در این پایان نامه?,?)‎)-متریکهایی مانند f‎‎ را که در شرط j + cfi = 0‎ صدق می کنند‎،‎ دسته بندی می کنیم‎.‎ در حالت کلی متریکهای فینسلری که در شرط مذکور صدق می کنند‎،‎ متریکهای با انحنای لاندزبرگ میانگین به طور نسبی ایزوتروپیک نامیده می شوند.

دز این پایان نامه ابتداد تعریف دقیقی از پایداری به مفهوم هاپفیلد برای شبکه های عصبی ارائه می گردد تا تفاوت بین این پایداری و پایداری لیاپانوف را نشان دهیم همچنین روش های کلی ساخت تابع انرژی را ارائه می دهیم. سپس بعضی از نتایج پایداری لیاپانو ف، مربوط به شبکه های عصبی عمومی،شبکه های عصبی حافظه ارتباطی دوسویی و شبکه های عصبی سلولی را نشان خواهیم داد. توجه مان را روی پایداری ( لیپانو ف، مجانبی سراسری، نمایی) انواع شبکه های عصبی ( هاپفیلد با تاخیر و بدون تاخیر، حافظه ارتباطی دوسویی کاسکو، سلولی ) متمرکز می کنیم.

به طور دقیق، نمی توان در مورد تاریخچه ی مکانیک سماوی سخن گفت. بعید نیست اگر بگوییم از زمانی که بشر نظر به دریای آسمان افکنده است، همواره سیلانی از اندیشه های مختلف بر لایه های فکرش موج می افکند. شاید از همان زمان، که شبروی بشر با راهنمایی اجرام سماوی میسور بود، چنین سوالاتی در ذهن خلاق او متبادر می شد: حرکت اجسام در آسمان به چه صورت است؟ چگونه است که ما همیشه ماه و خورشید را می بینیم؟ آیا ممکن است جسمی سماوی از تیررس ما خارج شود؟ آیا ممکن است زمانی جسمی آسمانی با زمین برخورد کند؟ آیا می توانیم به سمت کرات دیگر حرکت کنیم و از نزدیک آن ها را مورد مطالعه قرار دهیم؟ اگر چنین سفری ممکن باشد، نحوه ی حرکت ما چگونه خواهد بود؟به جرات می توان گفت این سوالات به ظاهر ساده، پاسخ های چندان آسانی ندارند. مکانیک سماوی جهت پاسخ به این سوالات کنجکاوانه به وجود آمد و بالید. غیر از زمان یونان باستان، در دوره ی طلایی تمدن اسلامی، دانشمندان مسلمان پیرامون چنین سوالاتی به تحقیق پرداختند. از قرن 16، با ظهور دو دانشمندان برجسته یعنی کپرنیک و گالیله، هم عصر با آغاز زمزمه هایی از باب نکوداشت خرد در نهاد حکومت، این تحقیقات رنگ و بوی دیگری به خود گرفت. پس از کپلر، پاسخ به چنین سوالاتی جدی تر شد و نابغه ی فیزیک یعنی نیوتن، زمان زیادی در این راه صرف کرد. و پس از هنری پوانکاره، این مساله به عنوان موضوع یک علم در آمد. این پایان نامه تلاشی است برای یافتن پاسخی دقیق به برخی از سوالات نیاکان خلاق ما، که ناگریز به جمع آوری و پردازش کارهای مهم دانشمندان در صد سال اخیر منجر گشت.این پایان نامه در 4 فصل، در مورد ارتباط بین سیستم های دینامیکی و مکانیک سماوی است. موضوع مکانیک سماوی، نوشتن معادلات حرکت یک دستگاه ذرات است. دو نوع مدل سازی در مسائل سماوی مد نظر است: یکی معادلات $n$-جسم و دیگری مسائل مقید. در این پایان نامه، قصد داریم این دو نوع مدل سازی را به طور شفاف بیان کنیم. سیستم دینامیکی به عنوان یک علم تحلیل گر و گسترده سعی می نماید با مفاهیمی ساختاربندی شده به شناخت و تحلیل این دو مساله بپردازد. نظریه ی انشعاب و نظریه ی پایداری و دینامیک نمادی ابزاری هستند که در این راه یاری رسان ما هستند. فصل یک؛ در بر دارنده ی مفاهیم و قضایای مقدماتی از مکانیک سماوی و سیستم های دینامیکی است. فصل دوم؛ مطرح ساختن یکی از مفاهیم مهم مکانیک سماوی یعنی تکینگی را شامل می شود. در ادامه، توضیحی مختصر در مورد حرکت نهایی ارائه خواهیم داد. فصل سوم؛ تازه ترین تلاش های دانشمندان برای ردیابی مسیرهای ماهواره را در بر دارد. در این سه فصل، محتوای مورد نیاز برای فصل آخر را آماده می سازیم. فصلی که یک مدل بندی دستگاه ذرات توسط نگارنده و استاد راهنما صورت گرفته است. در فصل چهارم، یکی از مدل سازی های انجام گرفته توسط ما، یعنی نگارنده و استاد راهنما، مورد بحث قرار می گیرد که ناگریز هنوز به استفاده از همه ی مفاهیم معرفی شده در فصل های قبلی منجر نگشته، اما با این تحقیق، راهی گشوده می شود تا علاقه مندان نسبت به تکمیل این مباحث مبادرت ورزند. بیان چند نکته در مورد این پایان نامه ضروری است:1. برخی از کلمات در متن، برای اولین بار است که در برابر معادل لاتین آن به کار رفته است. در واژه نامه، این لغات به ترتیب فارسی به انگلیسی آمده اند. 2. در سراسر پایان نامه، مسائلی که با عنوان قضیه آمده ثابت شده اند، ولی گزاره ها بدون برهان قید شده اند و یا دست کم طرح واره ی برهان آن ها بیان شده است.امید است با توکل به ذات حضرت باری، شاهد تلاش های گسترده تری در این علم باشیم و این دانش در کشور ما بیش از پیش مورد توجه قرار گیرد.

مساله ی حداکثر جریان مقید عبارت است از ارسال حداکثر جریان ممکن از گره مبداء ‎ s به گره مقصد ‎ t در یک شبکه ی جهت دار به قسمی که هزینه ی ارسال جریان بیشتر از یک مقدار مشخص مانند ‎ d نشود‎.‎ در این پایان نامه دو نوع از این مساله را در نظر می گیریم : ‎(1)‎ زمانی که هزینه ی جریان روی هر کمان یک تابع خطی از مقدار جریان باشد‎. (2)‎ زمانی که هزینه ی جریان یک تابع محدب از میزان جریان باشد‎.‎ چندین الگوریتم را برای حل این مساله مطالعه می کنیم که بهترین آنها این مساله را در زمانی از مرتبه ی ‎ o(n2 m logm logu log(nc)) ‎ حل می کند که n تعداد گره ها در شبکه‎، m تعداد کمانها، ‎ c ‎‎بزرگ ترین هزینه کمان ها و ‎ u بزرگ ترین ظرفیت کمان ها می باشد. این زمان می تواند با استفاده از پیاده سازی موجی الگوریتم مقیاس بندی هزینه به زمان ‎ o(n3 log m logu log(nc)) ،‎ و با استفاده از ساختمان داده درخت های پویا به ‎ o(nmlog(n2/m) log m logu log(nc)) بهبود یابد‎.‎ همچنین در این پایان نامه مساله ای را تحت عنوان حداکثر جریان پویای مقید به قید بودجه با افق زمانی ‎ t ،‎ مطرح و بررسی می کنیم. هدف از این مساله فرستادن بیشترین جریان ممکن در افق زمانی ‎t‎ در شبکه ی متغیر با زمان گسسته می باشد به قسمی که هزینه ی ارسال جریان‎،‎ کمتر یا مساوی بودجه ی موجود ‎d‎ باشد‎.‎‎ ایده ی حل این مساله را از روش حل مساله ی حداکثر جریان مقید می گیریم. با استفاده از این ایده الگوریتمی را ارائه می کنیم که حداکثر جریان پویای مقید به قید بودجه با افق زمانی ‎ t ‎ را در زمان ‎ o(dnt(n+t)) ‎ حل می کند که در عبارت مذکور ‎ n ‎ تعداد گره ها، ‎ t ‎ افق زمانی مورد نظر و d ‎‎ بودجه ی موجود در مساله می باشد. همچنین می توان این مساله را با استفاده از پشته ی فیبوناچی در زمان ‎ o(d(tm+tn log (tn))) ‎ حل کرد‎.

عصب شناسی ریاضیاتی که به دو بخش عصب شناسی نظری و محاسباتی تفکیک می شود‎،‎ حوزه نوظهوری در عرصه علوم اعصاب است که در آن ریاضیات نقش بنیادی در توصیف و پیش بینی رفتارهای رفتارهای نورنی دارد‎.‎ در اینجا منظور از عصب شناسی‎،‎ حوزه وسیعی است که شامل نوربیولوژی سلولی و مولکولی‎،‎ سیستمهای نوروفیزیولوژیکی‎،‎ عصب شناسی رفتاری‎،‎ و دیگر حوزه های است که در سیستم عصبی مورد مطالعه قرار می گیرند‎.[9]‎ اولین آثار ظهور عصب شناسی ریاضیاتی‎،‎ به کارهای اصلی الن هاچکینگ و اندرو هاکسلی در سال ‎1950 [6,7]‎ و نیز لاپیکو ‎ در قرن قبل بر می گردد‎.‎ کارهای هاچکینگ و هاکسلی برای آنها جایزه نوبل را به ارمغان آورد‎،‎ و شگفت آنکه معادلات آنها امروزه نیز به همان فرم توصیف شده به کار میروند‎.‎ این مدل پیچیده‎،‎ توصیف کننده مکانیسم تولید پتانسیل عمل یا تکانه عصبی در یک نورن خاص (نورن بازویی اسکوئیت) است که در محل خاصی به نام آکسون هایلاک تولید می شود‎.‎ تنها چند سال بعد فیتزهاگ‎،‎ تحلیل صفحه فازی دو بعدی از مدل های نورونی را ارائه داد و اولین مدل ساده یک تکانه عصبی را معرفی کرد که تنها از دو متغیر تشکیل می شد‎.‎ امروزه مدل هاچکینگ هاکسلی را در رده مدل های مبتنی بر رسانایی قرار می دهند‎.‎ این نوع مدل ها ساده ترین نمایش بیوفیزیکی سلول های تحریک پذیر نظیر سلول های عصبی است‎.‎ در این پایان نامه رده خاصی از مدل های مبتنی بر رسانایی‎،‎ موسوم به مدل های مینیمال مورد بررسی قرار گرفته اند‎.‎ این نوع مدل ها با کمترین تعدا پارامتر و متغیرهای دریچه ای قادر به توصیف بسیاری از خواص الکتریکی سلول های عصبی هستند‎.‎ تحلیل های انجام شده روی این مدل ها عموما‎ً‎ به صورت عددی است‎.‎ ما توانستیم برای حالت خاصی از مدل های مبتنی بر رسانایی مینیمال یک تحلیل در حد نزدیک به رده بندی ارائه دهیم‎.‎

هدف این پایان نامه مطالعه جواب های تناوبی مسئلهnجسم نیوتنی با روش های حساب تغییرات است. در سالهای اخیر روش های حساب تغییرات با موفقیت روی مسئله $-n$جسم بکار گرفته شده است. قابل توجه ترین موفقیت در مدار شکل هشت (منظور هشت انگلیسی) است که توسط شنسیه ، مور و مونتگمری کشف شد. در این مدار تمامی جرم ها روی یک مدار به شکل هشت بدون برخورد همدیگر را تعقیب می کنند و به طور متناوب از پیکربندی های اویلری می گذرند. شنسیه و مونتگمری ثابت کردند که هر قطعه از مدار که از یک پیکربندی اویلری شروع می شود و به پیکربندی مثلث متساوی الساقین ختم می شود، مینیمم تابعک کنش روی یک فضای مسیری مناسبی است. کاربرد دیگر حساب تغییرات در مسئله چهار جسم متوازی الاضلاع است. در این پایان نامه، وجود یک جواب تناوبی نشان داده خواهد شد که پیکربندی آن به طور متوالی بین پیکربندی مربع و پیکربندی هم خط تغییر می کند همیشه یک پیکربندی متوازی الاضلاع باقی می ماند.

شبکه عصبی کرم سی الگانس یک نمونه خوب برای مطالعه شبکه عصبی و علم زنتیک است.ساختار عصبی این کرم شناخته شده است. در این پایان نامه ضمن معرفی انواع شبکه ها و مدارهای عصبی کرم سی الگانس به بررسی دینامیک نورون های حرکتی شبکه حرکت این کرم از دو دیدگاه پرداخته شده است.دیدگاه اول توپولوژی گراف هر یک از دسته های نورون های حرکتی کرم بررسی شده است. همچنین مدل مداری جدید که به واقعیت نزدیک تر است ارائه می کند. سپس موقعیت درونی هر یک از نورون ها در محیط سیمولینک شبیه سازی می شود.نتایجی در باره دسته نورن های حرکتی آن که به واقعیت نزدیک تر است به دست امده است.

پژوهش حاضر جزئیات مربوط به مدل منظومه سیاره ای سه تایی‏، حالتی خاص از مسئله رینگ n+1‎ جسم را مورد بررسی قرار داده است. این مسئله حرکت فضاپیما در میدان گرانشی چهار جسم اولیه را شرح می دهد. برای معرفی مدل به مباحثی از قبیل معادلات حرکت‏، تعداد و موقعیت نقاط تعادل‏، پایداری خطی این نقاط‏، انتگرال حرکت و رسم منحنی های سرعت صفر توسط نرم افزار matlab‎ پرداخته شده است‎.‎ یکی از مباحثی که در تحلیل دینامیک مسئله نقش بسزایی دارد‏، محاسبه مدار هاله ای آن است که مهمترین هدف این تحقیق می باشد. برای دستیابی به این منظور از روش لیندشتاد ـ پوانکاره که یکی از برجسته ترین روش ها در تعیین جواب های تحلیلی ـ تقریبی است‏، استفاده شده است. تکنیک مذکور اولین بار در مسئله سه جسم مقید و در طراحی مأموریت isee-3‎‏ به کار گرفته شد. بنابراین پس از بیان مختصر جزئیات مسئله سه جسم مقید و چگونگی محاسبه تحلیلی و عددی مدار هاله ای آن‏، ایده مزبور با تقریب مرتبه سوم بر مسئله منظومه سیاره ای سه تایی پیاده سازی شده است‎.

آلودگی صوتی یکی از معضلات جدی جوامع صنعتی می باشد. هر چند روش های متکی بر جذب صوت کاربردهای فراوانی داشته اما در فرکانس های پایین کارایی لازم را ندارند. برای غلبه بر این مشکل رویه های فعال برای حذف نویز ارائه گردیده اند. در این تحقیق نیز به منظور کاهش نویز صوتی به صورت فعال، ایده هایی مبتنی بر یادگیری تقویتی ارائه گردید. در این مسیر ابتدا برای سیگنال های تناوبی یک روش پیشنهاد شد که در آن نیازی به دانستن اطلاعات دینامیک نبوده و بار محاسباتی اندکی داشت اما نیاز به حافظه زیاد در بسیاری از موارد عملکرد آن را محدود می نمود. با ترکیب این روش با تکنیک های کاهش داده - نظیر تقسیم و غلبه، تقریب تابع، تجمیع حالات و کد سازی غیریکنواخت - متدهای جدیدی با افزایش قابل ملاحظه ای در بازدهی شکل گرفت. حذف نویز صوتی تناوبی با چند هارمونیک به کمک مبحث سیستم چند عاملی نیز از دیگر روش های ارائه شده در این پایان نامه بود. در سیستم پیشنهادی، وظیفه در نظر گرفته شده برای هر عامل، حذف نویز در یک هارمونیک خاص بود اما تنها سیگنال تقویتی در دسترس، توان کل بود. برای حل این معضل و دست یابی به پاداش اختصاصی هر عامل از پاداش عمومی از ایده "تکنیکهای ارزیابی عامل نقاد مبتنی بر دانش" با تغییر مناسب استفاده گردید. در این تحقیق گستره استفاده از یادگیری تقویتی برای حذف نویز به صورت فعال تنها به سیگنال های تناوبی محدود نگشت و روش هایی نیز برای سیگنال های پهن باند ارائه گردید. بنابراین در مجموع در این پایان نامه 2 روش برای حذف نویزهای صوتی پهن باند و 11 روش برای نویزهای تناوبی ارائه و به کمک شبیه سازی کامپیوتری عملکرد آن ها با یکدیگر و با روش های استاندارد دیگر مقایسه گردید و کارائی مناسب روش های پیشنهادی نشان داده شد.

پایداری منظومه شمسی از جمله مهمترین مسائل مکانیک سماوی است. پاسخ کامل به آن نیازمند دانستن دینامیک تعداد زیادی از اجسام سماوی است. به دلیل پیچیدگی ذاتی مسئله معمولا به مطالعه مدل هایی که شامل اجسام کمتری است می پردازیم. در این پایان نامه ابتدا پایداری مسئله سه جسم مقید را با استفاده از قضیه کام بررسی می کنیم. به عنوان مثالی کاربردی سه جسم خورشید مشتری و ویکتوریا را در نظر می گیریم. تابع هامیلتونین مسئله بر حسب متغیرهای عمل زاویه دلونی بیان شده است که دارای دو درجه آزادی و تقریبا انتگرال پذیر است. بخشی از پایان نامه به تخمین زمان پایداری توسط قضیه نخورشف پرداخته است. نتیجه برای زمان پایداری در مقایسه با سن منظومه شمسی که در حدود پنج میلیارد سال است به دست آمده است. و در پایان پایداری خطی حلقه رزت بررسی می شود. و نشان می دهیم که حلقه در این حالت ناپایدار است.