در این رساله ابتدا عملگرهای دیفرانسیل پذیر مرتبه دوم غیرخودالحاق روی نیم خط که دارای یک ناپیوستگی در یک نقطه ی درونی با استفاده از شرایط جهشی هستند،مطالعه شده است که برای این عملگرها خواصی از طیف را بدست می آوریم و بازیابی عملگر مساله معکوس از مشخصه های طیفی مفروض را تحقیق می کنیم. ما برای این مساله معکوس، قضیه یکتایی را اثبات میکنیم و یک روش برای ساختار جواب بدست می آوریم و شرایط لازم و کافی را برای حل مساله معکوس فراهم می کنیم. سپس مسایل استورم لیوویل را با نقاط برگردان، شرایط جهشی و منفرد مورد مطالعه قرار می دهیم و برای این مسایل مقادیر ویژه مجانبی را بررسی می کنیم که برای بازیابی مسایل معکوس حایز اهمیت می باشند.

یک مساله استورم-لیوویل را در نظر می گیریم که بر یک بازه ی کراندار تعریف شده و نقاط پایانی بازه نقاط منفرد مساله هستند و مساله دارای یک نقطه برگردان در میان بازه است. با کمک جوابهای مساله و با استفاده از تابع مشخصه مقادیر ویژه را در این حالت به دست می آوریم. سپس تمامیت سیستم توابع ویژه و وابسته از مساله مقدار مرزی معرفی شده را در یک فضای باناخ اثبات میکنیم و قضیه ای مبنی بر گسترش سریهای به طور یکنواخت همگرا وابسته به سیستم توابع ویژه و وابسته از مساله مقدار مرزی را بیان و اثبات میکنیم. و در نهایت مساله را با در نظر گرفتن شرایط جدیدی در میان بازه معرفی کرده و مقادیر ویژه را در این مورد نیز تحقیق میکنیم.

در فصل اول و دوم تعاریف و قضایای مقدماتی را بیان می کنیم در فصل دوم نگاشت های خطی حافظ معکوس پذیری روی *c– جبرهای با رتبه حقیقی را بررسی می کنیم و در فصل چهارم نگاشت های خطی حافظ معکوس پذیری قوی مور- پنروز روی *c– جبرهای با رتبه حقیقی را بررسی می کنیم.ما نشان می دهیم که نگاشت های خطی حافظ معکوس پذیری روی *c– جبرهای با رتبه حقیقی صفر همریختی جردن هستند، علاوه بر این به بررسی نگاشت هایی که نوع خاصی از معکوس پذیری (معکوس پذیری مور- پنروز)را حفظ می کنند می پردازیم و نشان می دهیم نگاشت های خطی حافظ معکوس پذیری قوی مور- پنروز روی *c– جبرهای با رتبه حقیقی, *c– همریختی می باشند.

ابتدا با استناد به آنالیز تابعی و با استفاده از تابع فیتز پاتریک یکنوایی ماکسیمال دو عملگر یکنوای ماکسیمال را در فضاهای باناخ انعکاسی و غیر انعکاسی همانطور که دانشمندانی مانند راکفلر، سیمونز، اتوچ، بوروین و ... نشان دادند، بررسی کرده و مشاهده می کنیم که شرط انعکاسی بودن کمک بزرگی به اثبات ماکسیمالی می کند و نشان می دهیم ماکسیمالی مجموع تحت یکی از این فرضیات برقرار است که x انعکاسی باشد یا a وb زیر دیفرانسیل باشند. سپس با اعمال تغییراتی بر عملگرها، و تبدیل یک عملگر به رابطه و عملگر یکنوای ماکسیمال دیگر به عملگر زیر دیفرانسیل، ماکسیمالی مجموع را برای مجموع یک رابطه یکنوای ماکسیمال با یک عملگر زیردیفرانسیل نشان خواهیم داد. در نهایت پاسخ مثبتی برای سوال سیمونز در رابطه با ماکسیمالی مجموع یک عملگر یکنوای ماکسیمال و یک مخروط نرمال پیدا می کنیم و با کمک از تابع فیتز پاتریک و مزدوج فنچل، ماکسیمالی مجموع یک عملگر یکنوای ماکسیمال خطی با یک مخروط نرمال را به اثبات می رسانیم.

معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری برای اولین بار در سال 1695 توسط هوپیتال (1704-1661) و لایب- نیتز (1716-1646) مطرح شد. بعد از آن بدلیل کاربرد و اهمیت آن مورد توجه دانشمندانی دیگر مانند اویلر،لاگرانژ، لاپلاس ، فوریه، لیوویل، ریمان ،گرانولد، لتنیکوف، آبل، وایل و... قرار گرفت .اخیرا مقالات و کتبی درباره وجود و چندگانگی جوابها (یا جوابهای مثبت) برای معادله دیفرانسیل غیر خطی از مرتبه کسری با شرایط اولیه وجود دارد، که این نوع مسائل را با استفاده از روشهای آنالیز غیرخطی، مانند قضایای نقطه ثابت و نظریه لری- شودر بررسی می کنند. با توجه به اهمیت این موضوع بر آن شدیم که وجود جواب را برای مسئله مقدار مرزی از مرتبه کسری، در حالات غیر موضعی و غیر خطی بررسی کنیم. پیشگفتار معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری برای اولین بار در سال 1695 توسط هوپیتال (1704-1661) و لایب- نیتز (1716-1646) مطرح شد. بعد از آن بدلیل کاربرد و اهمیت آن مورد توجه دانشمندانی دیگر مانند اویلر،لاگرانژ، لاپلاس ، فوریه، لیوویل، ریمان ،گرانولد، لتنیکوف، آبل، وایل و... قرار گرفت . درسالهای اخیر عبارت "حساب کسری " به انتگرال گیری و مشتق گیری ، از یک مرتبه دلخواه اشاره دارد. بطور قابل ملاحضه، حساب کسری کاربرد فراوانی در عرصه های گوناگون علم و تکنولوژی از جمله معادلات موج و انتشار، الکترومغناطیس، رباتیک، مدلسازی، ویسکو پلاستیک، انعکاس بلندگوها، جریان الکتریکی، علوم بیولوژیکی و بخصوص مسائل ریاضی، فیزیک، شیمی وزمین شناسی وسایر فرآیندها دارد. به همین دلیل حساب کسری بسیار مورد توجه قرار گرفته، و به سرعت در حال توسعه می باشد . اخیرا مقالات و کتبی درباره وجود و چندگانگی جوابها (یا جوابهای مثبت) برای معادله دیفرانسیل غیر خطی از مرتبه کسری با شرایط اولیه وجود دارد، که این نوع مسائل را با استفاده از روشهای آنالیز غیرخطی، مانند قضایای نقطه ثابت و نظریه لری- شودر بررسی می کنند. با توجه به اهمیت این موضوع بر آن شدیم که وجود جواب را برای مسئله مقدار مرزی از مرتبه کسری، در حالات غیر موضعی و غیر خطی بررسی کنیم. بطور کلی این پایان نامه مشتمل بر چهار فصل می باشد. در فصل اول به معرفی مفاهیم اولیه و تعاریف قضایای مقدماتی از حساب کسری می پردازیم. در فصل دوم ابتدا یک مسئله از مرتبه کسری با شرایط اولیه را در حالت کلی معرفی کرده، و وجود جواب آن را بررسی می کنیم . سپس با در نظر گرفتن یک مسئله مقدار مرزی غیرموضعی از مرتبه کسری، وجود و یکتایی جواب مثبت آن را با استفاده از قضایای نقطه ثابت باناخ و شودر بدست می آوریم. در فصل سوم یک مسئله مقدار مرزی غیرخطی از مرتبه کسری را در نظر گرفته، و وجود و چندگانگی جوابهای مثبت آن را دو حالت منفرد و نامنفرد، با استفاده از قضایای نقطه ثابت کراس نوسلسکی و لری- شودر ثابت می کنیم. در فصل چهارم با فرض همان مسئله مقدار مرزی از فصل دوم و در نظر گرفتن شرایط جدید، وجود و یکتایی جواب این مسئله را با توجه به کران داری انتگرال کسری ریمان- لیوویل و قضیه نقطه ثابت باناخ بررسی می کنیم.

در ابتدا معادله دیفرانسیل مرتبه دوم کلاسیک موسوم به استورم-لیوویل (1) را روی بازه مورد بررسی قرار داده و درباره ویژگیهای جواب آن مطالعه می کنیم که در این معادله و و یک پارامتر طیفی می باشد و سپس معادله (1) روی بازه با شرایط اولیه و شرط مرزی را در نظر می گیریم، در این حالت هدف ما مطالعه مقادیر ویژه مساله استورم-لیوویل است .

در این پایان نامه می خواهیم مسئله گره ای عکس را برای عملگر انتشار تحت شرایط مرزی دیریکله، مورد مطالعه قرار دهیم. به این منظور ابتدا به محاسبه مقادیر ویژه می پردازیم سپس نقاط گره ای (صفرهای تابع ویژه) را بدست می آوریم. بعلاوه مجموعه همه نقاط گره ای در [0,1] چگال است. در ادامه با بررسی دقیقتر مقادیر ویژه، فرم مجانبی نقاط گره ای را با جزئیات بیشتر می یابیم. سپس به کمک نقاط گره ای و طول آنها به حل مسئله عکس می پردازیم و قضیه یکتایی را بیان و ثابت می نماییم.

در این رساله دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول ‎egin{eqnarray*}‎ ‎frac{dy_{1}}{dt}=( i ho r_{2}(t)+frac{p(t)}{i ho r_{1}(t)})y_{2}‎ , ‎qquad frac{dy_{2}}{dt}=‎ ‎i hofrac{1}{r_{1}(t)}y_{1}‎ , ‎quad tin[a,b]‎ ‎end{eqnarray*}‎ را در نظر می گیریم که در آن توابع حقیقی ‎$r_{1}$‎ و ‎$r_{2}$‎ می توانند صفرهایی درون ‎$(a,b)$‎ داشته باشند. در ابتدا با تعویض متغیرهای مناسبی، دستگاه فوق را به یک معادله استورم-لیوویل دارای تعداد متناهی نقطه برگردان تبدیل می کنیم و فرم حاصلضربی جوابها، قضایای یکتایی جواب مساله عکس و نیز یکتایی جواب معادلات دوگان متناظر با مساله مقدار مرزی را بیان می کنیم‎.‎ یکی از اهداف اصلی این رساله بررسی ارتباط بین دو مفهوم نقطه برگردان و تکینگی در مسایل عکس معادله استورم-لیوویل می باشد که برای دستیابی به این هدف، معادله دارای نقطه برگردان را به معادله ای با تعداد متناهی نقطه تکین تبدیل و سپس جواب حاصلضربی آن محاسبه، قضیه یکتایی جواب معادله دوگان در این حالت اثبات و در ادامه با دو روش عملگر و حاصلضرب نامتناهی، جواب مساله عکس ارایه می شود. هدف دیگری که به آن دست یافته ایم، بررسی پایداری جواب مساله عکس در هر یک از حالات فوق است که در فصل پنجم نتایج بدست آمده بیان گردید. لازم به ذکر است حالتی که دستگاه معادلات دارای تعداد متناهی نقاط قطب و برگردان منطبق بر هم باشد نیز مورد مطالعه قرار گرفته است.

در این پایان نامه ابتدا به تعاریف و قضایای پیش نیاز و همچنین مفاهیم اولیه از حساب کسری می پردازیم. سپس چند دستگاه نامتناهی از معادلات دیفرانسیل معمولی با شرایط اولیه را در نظر گرفته و حل پذیری انها را در فضاهای باناخ مختلف مورد بحث قرار می دهیم. در ادامه، وجود جواب را برای دستگاه نامتناهی از معادلات انتگرالی معمولی و نیز منفرد، با کمک قضیه نقطه ثابت شاودر، بررسی می کنیم و با استفاده از آن حل پذیری دستگاه نامتناهی از معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری را مورد مطالعه قرار می دهیم. در انتها، وجود جواب را برای دستگاه های نامتناهی از معادلات انتگرالی منفرد در فضای فرشه از توابع پیوسته، با استفاده از اندازه نافشردگی، مورد بحث قرار می دهیم.

در این رساله معادله استورم-لیوویل از مرتبه کسری مورد مطالعه قرار می گیرد. معادله ای که با جایگزینی مشتق کسری از مرتبه عددی بین یک و دو به جای مشتق مرتبه دوم در معادله استورم-لیوویل معمولی به دست می آید. شکل کلی این معادله در این رساله به یکی از دو صورت زیر است d^? [p(x) y^‎(x) ]=?r(x)y(x)+f(x), 0<??1 یا d^? y(x)+q(x)=?r(x)y(x)+f(x), 1<??2 که در آن d^?‎‎‎ مشتق کسری از مرتبه ?‎ و از نوع کاپوتو یا ریمان-لیوویل است. ?‎ یک پارامتر حقیقی‎‎‏، q(x)‎‎ تابع پتانسیل r(x) ‎ تابع وزن نامیده می شود. ریشه های تابع وزن را نقاط برگردان گوییم. در این رساله در ابتدا و در حالت کلاسیک با روش های عددی و تحلیلی-عددی همچون روش تکرار با هسته‎‎ جدایی پذیر‏، آنالیز هموتوپی‏، اختلال هموتوپی‏، تکرار تغییرات‏، موجک هار و روش ترکیبی کالوکیشن-شوتینگ به حل معادله دیفرانسیل استورم-لیوویل از مرتبه کسری می پردازیم. سپس با روش جداسازی متغیرها‏، معادلات لاپلاس‏، موج و موج-انتشار از مرتبه کسری را حل می کنیم. به کار گیری روش جداسازی متغیرها منجر به ظاهر شدن معادله استورم-لیوویل مرتبه کسری می گردد. در نهایت معادله را با نقاط ‎?‎‎-معمولی و ?‎‎-منفرد با مشتق مرتبه کسری مکرر و همچنین با نقطه برگردان با مشتق کسری از نوع کاپوتو و ریمان-لیوویل مورد مطالعه قرار می دهیم.

در این پایان نامه دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول خطی را روی بازه متناهی تحت شرایط اولیه در نظر می گیریم. در ابتدا با تعویض متغیرهای مناسبی دستگاه مذکور را به یک معادله استورم-لیوویل تبدیل می کنیم. با ارائه ی ویژگی هایی از مشخصه های طیفی شرایطی را برای حل مساله عکس بدست می آوریم و الگوریتمی را برای یافتن جواب مساله عکس از روی تابع مشخصه ارائه می دهیم. سپس الگوریتمی عددی را برای بازیافت جواب مساله عکس ایجاد می کنیم. علاوه بر آن تعدادی نتایج از آزمون عددی موجود می باشند.

هدفما در این پایان نامه است که تبدیل لاپلاس را با روش ]شفتگی هموتوپی وردشی(vhpm) ترکیب کنیم. این ترکیب، روش پیشنهادی موردنظر را قادر می سازد تا معادلاتی را که به وسیله روش های دیگری مانند روش تکرار وردشی(vim) قابل حل نیستند، را حل کند. به کارگیری روش های دیگر به دلیل محاسبات ریاضی دشوار و وقت گیر مشکل است.

در این تحقیق مساله مقدار مرزی استورم-لیوویل متقارن l=l(q(x),a,b) شامل یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم از نوع استورم-لیوویل روی یک بازه متناهی به همراه شرایط مرزی تفکیک ناپذیر‎‎ را در نظر می گیریم که در آن ‎ پارامتر طیفی‏، a‎‎‎، ‎‎b‎‎ و ‎‎‎q(x)‎ ‎ حقیقی مقدار و تابع پتانسیل‎q(x)‎ ‎ در بازه متناهی ‎ متقارن مرکزی می باشد‏. در ابتدا در حالتی که تابع وزن برابر یک است‎ به معرفی یک مجموعه از جوابهای اساسی و فرم مجانبی آنها پرداخته و سپس مقادیر ویژه مساله مقدار مرزی ‎‎‎l‎‎ را ارائه می کنیم. در ادامه تابع مشخصه مساله استورم-لیوویل را معرفی و برخی ویژگی های مهم آن را مورد بررسی قرار داده و با استفاده از این ویژگی ها‏، قضیه پایداری را برای جواب مساله عکس بیان و اثبات می کنیم. یکی دیگر از اهداف این پژوهش‏، مطالعه مساله استورم-لیوویل در حالتی که معادله دارای دو نقطه تکین‎‎ و یا دو نقطه برگردان درون یک بازه متناهی است‏، می باشد که در این حالت یکتایی جواب مساله عکس و همچنین پایداری آن بررسی گردید.

ن?رت هدش هتخانش زا ??? .تسا هدش هئارا ل?سنارف?د ت?داعم لح یارب ?توافتم یددع یاه شور نونک ات یا هدرتسگ ی هتسد لح رد شا ??ار?مه ی?اب خرن ل?لد هب هک تسا (v im ) ?شدرو رار?ت شور اه شور ن?ا دادعت زا دعب رتهب ??اتن ل?صحت روظنم هبو vim رد دوجوم ?تابساحم راک شهاک روظنم هب .تساناوت ت?داعم زا ?ندش لح vim طسوت و تسا ر?ذپ قتشم t و x هب تبسن اهنآ ?طخ شخب هک ?لئاسم یارب صوصخب رار?ت ?مک (evim)تسا vim و ?کازلا ل?دبت زا ?ب?کرت ل?ش ر??غت ن?ا.تسا هدش هئارا vim زا د?دج ح?صا ?? دنتس?ن .دشخب ?م تعرس ار ??ار?مه و دهد ?م شهاک ار تابساحم ل?ش ر??غت ن?ا . شور ?ساسا یاه هد?ا یدعب لصف رد .ددرگ ?م زاغآ زا?ن دروم ی ه?لوا م?هافم نا?ب اب ،همان نا?اپ ن?ا لصف ن?لوا روکذم شور اب ?ئزج ل?سنارف?د ت?داعم زا یدادعت لح هب موس لصف رد .م?هد ?م ??ضوت ار ?شدرو رار?ت-?کازلا .م?زادرپ ?م

ما در این رساله به مطالع? مسأل? عکس عملگر های استورم لیوویل با پارامتر ویژه که وابسته به شرایط مرزی است می پردازیم، به طوری که در معادله زیر صدق کنند (1) و این معادله به همراه شرایط مرزی زیر می باشد (2) (3) یا (4) که در شرایط بالا فرض های زیر را داریم (k=1,2) و یک تابع حقیقی مقدار و متعلق به l^2[0, ] است و نیز طیف می باشد.

‎‎‎‎در این رساله، قصد داریم با مطالعه معادلات استورم-لیوویل، به بررسی این نوع معادلات خطی مرتبه دوم بپردازیم. لذا معادله پنسل به صورت ‎‎ ‎y+ig{(} ho^{2}r(x)+i ho q_{1}(x)+q_{0}(x)ig{)}y=0,‎ را در دو رده متفاوت، با نقطه برگردان و ناپیوستگی، در نظر می گیریم. ابتدا جواب های مجانبی این معادله را ارائه می دهیم. سپس جواب دیگری به نام جواب ویل را به دست می آوریم. این جواب باعث ایجاد تابع مهمی به نام تابع ویل می گردد که در اثبات یکتایی جواب مساله عکس، نقش اساسی ایفا می کند. ‎‎ همچنین با انجام مطالعه در مورد معادلات استورم-لیوویل با نقطه برگردان و منفرد، توانستیم تغییر متغیری ارائه دهیم که بتوان این معادلات را به یکدیگر تبدیل کرد‎.‎ ‎ علاوه بر این، برای نشان دادن گستردگی کاربرد مسائل استورم-لیوویل، مساله واکنش سدهای خاکی را که به مسائل استورم-لیوویل منتهی می شوند، مطالعه می کنیم.

در فصل اول به بیان تعاریف و مفاهیم مقدماتی می پردازیم. در فصل دوم، ابتدا معادله y+q(x)y=?y, 0<x<1 با شرایط مرزی ‎y(0)=y^((j-1) ) (1)=0, j=1,2 را معرفی کرده، که در آن (q(x یک تابع پیوسته حقیقی مقدار می باشد که آن را تابع پتانسیل می نامیم. سپس به بیان روشی عددی جهت حل مسأله عکس مورد نظر می پردازیم. روش عددی مطرح شده در این فصل، روش عملگر انتقال نام دارد. هدف، یافتن تابع پتانسیل به کمک الگوریتم عددی پیشنهادی در پایان این فصل می باشد. از این الگوریتم عددی جهت تقریب جواب مسأله عکس مورد نظر با استفاده از روش عملگر انتقال، بهره می گیریم. در این الگوریتم، مقادیر ویژه به عنوان داده ورودی و تابع پتانسیل، داده خروجی می باشد. در فصل دوم، مطالب در دو بخش گنجانده شده است. در بخش اول به معرفی یک مسأله مقدار مرزی مشابه با فصل دوم با بازه متفاوت و با شرایط مرزی متفاوت، می پردازیم. ابتدا، روش جدیدی جهت حل عددی این گونه مسائل با عنوان روش داده طیفی، ارائه می شود. در نهایت در بخش دوم، الگوریتمی عددی جهت حل مسائل طیفی عکس با استفاده از روش داده طیفی، پیشنهاد می گردد. در این الگوریتم، داده طیفی به عنوان داده ورودی و تابع پتانسیل، داده خروجی می باشد. این روش، الگوریتم های عددی موثر جهت حل مسائل طیفی عکس و از جمله مسائل مقدار مرزی برای کلاس های وسیعی از عملگر های دیفرانسیل می سازد. در نهایت در فصل چهارم، پایداری جواب مسأله عکس (یعنی پیدا کردن تابع پتانسیل) مربوط به مسأله مقدار مرزی شامل معادله y+q(x)y=?y- ‎ به همراه شرایط مرزی در یک بازه متناهی که در فصل های دوم و سوم به آن اشاره شد، مورد بررسی قرار می گیرد‎. در بخش اول، ابتدا بدون کاستن از کلیت مسأله، پایداری مسأله مقدار مرزی فوق با شرایط مرزی مسأله مقدار مرزی ‎فصل سوم در حالتی که ‎ h=0 ‎ است را نشان می دهیم. در این بخش ابتدا معادله ای موسوم به معادله بورگ که یک معادله انتگرالی غیرخطی است، معرفی و برخی ویژگی های آن بیان می گردد. سپس وارد بحث قضیه یکتایی و اثبات آن می شویم که از جواب یکتای حاصل از معادله بورگ برای اثبات این قضیه بهره می گیریم. در این روش، جهت حل مسأله عکس موردنظر ابتدا یک معادله انتگرالی غیرخطی در نظر گرفته می شود. ویژگی های توابع ویژه مسائل مقدار مرزی موردنظر، نقش مهمی در روش بورگ ایفا می کنند. برای بررسی و مطالعه معادله غیرخطی بورگ، باید اثبات کرد که توابع ویژه فوق کامل می باشند. در بخش دوم نیز یک مسأله مقدار مرزی با شرایط دیریکله را معرفی کرده و سپس به بحث پایداری جواب مسأله عکس متناظر با آن یعنی تابع پتانسیل می پردازیم. برای اثبات قضیه پایداری، از ویژگی پایه ریس بودن توابع ویژه، بهره می گیریم. نشان دادن پایداری جواب این گونه مسائل، کارا بودن روش های عددی ذکرشده در فصل های قبل برای حل این گونه مسائل را تأیید می کند.

در این رساله معادله مرتبه دوم از نوع عملگر استورم - لیوویل در نظر می گیریم: -‎y+q(x)=lambdaphi^{2}(x)y, که در آن توابع phi^{2}(x) و q(x)‎ به عنوان ضرایب معادله و تابع phi^{2}(x) تابع وزن است. معادله دارای ‎‎تعداد متناهی نقطه برگردان می باشد و در این معادله فرم مجانبی جواب ها، توزیع مقادیر ویژه و فرم حاصلضربی جواب ها را بیان و بررسی می کنیم‎. یکی از اهداف ما این است با استفاده از ریشه های تابع تام phi^{2} جواب های مسئله استورم - لیوویل را بتوانیم به صورت حاصلضرب های نامتناهی نشان دهیم‎. در واقع می خواهیم با تعیین توزیع مجانبی از مقادیر ویژه، تاثیر آن ها بر نمایش حاصلضرب های نامتناهی از جواب های معادله استورم - لیوویل را بررسی نماییم‎.‎

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

دو سوال در رابطه با توابع طیفی مربوط به معادلات دیفرانسیل حد نقطه ای مطرح است. معادلات شامل معادله نوع دوم استورم- لیویل و سیستم دو بعدی نوع اول که به معادله دیراک معروف است، می باشد. برای هر معادله شرط و توابع ضریب داده شده تا مشتقات طیفی مستقیماً به شکل سری بر حسب توابع داده شده بدست آید. همچنین برای هر معادله، فرمولهای مربوط به توابع طیفی به ازای مقادیر متفاوت شرایط اولیه نشان داده خواهد شد.

نظریه نقطه ثابت شاخه ای کهن از ریاضیات است که در طی سال های متمادی دستخوش تغییرات فراوان گشته و بی شک کاربرد آن در زمینه هایی از قبیل معادلات دیفرانسیل، نظریه بازی ها و اقتصاد ریاضی براهمیت آن افزوده است. این نظریه توسط ریاضیدانان بسیاری مورد مطالعه و بررسی قرار گرفت. قضایای اثبات شده به وسیله ی این ریاضیدانان وجود نقطه ثابت رادر نگاشت هایی با شرایط و فرضیات متفاوت تحقیق می کند. اولین مطالعه ی وجود نقطه ثابت یک نگاشت با فرض انقباض، توسط باناخ انجام شد. او در سال 1922 قضیه نقطه ثابت مشهورش را ثابت کرد. بعد از ارائه قضیه نقطه ثابت با شرط انقباض بر روی نگاشت توسط باناخ، تعمیم های متنوعی از این قضیه صورت گرفت. این مطلب انگیزه ای برای مطالع انقباض هایی متفاوت از انقباض باناخ شد. کریستی، الستین، اکلند، میر و کیلر، برودر و ندلر لز جمله کسانی هستند که به این امر پرداختند. در این پاین نامه به معرفی و بررسی نگاشت های انقباض گوناگون و اثبات وجود نقطه ثابت در آنان می پردازیم. در ابتدا اصل انقبض باناخ و تعمیم هایی از آن را مطالعه می نماییم.سپس فرآیندهای تکرار نقطه ثابت و همگرایی انواع نگاشت انقباض به نقطه ثابت نگاشت مذکور را تحقیق می کنیم. در پایان نیز نگاشت هایی که در آنان یکتایی نقطه ثابت الزامی نیست را مورد بررسی قرار می دهیم.