این پایان نامه از سه بخش تشکیل شده است، که در بخش ابتدایی، مفاهیم اساسی مسائل هدایت گرمایی معکوس را بیان می کنیم، که شامل تعاریف و کاربرد های آن و مثال های متعدد ی در این زمینه می باشد. در بخش دوم، به حل عددی معادلات با مشتقات جزئی سهموی می پردازیم. این بخش شامل روش های تفاضلات متناهی است، که همراه با مثال ارائه می شود. در ادامه به بررسی همگرایی، پایداری و سازگاری این روش ها پرداخته شده است. در انتهای این بخش، با ذکریک مثال، ارتباط بین همگرایی، پایداری و سازگاری مورد بررسی قرار گرفته شده است. اما در بخش انتهایی، که بخش اصلی این پایان نامه می باشد، یک الگوریتم عددی بر پایه روش های تفاضلات متناهی و روش کمترین مربعات برای حل یک مسئله هدایت گرمایی معکوس ارائه شده است. ابتدا از روش گسسته سازی تفاضلات متناهی برای الگوریتم عددی استفاده شده است.روش کار ارائه شده، بازآرایی شکل ماتریسی معادلات دیفرانسیل برای بدست آوردن ضرایب مجهول هدایت گرمایی می باشد. سپس با اتخاذ روش کمترین مربعات جواب را یافته، و با روش منظم سازی تیخونف به تقریب عددی پایداری از جواب می رسیم.

در این پایان نامه به مدل سازی ریاضی و بررسی عمل تصویربرداری از پدیده تشدید مغناطیسی (mri)در رگ های خونی پرداخته شده است. ابتدا در فصل اول عملکرد دستگاه هایی که توسط آنها mri انجام می شود، بررسی شده اند. در فصل دوم مقدمات مربوط به بررسی ریاضی mri ارائه شده است. در فصل سوم به مدل سازی ریاضی پدیده تشدید مغناطیسی در رگ های خونی پرداخته شده است. ملاحظه می شود که در نهایت مدل ریاضی نتیجه شده به صورت یک دستگاه معادلات دیفرانسیل، معروف به معادلات بلاک به دست می آید. در فصل چهارم معادله دیفرانسیل حاصل با چند روش تحلیلی از جمله با استفاده از معادلات بسل و روش wkb و چندجمله ایهای باباکر حل شده اند. در نهایت در فصل پنجم به بررسی معادله بلاک پرداخته شده است.

در این پایان نامه، مساله نفوذ و کاربردهای آن در تشخیص سرطان مورد بحث و بررسی قرار می گیرد. با توجه به اینکه مبحث مورد مطالعه در پایان نامه حاضر، به صورت ترکیبی از ریاضیات و علوم زیستی می باشد، لذا در فصل اول سعی بر آن است که مباحث زیست شناسی مساله، از جمله پدیده های متاستاز و آنژیوژنیز، یعنی دو عامل مهم در رشد و گسترش تومور بیان گردد. در فصل دوم پایان نامه، مدل سازی ریاضی رشد و نفوذ سلول های سرطانی مورد بررسی قرار گرفته است. از جمله این مدل ها، الگوهای ارائه شده در مبحث شیمی درمانی و پرتو درمانی است. در فصل های سوم و چهارم، برخی روش های تحلیلی و عددی حل مسائل نفوذ از جمله روش تفاضلات متناهی و روش عناصر متناهی عنوان گردیده است. در نهایت، در فصل پنجم با استفاده از روش های عددی مذکور به حل این مسائل در حالت های یک ، دو و سه بعدی پرداخته شده است.

مفاهیم اساسی معادلات با مشتقات جزئی و مسائل هدایت گرمایی مستقیم و معکوس که شامل تعاریف و مفاهیم بنیادی این گونه مسائل است و نیز مثالی از کاربرد مسائل هدایت گرمایی معکوس در فصل اول ارائه می گردد، از طرفی چون حل مسائل هدایت گرمایی مستقیم اولین گام در حل مسائل هدایت گرمایی معکوس می باشد در فصل دوم این پایان نامه چند مورد از روش های حل تحلیلی و عددی این گونه مسائل را بیان می کنیم. با توجه به این که مسائل هدایت گرمایی معکوس مسائلی بد- وضع هستند لذا در فصل سوم به بررسی برخی روش های منظم سازی برای حل مسائل بد - وضع می پردازیم. در فصل چهارم به تعمیم یک روش عددی برای حل یک نوع مسأله هدایت گرمایی معکوس در فضای یک بعدی و دو بعدی از نوع خطی و غیرخطی پرداخته می شود و درنهایت در فصل پنجم چند مسأله هدایت گرمایی معکوس با شرایط مرزی مجهول معرفی و به روش عددی پیشنهاد شده در فصل چهارم حل می شوند.

در این پایان نامه به مدل سازی ریاضی و بررسی رهش دارو از داخل نوع خاصی از سامانه های دارو رسانی پرداخته شده است. ابتدا در فصل اول مقدمات مربوط به بررسی ریاضی رهش دارو از سامانه های دارورسانی ارائه شده است. در ادامه در فصل دوم مسا‎‎ئل کران متحرک، رویکردهای عددی و تحلیلی حل این نوع مسائل بیان شده است. در فصل سوم فیزیک سامانه های دارورسانی، تجزیه و تحلیل مدل سینتیکی مربوطه، معادلات و قوانین انحلال و رهش دارو بررسی شده است. فصل چهارم مدل ریاضی رهش دارو از داخل سامانه های دارورسانی ارائه شده است. با اعمال شرایطی خاص روی رهش، مسائل مختلفی از آن نتیجه شده است. در فصل های پنجم و ششم معادلات دیفرانسیل حاصل در فصل چهارم در چند حالت به صورت تحلیلی و عددی مورد بررسی قرار گرفته اند.

دستاورد اصلی این پایان نامه مطالعه ی مسئله ی هدایت گرمایی معکوس در حل مسئله ی یک بعدی می باشد. مسائل هدایت گرمایی معکوس یک نمونه ی بارز از مسائلی هستند که چندین پارامتر مجهول از جمله منابع گرمایی ساکن و متحرک، شرایط اولیه، شایط مرزی و ... همزمان قابل تخمین می باشد. در این پایان نامه به محاسبه ی شرایط مرزی و کران متحرک می پردازیم. ابتدا مفاهیم اساسی معادلات با مشتقات جزئی و مسائل هدایت گرمایی مستقیم و معکوس و مثال هایی از کاربرد مساسل هدایت گرمایی معکوس ارائه می شود، سپس به بررسی برخی روش های حل تحلیلی و عددی مسائل هدایت گرمایی مستقیم پرداخته می شود. با توجه به بد-وضع بودن مسائل هدایت گرمایی معکوس، برخی روش های منظم سازی برای حل مسائل بد-وضع بررسی می گردد. سپس روش جواب بنیادی برای حل یک نوع مسئله ی هدایت گرمایی معکوس در فضای یک بعدی از نوع خطی و غیر خطی پیشنهاد می شودو در نهایت چند مسئله ی هدایت گرمایی معکوس با شرایط مرزی مجهول و کران متحرک مجهول معرفی و با روش پیشنهادی حل مسی شود.

در این پایان نامه حل معادله موج rlw به کمک روش عناصر متناهی براساس توابع b-اسپلاین مورد بررسی قرار می گیرد. ابتدا در فصل اول روش عناصر متناهی معرفی میشود و با ارایه چند مثال این روش بصورت مبسوط تشریح میشود. در فصل دوم توابع b-اسپلاین و قضایا و لم های مربوط به آن بیان میشود. فصل سوم مربوط به معرفی معادلات rlw میباشد. در نهایت در فصل چهارم با استفاده از روش عناصر متناهی بر اساس توابع پایه ای b-اسپلاین به حل عددی معادله rlw پرداخته میشودو نتایج عددی و تحلیلی برای چند مثال با هم مقایسه میشود.

هدف اصلی این پایان نامه حل معادلات انتگرالی ولترا خطی و غیرخطی نوع دوم با هسته منفرد ضعیف برپایه روش سینک هم محل می باشد. این پایان نامه شامل چهار فصل است که در فصل اول به معرفی معادلات انتگرالی و هم چنین وجود و یکتایی جواب برای این نوع معادلات مورد بررسی قرار گرفته است. فصل دوم به بیان قضایای تفریب بر پایه توابع پایه ای سینک روی خط حقیقی و روی دامنه متناهی پرداخته است. فصل سوم و چهارم نیز به ترتیب به حل معادلات انتگرالی ولترا خطی و غیرخطی نوع دوم با هسته منفرد ضعیف برپایه روش سینک هم محل اشاره کرده است که در فصل سوم تبدیل نمایی دوگانه را برای حل معادله مورد نظرمان به کار برده ایم و تبدیل نمایی یگانه را برای حل معادله انتگرالی غیرخطی استفاده نموده ایم.

در این پایان نامه‏ حل عددی یک مسأله ی هدایت گرمایی معکوس با استفاده از روش المان های کرانه ای مورد بحث قرار می گیرد. ‎‎‎‎‎‎‎روش المان های کرانه ای‏ یک روش عددی برای حل مسائل مدل بندی شده با معادلات دیفرانسیل بر پایه ی فرمول بندی آن ها به صورت معادله ی انتگرال کرانه ای می باشد‏. در فصل اول به بیان مفاهیم و قضایای مقدماتی در ارتباط با مسأله ی مورد بحث پرداخته می شود. در فصل دوم‏ فرمول بندی یک مسأله ی هدایت گرمایی مستقیم به صورت معادله ی انتگرال کرانه ای مکان-زمان مورد بحث قرار می گیرد. در ادامه‏،‏ ‎‎در فصل سوم پیاده سازی روش المان های کرانه ای روی یک مسأله ی هدایت گرمایی مستقیم مورد مطالعه قرار می گیرد.‎ فصل‎‎ چهارم این پایان نامه به معرفی مسأله ی هدایت گرمایی معکوس و روند عددی به کار رفته برای حل آن اختصاص دارد.‎ با توجه به این که مسائل هدایت گرمایی معکوس‏ مسائلی بدوضع هستند‏، حل این مسائل مستلزم استفاده از روش های منظم سازی می باشد. به همین دلیل‏‏ در پیوست الف‏ به طور مختصر به بررسی نحوه ی عملکرد روش های منظم سازی خواهیم پرداخت.

مولفه های مهم و اساسی هوش محاسباتی شبکه های عصبی (محاسبات نرونی)، منطق فازی (محاسبات تقریبی) و الگوریتم های ژنتیک (محاسبات ژنتیکی) هستند، که هر یک به نوعی مغز را الگو قرار داده اند. در این پایان نامه از شبکه های عصبی در حل برخی از معادلات دیفرانسیل استفاده می کنیم.شبکه های عصبی (محاسبات نرونی)، منطق فازی (محاسبات تقریبی) و الگوریتم های ژنتیک (محاسبات ژنتیکی) هستند، که هر یک به نوعی مغز را الگو قرار داده اند. در این پایان نامه از شبکه های عصبی در حل برخی از معادلات دیفرانسیل استفاده می کنیم. $‎‎$ در فصل اول، یک تاریخچه مختصر از شبکه های عصبی، تعریف شبکه های عصبی، توضیح الگوریتم پس انتشار خطا که در شبکه های عصبی پیش سو مورد استفاده قرار می گیرد را بیان می کنیم. در فصل دوم، سعی شده است یک دیدگاه کلی نسبت به مدل های موجود یادگیری در کامپیوتر ارائه شود. این مدل ها را اساساً به چهار دسته تقسیم کرده ایم. یادگیری تقویتی، یادگیری بر اساس استنتاج، یادگیری احساسی و مدل چهارم نیز برگرفته از الگوی مغز انسان می باشد که شبکه های عصبی مصنوعی نام گرفته است. در فصل سوم، یک روش برای حل مسائل دیفرانسل اعم از معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی با مقادیر اولیه و مرزی به کمک شبکه های عصبی مصنوعی بیان می کنیم. این روش که یک راه حل آزمایشی برای حل معادلات دیفرانسیل است به صورت جمع دو عبارت نوشته شده است. عبارت اول در برگیرنده شرایط اولیه یا مرزی است که شامل هیچ پارامتر تنظیم پذیری نیست. عبارت دوم به گونه ای نوشته شده است که شرایط اولیه یا مرزی هیچ تاثیری در آن ندارد. عبارت دوم با یک شبکه عصبی پیش سو ‎سروکار دارد که شامل پارامترهای تنظیم پذیر (وزن ها‎ و بایاس ها) است. در فصل چهارم، یک روش دیگر برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به کمک شبکه عصبی بر مبنای شمائی از الگوریتم تکاملی ارائه می کنیم. روش ارائه شده به صورت تناوبی از یک رویه محلی برای بهینه‎ سازی استفاده می کند. معادلات دیفرانسیلی که توسط این روش حل می شوند (معادلات دیفرانسل معمولی? سیستمی از معادلات دیفرانسیل معمولی? معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی) با داشتن شرایط مرزی دریکله

در این پایان نامه ابتدا بررسی روش تجزیه آدمیان در حل معادلات دیفرانسیل می پردازیم و برخی از ویژگی های سری جواب را شرح می دهیم، سپس دو روش برای به دست آوردن چند جمله ای های آدمیان را بیان می کنیم.در فصل دوم با استفاده از قضیه کوشکی- کوالوسکی همگرایی سری جواب را نشان داده و برای آن یک نرخ همگرایی ارایه می دهیم. در فصل سوم به مقایسه دو روش تجزیه آدمیان و روش تیلور با حل یک مثال خواهیم پرداخت. همچنین روش تجزیه آدمیان را با روش پیکارد مقایسه می کنیم. در انتها در فصل چهارم با استفاده از روش تجزیه به حل دستگاه معادلات دیفرانسیل حاکم بر فعل و انفعالات دو نوع مخمر کفیر و سرویزیه خواهیم پرداخت.

در این پایان نامه روش آنالیز هموتوپی و هموتوپی اختلال مورد بررسی است. همگرای هر دو روش و کاربرد آنها در مسائل سهموی معکوس از جمله در مسائل آلودگی خاک مورد بررسی قرار گرفته ا ست.

بدست اوردن جواب عددی برخی از معادلات نفوذ کسری و همچنین بررسی همگرایی و پایداری و سازگاری این روشهاست.

در این پایان نامه به بررسی و کاربرد روش مولیفیکیشن برای حل چند دسته از مسائل معکوس سهموی می پردازیم. ابتدا در فصل اول به صورت خیلی مختصر به معرفی مسائل معکوس هدایت گرمایی می پردازیم. در فصل دوم مبانی پایه ای روش مولیفیکیشن و برخی از نتایج مهم و کاربردی آن و نیز روش مارچینگ و شرایط سازگاری، پایداری و همگرایی آن را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل سوم و چهارم، بر اساس روش های ذکر شده به حل عددی دو دسته مهم از مسائل نفوذ و هدایت گرمایی می پردازیم. فصل سوم یک مسأله غیر خطی کشی و فصل چهارم یک مسأله معکوس مربوط به نفوذ سیال در مخازن نفتی مورد بررسی قرار می دهیم. نتایج عددی حاصل نشان دهنده توانایی روش ارائه شده در حل عددی مسائل معکوس می باشد.

چکیده حل مسائل استفان به روش انتگرالی تعادل گرمایی به وسیله ی: سمانه مختاری در این پایان نامه به معرفی و بحث و بررسی روش های انتگرالی تعادل گرمایی می-پردازیم. ابتدا در فصل اول به معرفی مسائل کران متحرک می پردازیم. سپس در فصل دوم چند روش برای حل این نوع مسائل که در گذشته ارائه شده اند، از جمله روش front tracking,front capturing و ناحیه ثابت را بیان می کنیم. در فصل سوم روش های انتگرالی تعادل گرمایی استاندارد و تظریف شده را بیان کرده و با مقایسه نتایج بدست آمده جواب های حاصله با جواب های تحلیلی به تحلیل خطای این روش های می پردازیم. در فصل آخر کاربرد این روش ها و همچنین تعمیمی از آنها را بیان می-کنیم. در این فصل ابتدا مسئله فرسایش را معرفی کرده و سپس روش انتگرالی تعادل گرمایی را بر روی آن اعمال می کنیم. واژگان کلیدی: معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، مسائل کران متحرک، روش انتگرالی تعادل گرمایی

یک شبکه عصبی مصنوعی، ایده ای برای پردازش اطلاعات است که از سیستم عصبی زیستی الهام گرفته و مانند مغز انسان به پردازش اطلاعات می پردازد. عنصر کلیدی این ایده، ساختار سیستم پردازش اطلاعات است. این سیستم از تعداد زیادی عناصر پردازش فوق العاده به هم پیوسته تشکیل شده است که برای حل یک مساله با هم کار می کنند. شبکه های عصبی مصنوعی مانند انسان ها با مثال یاد می گیرند‎.‎ در این پایان نامه، کاربرد شبکه ی عصبی پرسپترون، در نظریه تقریب و تخمین شرایط مرزی ناشناخته در مسائل هدایت گرمایی معکوس و ‏همچنین کاربرد شبکه ی عصبی هاپفیلد، درحل مسائل هدایت گرمایی ‏مستقیم مورد بررسی قرار می گیرد. نتایج به دست آمده نشان می دهد که شبکه های عصبی مصنوعی، عملکرد خوب و قابل قبول در زمان همگرایی و خطای تقریب دارند.

معادلات نفوذ-همرفت دسته ای از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی ‏هستند که در بسیاری از پدیده های فیزیکی که در آن ها‏، پدیده نفوذ به همراه انتقال جرم موجود است‏، ظاهر می شوند.این مسائل در حالت های مختلف خطی و غیر خطی در دهه های اخیر توسط دانشمندان زیادی مورد بررسی قرار گرفته است. همچنین روش های مبتنی بر روش المان محدود در سال های اخیر بسیار مورد توجه بوده است. در این پایان نامه قصد داریم مسائل نفوذ-همرفت خطی را‏، با استفاده از روش المان محدود در حالتی که توابع پایه ای مورد استفاده‏، توابع بی اسپلاین هستند‏، به صورت عددی مورد تجزیه و تحلیل قرار دهیم.

در این پایان نامه حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی با استفاده از روش توابع پایه شعاعی مورد بحث قرار می گیرد. ابتدا در فصل اول به معرفی کامل توابع پایه شعاعی و خواص مهم آن ها پرداخته می شود. در فصل دوم برای چند دسته از معادلات در حالت کلی روش مورد بحث قرار می گیرد و در فصل سوم روش های ترکیبی برای حل مسائل بیضوی و سهموی درجه چهارم با استفاده از روش توابع پایه شعاعی مورد مطالعه قرار می گیرد. فصل چهارم این پایان نامه نیز به جواب های موج تنها برای معادلهmrlw به کمک توابع پایه شعاعی اختصاص دارد. در این فصل با استفاده از روش بدون شبکه بر پایه هم محلی با توابع پایه شعاعی معروف، به حل عددی معادلهmrlw پرداخته می شود و نتایج عددی و تحلیلی برای چند مثال با هم مقایسه می شود.

در این پایان نامه حل عددی مسأله ی مقدار کرانه ای جهشی برای معادله ی با یهارمونیک‏‏، با استفاده از روش هم محلی تریفتز-حررا برای مسائل دوبعدی مورد بحث قرار می گیرد. در فصل اول مفاهیم مقدماتی در ارتباط با مسأله ی مورد بحث بیان می شوند. فصل دوم ‏به معرفی و مدل سازی فیزیکی معادله ی با‏یهارمونیک اختصاص دارد.‏ در فصل سوم روش های هم محل روی مسائل مقدار کرانه ای مطرح می شوند. درفصل چهارم تئوری کلی تجزیه ی دامنه (روش‎‎‏‎های تریفتز-حررا) تشریح می شود. در فصل پنجم به حل عددی معادله ی بایهارمونیک با استفاده از روش هم محلی تریفتز-حررا ‏پرداخته می شود و مطالب ارائه شده در فصل های سوم‏، چهارم و پنجم به همراه چند مثال عددی برای نشان دادن توانایی روش های ارائه شده‏، بیان شده اند.

معادلات اصلی مورد بحث در این پایان نامه مربوط به چند دسته از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرخطی است که از دیدگاه فیزیکی و کاربردی از اهمیت ویژه ای برخوردارند. در بخشی از این تحقیق به بررسی دسته خاصی از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی پرداخته ایم؛ ابتدا معادله را به حالت پایا تبدیل نموده و با استفاده از روش ‎$ ‎tanh‎ $‎ به جواب موج منفرد می رسیم. در بخش دیگری از آن جواب های معادله با روش توابع وایراشتراس بررسی گردیده که علاوه بر جواب موج منفرد، جواب های دیگری نیز خواهد داشت. با توجه به نتایج به دست آمده‏، این روش به عنوان روش ‏دقیق و قابل اطمینان‏، پیشنهاد می شود. برای چند مثال، نتایج به صورت نمودار توابع جواب ارائه شده است.

در این پایان نامه هدف ارائه مفاهیم ارزشمندی در خصوص مدل سازی ریاضی و تجزیه و تحلیل برخی از سامانه های دارو رسانی است. در فصل اول تعاریف و قضایای مقدماتی در زمینه حل معادلات غیر خطی، مسائل کران متحرک و رویکردهای عددی و تحلیلی حل این نوع مسائل، به منظور بررسی و تحلیل مدل ریاضی سامانه های دارورسانی، را مطالعه می کنیم. در فصل دوم به مطالعه ی سیستم های کنترل رهایش دارو و بررسی دو دسته خاص از این نوع سامانه ها، می پردازیم. فصل سوم مربوط به سیستم های رهایشی کنترل کننده نفوذ با کران متحرک، مدل سازی ریاضی آن و ارائه مباحثی در حل این نوع سیستم ها است. در فصل چهارم دسته دیگری از سامانه های کنترل رهایش را مورد بررسی قرار می دهیم که در آن فرآیند تورم، رخ می دهد. فرآیند تورم جزء دسته مسائل کران متحرک به شمار می آید. در این فصل، به ارائه مدل ریاضی سیستم های رهایشی کنترل کننده تورم پرداخته و راه حلی عددی برای بررسی این سیستم ها ارائه شده است. نهایت در فصل پنجم به ارائه مدلی برای یک نمونه سیستم انتقال جرم با کران متحرک، ارائه راه حل عددی برای رسیدن به جواب و نیز بررسی پایداری و همگرایی این سیستم می پردازد.

هدف اصلی این پایان نامه تجزیه و تحلیل مدل های ریاضی رشد و نفوذ سلول های سرطانی است. ابتدا توضیحاتی راجع به چگونگی پیدایش سلول های سرطانی، عوامل موثر بر رشد و نفوذ آن ها و راه های پیشگیری آن، ارائه می شود. سپس چند مدل برای حرکت وتکثیر سلول، غلظت گونه های شیمیایی داخل کره تومور معرفی شده است. سپس جواب های دقیقی از معادلات غیرخطی انتقال جرم و گرما بررسی شده است و در نهایت به حل مدل های رشد و حرکت پرداخته می شود.

بررسی روش هم محلی توابع پایه ای شعاعی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی غیر موضعی

‏هدف این پایان نامه مدل سازی بازارهای مهم مالی با استفاده از روش های پیشرفته ریاضی است. از آنجا که وابستگی ‏بسیار زیادی بین بازار سهام و بازار مشتقات وجود دارد، مدل هایی معرفی می کنیم که ضمن مدل سازی این دو بازار، رابطه ی بین محققان ریاضی، آمار، کامپیوتر و علوم مالی را مشخص کنند. سپس یک روش خطی بسیار ‏مناسب و کارآمد به نام روش مربع دیفرانسیل برای حل مسأله بهترین اختیارمندی فروش آمریکایی با دو دارایی معرفی می کنیم که این یک مسأله غیرخطی با کران آزاد در معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی محسوب می شود ‏و نتایج عددی نشان می دهد که این روش پایدار است.

مدل های ریاضی ارائه شده برای سرطان با توجه به هدف مدل سازی و سطح جزئیات در نظر گرفته شده دسته وسیعی از انواع معادلات دیفرانسیل را شامل می شوند. بدیهی است پروتکل درمانی طراحی شده زمانی قابل اعتماد خواهد بود که مدل ریاضی مورد استفاده رفتار سیستم را هر چه دقیق تر شبیه سازی کند. مدل ریاضی با قابلیت پیش بینی چگونگی رشد و گسترش یک تومور سرطانی می تواند در ایجاد شیوه های درمانی متناسب با نوع سرطان مورد استفاده قرار گیرد. در این پژوهش برای تشخیص دلایل رشد و گسترشdcis و تجزیه و تحلیل ریاضی آن از مسائل معکوس استفاده می شود. فصل اول به معرفی سرطان پرداخته و بیولوژی رشد انواع سرطان ارائه می گردد. در فصل دوم به نوع خاصی از سرطان یعنیdcis پرداخته و مدل ریاضی آن بیان می شود. در فصل سوم با توجه به مدل مطرح شده و در نظر گرفتن شرایط اضافی مدل را به یک مساله معکوس سهموی تبدیل کرده و برای بدست آوردن ضرایب مدل به معادله انتگرالی نوع اول می رسیم و در فصل آخر روش های حل این نوع معادله با کمک موجک هار بررسی می شود.

مسایل با کران متحرک به مسال وابسته به زمان مربوط می شود که مسایل استفان نامیده می شود. در این ئایان نامه به روش های حل مسایل استفان می پردازیم.در ابتدا نحوه فرمولبندی مسایل استفان را بررسی می کنیم سئس روش انتگرال تعادل گرمایی و روش انتگرال ترکیب شده در مسایل استفان را بیان می کنیم و در ادامه یک صورت گسسته سازی شده از معادلات حاصل از این روش را ارایه می نماییم و همگرایی ان را مورد بررسی قرار می دهیم.

‏معادلات‎ دیفر‎‏انسیل با مشتقات کسری‏، در بسیاری از مسائل کاربردی در علوم مختلف ظاهر می شوند‏. از طرفی با پیشرفت های سریعی که علم دارد‏، روز به روز مسائلی پیچیده تر و حساس تری مطرح می شوند که باید در یک زمان کوتاه‏، حل‏ و تجزیه و تحلیل شود‏، به همین دلیل ریاضیدانان و دانشمندان در پی پیدا کردن روش های سریع و بهینه هستند‏، مانند روش هایی چون سری های فوریه‏، موجک ها‏، هموتوپی ها‏، درونیابی ها‏، برونیابی ها و غیره‏، که هر یک از این روش ها دارای خواص و ویژگی های مخصوص به خود هستند‏، و از همه مهمتر سرعت محاسباتی آنها با یکدیگر متفاوت می باشند‏، به عنوان مثال‏، تقریب توابع با استفاده از سری فوریه سریع‏، برای ‎n‎‏ نقطه از مرتبه ‎o(nlogn)‎‎‎‎‎‏ می باشد‏، که سرعت نسبتا خوبی است ولی زمانی که مقدار ‎n‎‎‎‎‎‎‏‏، نمایی باشد‏، مثلا ‎‎n‎=2^n‎‎‏‏، مسئله به مشکل برخورد کرده و مرتبه ‎o(2^nn)‎‎‎‎‎‏ می باشد.‎ ‎با بوجود آمدن سیستم محاسباتی جدیدی به نام ‎{محاسبات کوانتومی}‎‏، بسیاری از مشکلاتی که به دلیل سرعت در پیش رو ریاضیدانان بود‏، برطرف شده است‏، چون اثبات شده است که محدودیت سرعتی که در محاسبات کلاسیک وجود دارد‏، در محاسبات کوانتومی وجود ندارد‏، به عنوان مثال‏، همان تجزیه فوریه بالا‏، با ‎‎n‎=2^n‎‎‎‎‎‏ نقطه در محاسبات کوانتومی با مرتبه ‎o(n^2)‎‏ انجام می شود.‎در این پایان نامه الگوریتمی کوانتومی با سرعتی بسیار بالا بیان می کنیم که در حل دستگاه ax=b به ما کمک می کند.‎

بسیاری از مسائل مهم ریاضی و فیزیک به معادلات انتگرالی منتهی می شوند. در عمل تعداد بسیار اندکی از این معادلات را می توان به روش تحلیلی حل نمود و جواب آنها را بدست آورد؛ بنابراین از روش های عددی برای محاسبه ی جواب تقریبی آنها استفاده می گردد. یکی از این روش های عددی، روش ضربی روی سطوح است. در این پایان نامه پس از بیان تاریخچه و مقدمه ای بر معادلات انتگرالی، به معرفی انواع این معادلات می پردازیم؛ سپس، به اختصار برخی از روش های عددی حل معادلات انتگرالی را شرح می دهیم؛ در ادامه، حل عددی معادلات انتگرالی فردهلم نوع اول را با استفاده از روش های ضربی با کمک کوادراتورهایی از قبیل روش مستطیلی، روش نقطه میانی، و روش ذوزنقه ای، ارائه می دهیم. برای حل این معادلات روی سطوح، سطح مورد نظر را تقریب زده و سپس با استفاده از گسسته سازی معادلات انتگرالی به حل این معادلات روی سطوح مزبور می پردازیم. در نهایت، با ارائه ی نتایج عددی برای چند نمونه از معادلات انتگرالی فردهلم نوع اول روی سطوح مختلف، و با رسم نمودارهای مربوطه، خطای روش را تخمین می زنیم.

در این پایان نامه برخی روش های عددی برای حل مسائل هدایت گرمایی معکوس مورد بررسی قرار می گیرد. در قسمت اول پایان نامه ، مفاهیم اساسی مسائل هدایت گرمایی معکوس را بیان می کنیم که شامل تعاریف ، قضایا و برخی روش های حل تحلیلی و عددی اینگونه مسائل می باشد. همچنین برخی از کاربردهای صنعتی مسائل هدایت گرمایی معکوس را ذکر می کنیم. از طرفی چون حل مسائل هدایت گرمایی مستقیم، اولین گام حل مسائل هدایت گرمایی معکوس می باشد، چند مورد از روش های حل تحلیلی و عددی مسائل هدایت گرمایی مستقیم را بیان می کنیم. از آنجا که مسائل هدایت گرمایی معکوس، مسائلی بد- وضع می باشند، به بررسی برخی روش های منظم سازی عددی برای حل مسائل بد- وضع گسسته می پردازیم. در قسمت دوم پایان نامه ، یک مسأله هدایت گرمایی معکوس از نوع خطی مورد بررسی قرار می گیرد، و یک روش عددی برای حل این مسأله تعمیم داده می شود. در روش حل، ابتدا با توجه به ناحیه جواب، این مسأله به دو مسأله، مستقیم و معکوس، به روی دو زیر ناحیه تبدیل می شود. سپس با اضافه کردن شرطی که از حل مسأله مستقیم به دست می آید، مسأله معکوس مورد نظر را به یک مسأله کوشی تبدیل کرده و با استفاده از جواب تحلیلی مسأله، روش حل مسأله ارائه می شود. در ادامه، یک مسأله هدایت گرمایی معکوس با ضریب هدایت گرمایی مجهول مورد بررسی قرار می گیرد. برای حل عددی این مسأله، ابتدا توزیع گرمایی را تقریب زده، و سپس با استفاده از تقریب تفاضلات متناهی، مسأله را گسسته سازی می کنیم و ضریب هدایت گرمایی مجهول را به دست می آوریم. در نهایت یک مسأله هدایت گرمایی معکوس با ضریب مجهول مورد بررسی قرار می گیرد و یک روش عددی برای حل این مسأله ارائه می گردد.