هویت مطالعات مور را تعمیم داد و m-توپولوژی را روی حلقه توابع پیوسته با مقادر حقیقی معرفی کرد. او در مقاله اش ثابت کرد کلاس های خاصی از فضای توپولوژیک x را توسط مشخصه های توپولوژیک، فضای توابع پیوسته با مقدار با m-توپولوژی می توان تعریف کرد.به عنوان مثال فضای x شبه فشرده است اگروفقط اگر فضای توپولوژیک توابع پیوسته با مقدار همراه با m-توپولوژی ، شمارای نوع اول است. در این رساله به بررسی این گزاره می پردازیم که : فضای توپولوژیک x شبه فشرده است اگر و فقط اگر((??(c_m (x برابر با الف صفر باشدو در انتها نشان می دهیم اگر فضای x یک فضای دنباله ای تظریف شده گسسته باشد آنگاه فضای توپولوژیک (c_m (x نیز فضای دنباله ای تظریف شده گسسته است .

فضای x را در نظر می گیریم. اگر برای زیرمجموعه های دلخواه a و b از x که a شمارا و b از رسته اول باشد هومئومورفیسم f: x → x وجود داشته باشد به قسمی که ∅=f(a)∩ b آنگاه می گوییم فضای x خاصیت تفکیک دارد و یا به طور خلاصه می گوییم x یک فضای sp است. در این پایاننامه فضاهای sp را مورد مطالعه قرار می دهیم. فضای توپولوژیک x را در نظر می گیریم. اگر برای هر x,y∋x هومئومورفیسم f:x→xوجود داشته باشد که f(x)=y آنگاه x یک فضای همگن می گوییم. نشان می دهیم که در هر فضای موضعا فشرده همگن یک فضای sp است و ثابت خواهیم کرد که هر فضای بورل که sp داشته باشد یک فضای پولیش است.

مجموعه ی توپولوژیها روی یک مجموعه متناهی x به عنوان حالت خاصی از توپولوژیهای اصلی دارای تناظر یک به یک با مجموعه شبه ترتیب ها روی x است. لذا مفاهیم توپولوژیکی به نظیرشان در نظریه ترتیب مرتبط می شود. در این پایان نامه پس از بررسی این مفاهیم به مطالعه ی خواص همبندی همبندی راهی هم ارزی هوموتوپی و... روی توپولوژیهای متناهی پرداخته و نشان می دهیم که هر توپولوژی روی یک مجموعه متناهی را می توان بوسیله یک متریک نمای جزئی پدید آورد. از آنجا که بحث شمارش و الگوریتم های مربوط به آن یکی از زمینه های مهم تحقیقات روی توپولوژیهای متناهی است برخی از نتایج بدست آمده را نیز بررسی خواهیم کرد.

با توجه به کاربرد فراوان اخیر نظریه هندسه ی فینسلری در علوم مختلف (فیزیک، هوافضا، علوم مهندسی و ...) و نقشی که مفهوم برگ بندی در این هندسه ایفا می کند. در فصل دوم این پایان نامه، با بررسی مفهوم برگ بندی به همراه ویژگی های آن، روی کلاف مماس از یک منیفلد فینسلری، به این مهم می پردازیم. در فصل دیگر، مفهوم انحنا در فضاهای فینسلری مطرح گردیده، خواص اساسی آن ها مورد مطالعه قرار می گیرند. سپس با بیان مثال هایی، به توصیف آن چه در فصل های قبل بیان شده است، می پردازیم.

در این پایان نامه به بررسی خواص اوربیفلدها و گروهوارهای لی و ارتباط آنها با یکدیگر پرداخته و بدین منظور مثال های متعددی از هر یک ارائه خواهیم داد و سپس با بررسی ساختارهایی روی هر یک از آنها (مانند متریک ریمانی روی اوربیفلدها، هم ارزی و هم ریختی بین گروه وارها) گروه وارهای اوربیفلدی را تعریف و کتگوری اوربیفلدها را توصیف خواهیم نمود.

مطالعه هندسه تماس همانند هندسه همتافته به سبب کاربردهایی که در شاخه هایی از فیزیک (مانند مکانیک کلاسیک و ترمودینامیک) دارد، حائز اهمیت است. هندسه تماس، یک ساختار هندسی را روی منیفلدهای هموار مورد بررسی قرار می دهد که به وسیله یک میدان فراصفحه غیر انتگرال پذیردر کلاف مماس مشخص می شود. با استفاده از قضیه فروبنیوس می توان گفت که هندسه تماس، در مقابل برگ بندی حاصل از انتگرال پذیری است. از طرفی هندسه تماس مربوط به منیفلدهایی با بعد فرد است در حالی که هندسه همتافته به منیفلدهایی با بعد زوج می پردازد. در فصل اول با مرور مفاهیمی از هندسه دیفرانسیل و توپولوژی جبری و ویژگی هایی از برگ بندی، پیش نیازهای لازم برای فصل های بعدی را مهیا می کنیم. در فصل دوم ساختار تماس را در مقایسه با ساختار همتافته بررسی می کنیم. در فصل سوم به کمک ابزاری از نظریه گره ها، قضیه مارتینت را اثبات می کنیم که این قضیه وجود یک ساختار تماس بر روی هر منیفلد 3- بعدی هموار را تضمین می کند. در پایان با ارائه مفاهیمی مانند مدار های ریب و منحنی های هلومرفیک تعریفی برای همولوژی تماس روی یک منیفلد تماس را بیان می کنیم.

هدف اصلی این پایان نامه بررسی مشخصه های مفید رده هایی از عملگرها مانند عملگرهای جمعی، عملگرهای انتگرال و عملگرهای هسته ای روی فضای توابع پیوسته(c([0,1],x با مقادیر در c0 است. برای این منظور در فصل اول تعاریف و مفاهیم مقدماتی که در فصول بعدی به آن ها نیاز داریم‎‎ ‎‎آورده ‎شده است‎‎. از مهم ‎‎‎ترین آن ها می توان به معرفی بعضی از فضاهای باناخ کلاسیک و مفاهیم توپو‎‎لوژی های ضعیف و ضعیف ستاره و حاصل ضرب های تانسوری روی فضاهای باناخ و همچنین به خواصی از اندازه های برداری اشاره کرد. در فصل دوم به معرفی عملگرهای جمعی، عملگرهای انتگرال و عملگرهای هسته ای به همراه ویژگی های آن ها روی فضاهای باناخ به خصوص روی فضای (c(?، متشکل از همه توابع پیوسته روی فضای توپولوژیک هاوسدورف ?، می پردازیم. در فصل سوم ابتدا ایده آل عملگری را معرفی کرده و سپس با بیان قضایایی در رابطه با عملگرهای مذکور بر روی فضای توابع پیوسته (c[0,1],x) با مقادیر در ‎ c0خواص اساسی آن ها مورد مطالعه قرار می گیرد.

در این پایان نامه به بررسی مفاهیم مربوط به جدایی پذیری گزینشی خواهیم پرداخت. در فصل اول به طور اجمالی مفاهیم مورد نیاز از نظریه ی مجموعه ها را ارائه می دهیم. در فصل دوم مفاهیم پرکاربرد توپولوژی و خواص توپولوژیکی که ارتباط نزدیک با جدایی پذیری انتخابی دارند را ارائه می دهیم. از این خواص می توان به سفتی چتری شمارش پذیر، خاصیت فرشه و فشرده گونی اشاره کرد. فصل سوم را معرفی و توصیف انواعی از بازی های توپولوژیک و اثبات قضایایی در این بازی ها در برمی گیرد. فصل چهار را به جدایی پذیری گزینشی و ارتباط آن با خواص فرشه و سفتی چتری شمارش پذیر و جدایی پذیری گزینشی در c_p (x) اختصاص داده ایم. در فصل پنجم نیز جدایی پذیری گزینشی راهبردی و حالت خاص تر آن جدایی پذیری گزینشی مارکف را بررسی می کنیم.

چکیده در سال های اخیر، اهمیت حسابان کسری در علوم رشد قابل توجهی داشته است. حسابان کسری و معادلات دیفرانسیل کسری همانند حسابان سنتی هستند. در این پایان نامه، با بهره مندی از مشتق کسری ریمان-لیویل تعریف m و کلاف جت کسری از یک منیفلد دیفرانسیل پذیر k فضای کلاف مماس کسری از مرتبه و رفتار برخی از اشیا تحت کارت های موضعی بررسی می شوند. بنابراین در فصول اول و دوم ومفاهیم اولیه را که در فصل های دیگر نیاز داشتیم، بیان و در فصل سوم، ابتدا مفهوم حسابان کسری روی منیفلد و فضاهای فرم کسری و سپس کلاف مماس کسری و کلاف جت کسری و ساختارهایشان را تعریف کرده ایم. در فصل چهارم، ابتدا معادلات اویلر-لاگرانژ کسری روی کلاف مماس کسری و کلاف جت کسری را بیان و در ادامه مثال ها و کاربرد هایش را ذکرکرده ایم.

در ریاضیات روشی کلی برای حل معادلات دیفرانسیل روی منیفلدها، حتی برای حالت های بسیار ساده مانند حل معادلات دیفرانسیل روی خط اعداد حقیقی، وجود ندارد. این موضوع ریاضیدانان را بر آن داشت تا به مطالعه خواص هندسی و توپولوژیکی منیفلد انتگرال ها بپردازند. این مطلب در واقع هدف نظریه بندی است. در واقع نظریه برگ بندی به مطالعه کیفی معادلات دیفرانسیل می پردازد. به هر حال در قرن اخیر لزوم ایجاد یک نظریه هندسی ( از برگ بندی ) به منظور درک بهتر مسائل مطروحه در زمینه حل معادلات دیفرانسیل هولومورفیک در میدان مختلط احساس گردید. در فصل اول مفاهیم مقدماتی مورد نیاز در فصل های دیگر بیان می گردد. در فصل دوم به بیان مفهوم برگ بندی و ارئه مثال هایی در این زمینه می پردازیم. در ادامه این فصل با مفهوم هولونومی که یکی از مفاهیم پر کاربرد در نظریه برگ بندی است آشنا می شویم. سپس در فصل سوم با ارائه چند مثال مفهوم ساختارهای تراگرد را که در مطالعه و دسته بندی برگ بندی ها نقشی حیاتی دارد، بیان می کنیم. در آخر مقدمه ای کوتاه از کوهومولوژی بنیادی در فصل چهارم مطرح می شود.

بخش معروف به فرض های گزینشی در ریاضیات مربوط به انتخاب تغییرات مفاهیم توپولوژیک کلاسیک نظیر فشردگی یا تفکیک پذیری است که توسط تسابان 1 در [ 28 ] و اسکیپرز 2 در [ 25 ] مورد بررسی قرار گرفت. دراین پایان نامه ما بیشتر بامفهوم تفکیک پذیر گزینشی و تغییراتش سر و کار داریم. این مفهوم اخیراً به طورگسترده مورد توجه بوده است که از این میان میشود به مقاله های [ 2, 4, 6, 7, 18, 21, 23,24] اشاره کرد. این مفهوم برای اولین بار توسط اسکیپرز [ 24 ] در سال 1999 معرفی و مورد مطالعه قرار گرفت، و سپس در سال های بعد توسط دی مایو و مکاریلو[12]، گرونهگ و ساکای [19 ]،و ... مورد بررسی قرار گرفت. بارمن و داو کشف کردند که هر فضای فرشه تفکیک پذیر،تفکیک پذیر گزینشی است. گرونهگ و ساکای متذکر شدند که فضاهای فرشه تفکیک پذیر حتی r- تفکیک پذیر هستند و اگر هیچ نقطه منفردی وجود نداشت،gn-تفکیک پذیر است.

دیمیتری ویکتورویچ آنوزوف dmitri victorovich anosov} (متولد 30 نوامبر 1936 در مسکو) یک ریاضیدان روسی است و به دلیل تلاش های فراوان در نظریه سیستم های دینامیکی شهرت یافته است. دیفئومورفیسم های آنوزوف بوسیله ایشان در سال 1967 در [1] معرفی شدند. دیفئومورفیسم ها و شارهای آنوزوف از مهم ترین و قابل فهم ترین سیستم های دینامیکی هستند. امروزه نظر عموم این است که سیستم های آنوزوف به دلیل نوع کامل از رفتارهای هذلولوی یکپارچه و پیوستگی طبیعی آن ها، در مرکز نظریه سیستم های دینامیکی قرار دارند. امروزه سیستم های هذلولوی ناقص موضوع بسیاری از تحقیق ها است. این سیستم ها پیوندهای محکمی با جبر و همچنین با توپولوژی دارند. دیفئومورفیسم ها و شارهای آنوزوف نمونه های اولیه از سیستم های دینامیکی هذلولوی هستند و ویژگی های استواری خاصی را مانند پایداری ساختار دارند. هر منیفلدی دیفئومورفیسم آنوزوف نمی پذیرد. برای مثال چنین دیفئومورفیشم هایی روی کره وجود ندارند. ساده ترین مثال از منیفلدهای فشرده که پذیرنده دیفئومورفیسم های آنوزوف هستند‏، چنبره می باشد. مسئله کلاس بندی منیفلدهایی که دیفئومورفیسم آنوزوف می پذیرند بسیار مشکل به نظر می رسد و همچنان مانند سال 2005 بدون پاسخ باقی مانده است. تنها مثال هایی که تا کنون شناخته شده اند منیفلدهای فروپوچ می باشند. لذا در این جا سعی شده قضایایی در مورد این که چه فضاهایی می توانند دیفئومورفیسم های آنوزوف بپذیرند جمع آوری شوند. همچنین در این جا سعی شده ارتباطی بین گروه های بلورین فضای اقلیدسی و دیفئومورفیسم های آنوزوف برقرار گردد. بر این اساس این پایان نامه در پنج فصل به شرح زیر جمع آوری شده است. ابتدا بعضی از تعاریف مورد نیاز در این پایان نامه را در فصل اول تحت عنوان تعاریف و مفاهیم اولیه یادآوری می کنیم. در فصل دوم تحت عنوان گروه تبدیلات ابتدا عمل گروه روی یک مجموعه در حالت کلی را معرفی کرده و سپس عمل گروه ایزومتری های فضای اقلیدسی ‎$‎‎mathbb{r}‎^{n}‎‎‎$‎‏ را بررسی می نماییم. در این بخش به بیان قضایای بیبرباخ نیز می پردازیم. سپس آن را در حالت خاص تری برای فضای اقلیدسی دو بعدی بررسی و کاتالوگی را با نقش اصیل ایرانی بته جقه برای گروه های بلورین این فضا ارائه می دهیم. در فصل سوم این پایان نامه عمل آنوزوف از فضای اقلیدسی ‎$‎‎mathbb{r}‎^{n}‎‎‎$‎‏ و بعضی از خواص آن را بررسی می نماییم. و سپس عمل آنوزوف از گروه های لی پوچ توان که در حالت حقیقی حالت خاصی از فضای اقلیدسی ‎$‎‎mathbb{r}‎^{n}‎‎‎$‎‏ هستند را می آوریم و به اثبات قضایایی در این زمینه می پردازیم. در فصل چهارم با عنوان دیفئومورفیسم آنوزوف روی منیفلدهای پوچ بعضی از شرایط لازم برای وجود دیفئومورفیسم های آنوزوف روی منیفلدهای پوچ و همچنین عدم وجود این دیفئومورفیسم ها روی کلاس های خاصی از منیفلدهای پوچ را بررسی می کنیم. یک کلاس بندی کامل از منیفلدهای پوچ از بعد کمتر یا مساوی شش که دیفئومورفیسم آنوزوف می پذیرند را ارائه می دهیم. در آخرین فصل این پایان نامه تحت عنوان دیفئومورفیسم های آنوزوف روی منیفلدهای فروپوچ‏، بعضی مشخصات جبری منیفلدهای فروپوچ را که روی یک گروه لی پوچ توان ‎$‎c‎$‎‎‏-گامی با گروه هولونومی آبلی پذیرنده دیفئومورفیسم آنوزوف پدید آمده اند‏، بررسی می کنیم. همچنین روشی برای ساخت مثال هایی از منیفلدهای فروپوچ دارای دیفئومورفیسم آنوزوف را ارائه می دهیم. در این بخش همچنین قضایایی را در مورد فضاهایی با گروه بیبرباخ که دیفئومورفیسم آنوزوف می پذیرند بیان می کنیم.

در این پایان نامه, مفهوم مورفیسم شبه گروه های تعمیم یافته ی مورفیسم اتله ی هیفلیگر را معرفی خواهیم کرد. با این تعریف هر نگاشت برگ بندی شده ی پیوسته، یک مورفیسم بین شبه گروه های هولونومی متناظر القاء می کند. قضیه ی اصلی این پایان نامه به بیان این که هر مورفیسم بین شبه گروه های ریمانی کامل، کامل و دارای یک بستار است و هم چنین نگاشت هایش در طول بستار مدارها از کلاس‎$ c^{infty} $‎ هستند، می پردازد. مفاهیم کامل بودن و بستار برای مورفیسم ها، ناشی از مفاهیم تعریف شده توسط هیفلیگر برای شبه گروه ها است. این نتیجه برای تقریب نگاشت های برگ بندی شده توسط نگاشت های هموار, در حالتی که برگ بندی های ریمانی به طور تراگرد کامل هستند، استفاده خواهد شد که ناوردایی هموتوپی برگ بندی شده از دنباله های طیفی آن ها را نتیجه می دهد.

در این پایان نامه کوهمولوژی لیچنرویچ را معرفی کرده و ویژگی هایی از کوهمولوژی دورام را که همچنان در کوهمولوژی لیچنرویچ برقرار است مورد بررسی قرار می دهیم.

این پایان نامه، نمایشی از توسعه ریاضیات برای زیرساختارهای آناتومی عصبی مغز می باشد. تمرکز این پایان نامه روی تغییرپذیری آناتومیک عصبی از نظر هندسه و شکل رویه های دو بعدی در مغز می باشد. به عنوان مثال، ما بر روی رویه های کرتکس و هیپوکمپوس در یک جمعی از ‎ mri مغز انسان تمرکز می کنیم. شکل زیر ساختارها توسط ساخت الگوها مشخص می شوند و تغییرات با تعریف تغییرات احتمالی الگو نمایش داده می شوند. روش هایی برای تخمین تجربی اندازه های احتمالی روی این تغییرات، با استفاده از تغییرات میدان های برداری تصادفی گاوسی روی زیر منیفلدهای نشانده شده توسعه یافته است. میدان های برداری تصادفی گاوسی به صورت حد میانگین پایه متعامد کامل روی زیرمنیفلدها ساخته می شوند. کوواریانس، به طور تجربی از مجموع داده های مغز برآورد می شود. تحلیل مولفه اصلی برای مشخص کردن شکل-ویژه هیپوکمپوس، در تعدادی از تصاویر‎ $ mri $ کل مغز ارائه می شود. خوشه بندی بر مبنای شکل ویژه، برای دو گروه افراد نرمال و شیزوفرنی ارائه می شود.‎

اوربیفلد، فضایی است که به طور موضعی با خارج قسمت حاصل از عمل یک گروه متناهی که به صورت هموار، موثر و تقریبا آزاد روی فضای اقلیدسی ‎$mathbb{r}^{n}$‎ عمل می کند، هومئومورف است. در این پایان نامه سعی می شود پس از بیان مطالب اولیه، تعمیم کوهمولوژی درام مطرح شود و در فصل های بعد بعضی از مفاهیم هندسی که برای منیفلدها می دانیم نظیر کلاف مماس، کاتگوری و کوهمولوژی درام را برای اوربیفلدها مطرح کنیم البته بعضی از این مفاهیم توسط گروهواره ها انجام می شود. برای این مقصود ابتدا اوربیفلدها را به زبان گروهواره بیان می کنیم.

‏در این پایان نامه‏، ‏ابتدا مفاهیم سیستم های دینامیکی‏، مجموعه های مینیمال‏، مجموعه های ‎$ -‎omega‎ $‎حدی‏، ‏تعدی و خاصیت سایه زنی برای شارها را معرفی می شود. در نهایت‏، خاصیت سایه زنی مجانبی میانگین روی شارها بیان شده و رابطه بین این خاصیت و متعدی بررسی شده و نشان داده می شود که یک شار روی فضای متریک فشرده‏، یک زنجیر متعدی است اگر دارای خاصیت سایه زنی مجانبی میانگین مثبت (منفی) باشد. شار دارای ساختار لیاپانوف پایدار مثبت (منفی)‏، یک زنجیر هم ارزی توپولوژیکی است و دارای خاصیت سایه زنی مجانبی میانگین است.‏‎‎ ‎

چکیده ندارد.