله را به ترکیب خطی از انتگرالهای آبلی در ایده آل باوتین تجزیه کرده و دیاگرام انشعاب قسمت اصلی آن را توصیف می کنیم.

وجود مدارهای تناوبی در یک کلاس از سیستم های قطعه ای خطی از بعد سه را در نظر می گیریم. ابتدا، رفتار دینامیکی سیستم قطعه ای خطی تباهیده که دو نقطه تعادل و یک منیفلد پایای دو بعدی ‏افراز شده توسط مدارهای تناوبی دارد را توصیف می کنیم. هدف این کار مطالعه مدارهای تناوبی پیوستار است که تحت یک اختلال قطعه ای خطی از سیستم باقی می مانند. برای بررسی این موقعیت یک تابع حقیقی از متغیرهای حقیقی می سازیم به طوری که صفرهای آن به سیکل های حدی باقی مانده تحت اختلال وابسته است. به وسیله این تابع‏، بعضی نتایج در مورد وجود و پایداری سیکل های حدی در سیستم مختل شده و هم چنین نتایجی درباره انشعاب های سیکل های حدی بیان می کنیم. تکنیک های ارائه شده مشابه با نظریه ملنیکف برای سیستم های هموار و روش معدل گیری است.