نام پژوهشگر: محمد طاهر کمالی
کورش کیانی مجتبی تجزیه چی
در بحث مدیریت سواحل مسئله حفاظت ساحل از اهمیت زیادی برخوردار است. موج شکن های مستغرق از مهمترین سازه های دریایی هستند که به طور گسترده در سراسر دنیا برای محافظت از ساحل در برابر فرسایش استفاده می شوند. این سازه ها با مستهلک کردن انرژی موج باعث کاهش میزان انرژی رسیده به ساحل می شوند. پس تغییرات در خط ساحلی به میزان بسیار زیادی وابستگی به جریان عبوری روی این سازه ها دارد. در این تحقیق سعی بر این است که با ترکیب یک روش عددی با روش شبکه های عصبی مصنوعی مدلی برای پیش بینی جریان عبوری روی این سازه ها ارائه شود. یکی از مهمترین مزیت های استفاده از شبکه های عصبی مصنوعی این است که می توان جریان ناشی از موج روی موج شکن مستغرق را بدون در نظر گرفتن بسیاری از عوامل موثر در آن پیش بینی کرد. از طرف دیگر بکارگیری روش شبکه های عصبی مصنوعی نیاز به طیف وسیعی از داده ها دارد که در این تحقیق به وسیله مدل عددی ارائه شده توسط cox وtajziehchi (2006) و با به کار گیری نرم افزارdelft3d تولید گردیده اند. در نتیجه 300 داده با پارامترهای نسبت بدون بعد استغراق ((hs/hi، نسبت بدون بعد عرض تاج موج شکن(b/l) ، نسبت بدون بعد ارتفاع موج hi/b)) و نسبت بدون بعد تیزی موج((hi/lایجاد می گردد. در این تحقیق، از شبکه های عصبی پیش خور (feed-forward) با سه لایه ورودی، مخفی و خروجی استفاده می شود. در بین شبکه های پیش خور نیز، شبکه های پرسپترون چند لایه یا mlp’s بهترین انتخاب می باشند، زیرا شبکه های تابع پایه شعاعی یا rbf’s نیاز به تعداد نورون های بیشتری دارند که این خود باعث افزایش زمان و هزینه می گردد. علت استفاده از لایه مخفی این است که اگر تعداد نرون های این لایه به درستی انتخاب شوند، این قدرت را به شبکه میدهد که هر تابعی را با تعداد محدود نقاط نا پیوستگی، به خوبی تقریب بزند(ahmadian وtajziehchi 2009,). برای آموزش شبکه نیز از الگوریتم lm (levenberg-marquardt) و با بکار گیری روش توقف زود رس استفاده می شود. پس از تولید داده های آموزشی شبکه عصبی مصنوعی، تاثیر هر یک از پارامتر های موجود بر روی جریان عبوری روی موج شکن مستغرق بررسی می شود و بعد از طراحی شبکه مورد نظر، نتایج بدست آمده به وسیله شبکه عصبی مصنوعی با نتایج آزمایشگاهی که توسط tajziehchi و cox (2005) جمع آوری شده است، مقایسه میشود و صحت توانایی شبکه های عصبی مصنوعی در پیش بینی جریان ناشی از موج عبوری روی موج شکن مستغرق مشخص می گردد.
امین امیری توسلی حسین جواهری
توجه به افزایش روز افزون تعداد و اهمیت سازهای ژئوتکنیکی بخصوص سد های خاکی و نقش مهم این سازه ها بر ملاحظات انسانی واقتصادی استفاده از روش سیستماتیک مناسب برای براورد میزان آسیب پذیری و خرابی این سازه ها بگونه ای که با روش منطقی عدم قطعیت های موجود در پارامترها و مکانیسم ها را در مسئله مورد توجه قرار دهد، لازم گردیده است. بخصوص سازمان های مدیریتی و تصمیم گیرنده در مورد اولویت ها و جنبه توجیه پذیری اقتصادی طرح ها و سازمان های بیمه ای به این مطالعات توجه زیادی معطوف داشته اند. در تحلیل های احتمالاتی با توجه به وجود عدم قطعیت در پارامترها و بارگذاری های موثر در شکست سازه عدم اطمینان درروش های محاسباتی، شرایط شکست برای سازه به صورت توابع احتمالاتی بیان می گردند،که میزان عدم قطعیت در پارامترهای مختلف موثر در مکانیسم شکست درآن لحاظ گردیده است. بطور خاص این روش را برای سد خاکی با خصوصیات مشخص می توان به کار برد. در این پایان نامه جابجایی بدنه و احتمال شکست یک سد خاکی تحت اثر زلزله با استفاده از مفاهیم احتمالاتی مورد بررسی قرار می گیرد
امیر مویزچی محمد طاهر کمالی
لغزش زمین معمولا باعث ایجاد خرابی های زیان بار و بعضا جبران ناپذیری می شود. اطمینان از پایداری شیب های طبیعی و دست ساز بشر همواره یکی از مشکلات اساسی مهندسین ژئوتکنیک بوده است. پایداری شیب ها به روش های مختلفی می تواند افزایش پیدا کند که یکی از این روش ها استفاده از شمع ها می باشد که در چند سال اخیر رواج قابل توجه ای داشته است. استفاده از روش های عددی برای آنالیز پایداری شیب ها به وسیله شمع بسیار مورد توجه قرار گرفته است. روش اجزاء محدود مطمئنا روشی مناسب برای این نوع آنالیز می باشد، چون استفاده از روش های تجربی و آزمایشگاهی بسیار هزینه بر و وقت گیر است. در این پایان نامه، شیب مسلح شده با یک ردیف شمع به وسیله نرم افزار plaxis مدل می شود که به این وسیله اثر پارامترهای موثر در پایداری شیب با شمع )مانند محل بهینه قرارگیری شمع، پارامترهای مقاومت برشی خاک، شدت سربار بالای شیب و ...) مورد بررسی قرار می گیرد. خاک با استفاده از مدل رفتاری موهر-کولمب مدل می شود و مصالح تشکیل دهنده شمع با رفتار الاستیک در نظر گرفته می شود. این مدل سازی با فرض کرنش مسطح انجام می شود.
سیروس حسینی ملایی بابک شکرالهی زاده
ازآنجا که گسترش روز افزون استفاده از مصالح کامپوزیت درسازه های مهندسی مانند سازه های دریایی – سازه های هوا فضا- ترمیم ساختمانهای آسیب دیده و...بررسی رفتار مصالح کامپوزیت و بدست آوردن روابط تحلیلی برای پیش بینی رفتار آنها درسازههای مهندسی راضروری می نماید.وبه دلیل مقاومت بالای مصالح کامپوزیت در برابر پدیده های خوردگی وخستگی،استفاده از مصالح کامپوزیت درساخت سازه های دریایی گسترش یافته است.از دیگرمزایای مصالح کامپوزیت مقاومت بالا باوزن کم آنها می باشد. همچنین مصالح کامپوزیت رامی توان به گونه ای طراحی کرد که خواص مورد نظر را داشته باشد.دراین پایان نامه به بررسی میدان ترموالاستیک درسطح ریزساختارمصالح کامپوزیت می پردازیم. که ابتدا روش حل نیوبر پاپکویچ درحل مسائل ترموالاستیک را توضیح می دهیم. سپس به میدان تنش ترموالاستیک پیرامون الیاف استوانه ای وذرات کروی با پوشش fgm1با استفاده از روش نیوبر پاپکویچ اشاره می کنیم .ودرانتها باگسترش روش اینکلوژن2 معادل طیفی برای حل مسایل الاستیک وترموالاستیک بااستفاده ازاین روش مسائل الاستیک و ترموالاستیک استوانه ای با پوشش fgmراحل می کنیم.
عبدالنبی توانگری محمد طاهر کمالی
در آنالیز رشد ترک ضریب شدت تنش (sif)، یک پیش نیاز اساسی می باشد. در این پاپان نامه ضریب شدت تنش (sif) در مد اول، در یک محیط استوانه ای الاستیک ایزوتروپ با ابعاد دلخواه، دارای یک ترک سه بعدی از نوع سکه ای که تحت بارگذاری دلخواه در راستای طول استوانه می باشد، به روشی نیمه تحلیلی بر اساس روش رایله-ریتز بدست می آید. این روش که بر پایه "قانون مقدار ثابت انرژی پتانسیل کل سیستم" استوار است، نتایج بسیار نزدیکی نسبت به مطالعات گذشته ارائه می دهد. تعریف تغییر شکل نقاط (میدان الاستیک) به صورت توابع فرضی، در مختصات تعریف شده در سیستم اساس کار می باشد، که برای ایجاد تنش تکین در نوک ترک، باید جملات مناسب یافت شود.
سپیده فضل خواه بابک شکرالهی زاده
در این پایان نامه یک کره پوشش دار با پوشش fgm در محیط بی نهایت و ایزوتروپ مفروض است. با استفاده از توابع پتانسیل لامه و بسط توابع ویژه مساله انتشار امواج پیرامون کره پوشش دار با پوشش fgm مورد مطالعه قرار می گیرد. رفتار مصالح الاستیک خطی و تغییر شکل ها در محدوده تغییر شکل های کوچک قرار دارد. عمده مسائل بررسی شده به کره با پوشش غیر fgm پرداخته اند. همچنین مطالعات انجام شده در زمینه کره با پوشش fgm به حالت های ساده تغییرات خواص مواد پرداخته اند. در این مطالعه از توابع پیچیده دلخواه برای تعیین تغییرات خواص مواد استفاده می شود. سپس میدان تنش پیرامون کره پوشش دار در مساله انتشار امواج مطالعه می شود. سوال اصلی این تحقیق میزان اثر پوشش های متفاوت fgm بر میدان تنش در مساله مورد مطالعه است. اینگونه مطالعات می تواند زمینه را برای گسترش ساخت و استفاده از مصالح پیشرفته در سازمان های مهندسی فراهم کنند.
امیر امیری توسلی بابک شکرالهی زاده
به موازات پیشرفت پر سرعت علم در تمامی شاخه ها در قرون جاری مبحث انتشار امواج نیز این مسیر را طی کرده است و با توجه به کاربرد آن در زمینه های مختلف از جمله عمران و ژئو فیزیک و کاربردهای نظامی آن، مورد علاقه محققان قرار گرفته است. پدیده انتشار امواج بوسیله روش های مختلفی شامل بسط توابع ویژه، روشهای عددی، اینکلوژن معادل (eim) و .... مورد بررسی قرار گرفته است. در این رساله انتشار امواج درون صفحه بوسیله روش seim مورد بررسی قرار می گیرد. در این رساله ابتدا حل مسأله ناهمگنی استوانه ای ایزوتروپ بوسیله روش بسط توابع ویژه با حل ناشی از روش seim مورد مقایسه قرار گرفته است تا صحت و سقم این روش اثبات شود. سپس با استفاده از روش seim مسائل ناهمگنی استوانه ای ناهمسانگرد (ارتوتروپ، مونوکلینیک و هایپر الاستیک) با پوشش fgm در محیط ایزوتروپ برای اولین بار بررسی می شود. مسأله انتشار امواج sh در یک محیط ناهمسانگرد مونوکلینیک با پوشش fgm با استفاده از روش seim توسط شکرالهی زاده و نوحه گو در رساله کارشناسی ارشد حل شده است. مسأله انتشار امواج در یک محیط ناهمسانگرد هایپر الاستیک با پوشش fgm که تا کنون بوسیله هیچ یک از روشهای موجود منتج به حل نگردیده برای اولین بار در این رساله بوسیله روش seim حل شده است.
احسان رحیمی شهواری محمد طاهر کمالی
تعداد بسیار زیادی از ساختمان های موجود در ایران از نوع ساختمان های دارای دیوار با مصالح بنایی غیرمسلح می باشد که بهسازی آن ها در مقابل بارهای ناشی از زلزله ضروری است. روش های مختلفی برای بهسازی این نوع دیوارها وجود دارد که استفاده از بتن پاشی و ورق های کامپوزیت از جمله این روش هاست. در این پایان نامه رفتار دیوارهای بنایی غیرمسلح بهسازی شده با استفاده از کامپوزیت و بتن پاشی در برابر بارهای سیکلی مورد بررسی قرار گرفته است. مصالح بنایی به عنوان ماده ای ناهمگن اورتوتروپ فرض شده است. تغییر ضخامت در ارتفاع و همچنین در طول نادیده گرفته شد. استفاده از مفهوم قاب معادل به جای المان دیوار مورد استفاده قرار گرفت. از تیرهای صلب و همچنین ستون برای مدل سازی دیوار بنایی استفاده گردید. مفاصل پلاستیک خمشی و برشی برای مدل سازی رفتار مناسب دیوار در برش و خمش در ناحیه غیرخطی پاسخ مناسبی ارائه نمود. بارگذاری ترکیبی پوش آور برای مدل سازی رفتار سیکلی دیوار نیز مورد استفاده قرار گرفت. با تحلیل رفتار دیوارهای بهسازی شده، افزایش در سختی جانبی معادل و میزان جذب انرژی مشاهده شده است. پارامترهای مورد نیاز برای مدل سازی و طراحی دیوارهای بهسازی شده در مطابقت با دستورالعمل بهسازی محاسبه و ارائه شده است. نتایج به دست آمده از تحلیل با نتایج آزمایش های ارائه شده در منابع مقایسه گردید و همخوانی مناسبی مشاهده شد. این نتایج نشان دهنده افزایش در مقاومت جانبی دیوارهای بنایی غیرمسلح بهسازی شده با شاتکریت تا حدود 6/3 برابر دیوار مصالح بنایی غیرمسلح می باشد. همچنین شکست این نوع دیوارهای بهسازی شده شکل پذیرتر است و قابلیت جذب انرژی بیشتری از خود نشان می دهند. مقاومت جانبی دیوارهای غیرمسلح بهسازی شده با ورق های کامپوزیت تا حدود 3 برابر دیوارهای بنایی غیرمسلح می باشد.
یاسین افضلی بابک شکرالهی زاده
در این تحقیق اندرکنش ترک مود مرکب و یک ناهمگنی دایره ای پوشش دار با ناهمسانگردی استوانه ای و ناهمسانگردی کارتزین در محیط نامحدود ایزوتروپ با استفاده از روابط مکانیک شکست و اجزاء محدود تحلیل شده است. یک ماتریس انتقال کرنش-جابجایی توسعه یافته برای ارتباط محیط استوانه ای و کارتزین معرفی می شود. ناهمسانگردی ناهمگنی از نوع ارتوتروپ و مونوکلینیک می باشد. تغییرات خواص مواد در ناحیه ی پوشش با استفاده از توابع دلخواه صورت گرفته است. برای مش بندی ناهمگنی و محیط پیرامون از المان های شش گره ای مثلثی و هشت گره ای سرندپیتی استفاده شده، و المان های شش گره ای مثلثی ویژه تکینگی میدان تنش در نوک ترک را مدلسازی می کنند. ضریب شدت تنش با استفاده از روش رشد مجازی ترک و تکنیک همبستگی جابه جایی در نوک ترک محاسبه شده است. اثر ناهمسانگردی های استوانه ای و کارتزین، اندازه ناهمگنی، زاویه قرارگیری ترک، فاصله بین ناهمگنی و نوک ترک و تأثیر انتخاب توابع بر ضریب شدت تنش در نوک ترک مورد بررسی قرار می گیرد.
آرش انصاری محمد طاهر کمالی
در سال های اخیر استفاده از سازه های کامپوزیت مانند لوله ها، بدنه کشتی ها و موشک ها بدلیل خواصی چون، مقاومت در برابر رطوبت و خوردگی همچنین استحکام بیشتر نسبت به دیگر سازه ها افزایش چشم گیری یافته است. در این پایان نامه با استفاده از اصل تغییرات ریزنر و با استفاده از فرمولاسیون ترکیبی و روش لایه گون محاسبات جابجایی و آنالیز تنش پوسته های چند لایه استوانه ای صورت می گیرد. میدان جابجایی و سه مولفه تنش خارج از صفحه به صورت یک سری توابع با ضرایب مجهول در نظر گرفته می شوند. این توابع انتخابی شرایط مرزی هندسی و شرایط مرزی طبیعی را به طور دقیق ارضاء می کنند. پیوستگی میدان جابجایی و تنش های بین لایه ها با استفاده از توابع شکل برآورده می شود، که این توابع شکل را می توان به صورت خطی و یا چند جمله ای در نظر گرفت.
امیر رشوند بابک شکرالهی زاده
روش اجزای محدود توسعه یافته بیشتر برای تحلیل شکست ترک در لایه های کامپوزیت بین لایه ای بهبود یافته است. این مطالعه به بررسی ضریب شدت تنش برای ترک بین لایهای دو مصالح ناهمسانگرد اختصاص یافته است. توابع غنی سازی نوک ترک همان حل تحلیلی جابجایی (بدون بارگذاری روی ترک) در نظر گرفته شده اند. برای بررسی عملکرد این روش تعدادی مثال عددی و مقایسه آنها با نتایج دقیق قرار داده شده است.
محمد صدوق بابک شکرالهی زاده
اندرکنش ترک گوشه و ناهمگنی ناهمسانگرد به روش اجزاء محدود تعمیم یافته مورد مطالعه قرار گرفته است
وحیدرضا افخمی محمد طاهر کمالی
یکی از مهمترین نوع های اتصال، اتصال تیر به ستون می باشد که در واقع رابط دو قطعه ی اصلی سازه های فولادی، یعنی تیر و ستون، می باشد؛ از این جهت تلاش های زیادی در جهت شناخت و بررسی رفتاری این گونه اتصالات صورت گرفته است که نتایج این تلاش ها منجر به ارائه ی مدل ها و دسته بندی های مختلفی از چشمه ی اتصال شده است. در عمده ی این تحلیل ها تقسیم بندی اتصال به صورت زیر است: 1- اتصال گیردار(صلب) 2- اتصال نیمه گیردار(نیمه صلب) 3- اتصال ساده (مفصلی) مبنای دسته بندی فوق میزان انتقال لنگر گیرداری، توسط اتصال، می باشد که اگر قسمت اعظم این لنگر توسط اتصال بین اعضای اصلی منتقل شود اتصال گیردار است و اگر قسمت بسیار کوچکی از این لنگر منتقل شود اتصال ساده است و در حالت بینابین این دو اتصال، اتصال حالت نیمه گیردار دارد. براساس بررسی های صورت گرفته نوع اتصالات می تواند نقش مهمی در میزان باربری سازه های فولادی ایفا کند. به عنوان مثال در اتصالات تیر به ستون، اتصال نیمه صلب در برابر اتصال صلب شکل پذیری مناسب تری از خود نشان می دهد که این خود باعث افزایش باربری سازه می شود؛ ضمنا بر مبنای برخی پژوهش ها سازه های فولادی با اتصالات نیمه صلب تا 15 درصد می تواند صرفه جویی اقتصادی در برابر نوع صلب آن داشته باشند. در این تحقیق تمرکز خود را روی اتصالات نیمه صلب تیر به ستون معطوف می کنیم، اتصالاتی که هم از نظر اقتصادی صرفه جویی مناسبی در طرح ها را از خود نشان می دهند و هم از نظر باربری، عملکرد مناسب و شکل پذیری در برابر زلزله های مخرب دارند.
سعید پورمقدم محمد طاهر کمالی
امروزه از ورق های چند لایه به علت مزیت های زیادی از قبیل مقاومت و استحکام بالا در مقایسه با وزن کم آنها و پاسخ گسیختگی مناسب و مقاومت و ایستادگی در برابر خوردگی و برتری نسبی به ورق های معمولی استفاده زیادی در صنایع مختلف می شود. در این تحقیق به بررسی خمش ورق های چند لایه با اتصال ناقص بین لایه ها با استفاده از روش ریتز پرداخته می شود. روش ارائه شده از جمله روش های انرژی می باشد که می تواند مساله را برای حالت های بارگذاری و شرایط مرزی مختلف و هندسه دلخواه حل کند. در این تحقیق میدان جابجایی در حالت سه بعدی در هر سه راستا به صورت یک سری توابع با ضرایب مجهول در نظر گرفته شده بطوری که این توابع شرایط مرزی هندسی را به طور دقیق ارضاء می کنند. از آنجا که بیشترین خرابی و آسیب در مرز بین لایه ها اتفاق می افتد در این تحقیق با مدل کردن یک لایه لغزنده ی فنری بین لایه ها، اتصال بین لایه ها را ناقص در نظر گرفته شده و به تحلیل خمش ورق چند لایه پرداخته شده است.
رحمان علیزاده لشکانی بابک شکرالهی زاده حاجی آبادی
ضریب افزایشی که برای تبدیل تنش اسمی به تنش ماکزیمم موجود در مناطق بحرانی به کار می رود ضریب تمرکز تنش scf نامیده می شود . این ضریب که مشخص کننده مقاومت اتصال مخصوصاً مقاومت خستگی آن می باشد با توجه به شکل هندسی اتصال و نوع بارگذاری آن با فرمول های مربوطه محاسبه می گردد . بکارگیری ضریب تمرکز تنش در محاسبه عمر خستگی بسیار حائز اهمیت می باشد . ضریب تمرکز تنش همچنین چگونگی توزیع تنش در انواع اتصالات را بیان می کند و بواسطه آن می توان تنش پای جوش hot spot stress را تعیین نمود . مکانیک شکست یکی از علوم مهندسی است که پدیده شکست در مواد را بررسی نموده و روش های طراحی برای عملکرد مطمئن سازه را ارائه می دهد . این علم دارای کاربردهای بسیار گسترده ای در طراحی سازه های دریایی می باشد . به طوری که امروزه دست کم 80% از طراحی ها بر اساس دانش مکانیک شکست انجام گرفته و یا لااقل سازه های طراحی شده با روش های دیگر ، به منظور اطمینان از ایمنی و کارایی لازم با روش های مکانیک شکست مورد بررسی و آزمایش قرار می گیرند . در این رساله ، با استفاده از نرم افزار ansys-10 مدل اجزا محدود سه بعدی اتصالات t و k شکل جهت تعیین ضریب تمرکز تنش و مدل واقعی جوش با استفاده از المان بیست گرهی solid 186 بررسی و مقادیر محاسبه شده با نتایج آزمایشگاهی مقایسه می گردد . همچنین اثر تغییرات پارامترهای موثر بر ضریب تمرکز تنش بررسی می شود . در نهایت با توجه به اهمیت علم مکانیک شکست اثر ترک بر روی توزیع تنش و ضریب تمرکز تنش بررسی می گردد .
شهرام نگهداری محمد طاهر کمالی
جهت پاسخ هوشمندانه و مناسب سازه ها در برابر بارگذاری های مختلف و عوامل محیطی نیاز به سه سیستم شامل حسگر جهت گرفتن اطلاعات ناشی از پاسخ سازه نسبت به محرکها، پردازشگر جهت پردازش اطلاعات ورودی احساس شده و عملگر جهت واکنش مناسب با توجه به تصمیم گیری پردازش گر می باشد.از آنجا که سازه ها به طور عمـــومی دارای طبیعت پیوسته هستند ، بنابراین حسگری و عملگری به طور موضـــــعی نمی توانند نیازهای کنترلی را برآورده کنند، زیرا ممکن است نقاط مربوط به حسگر یا عملگر منطبق بر نقاط گرهی مودال سیستم قرار بگیرد که در این صورت حسگر چیزی را حس نمی کند و عملگر به طور موثر عمل نمی کند.بنابراین جهت کنترل کردن این سازه ها باید حسگرها و عملگرها به صورت پیوسته کار کنند. به همین دلیل معمولاً این ابزار به شکل ورق و پوسته ساختــه می شوند. مثلاً جهت کنترل کردن تیرها ، ورقها و پوسته ها از یک لایه پیزوالکتریک در یک سمت به عنوان حسگر و در سمت دیگر به عنوان عملگر استفاده می شود. بنابراین بررسی تحلیل استاتیکی و دینامیکی ورقهای پیزوالکتریک ضروری به نظر می رسد.در این رساله ارتعاشات آزاد ورق پیزوکامپوزیت که یک نوسانگر نقطه ای در مختصات اختیاری خود حمــــل می کند را با شـــرایط تکیه گاهی متفاوت با استفاده از یک روش نیمه تحلیلی مبتنی بر انرژی (روش ریتز) مورد تحلیل و بررسی قرار می دهیم.در حل این مسئله رفتار مصالح الاستیک و پیزوالکتریک ، خطی فرض می گردد. همچنین فرض می گردد که جرم به صورت متمرکز و با یک فنر الاستیک به ورق در نقطه ای اختیاری متصل می باشد .توابع جابجایی و پتانسیل الکتریکی به عنوان مجهولات اصلی به صورت یک ســـــری توابع سه بعدی با ضرایب مجهـــول در نظر گرفته می شوند. با مینیمم کـردن آنتالپی کل سیستم حل مســـأله بدست می آید. مسأله را درموقعیت مختلف قرار گیری جرم روی ورق ، سختی های مختلف فنر و ابعاد مختلف ورق با شرایط تکیه گاهی مختلف مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین میزان تأثیر خاصیت پیزوالکتریک را روی مسأله در نظر می گیریم و نتـایج حاصل از تحلیل ارتعاشـــات آزاد را برای حالتهای مختلف تجزیه و تحلیل می نماییم.