در این پایان نامه، سیستم معادلات یک لیزررا در نظر می گیریم، که تحت اثر یک سیگنال نوری خارجی قرار دارد. با استفاده از روش های نظریه ی اختلال، رفتار سراسری مسیرهای روی چنبره ی جاذب و مسیرهایی که در همسایگی آن قرار دارند را برای این سیستم معادلات، مورد بررسی قرار می دهیم. برای این منظور نظریه ی اختلال برای منیفلدهای پایا را مورد مطالعه قرار می دهیم و نشان می دهیم یک منیفلد انتگرالی برای این سیستم وجود دارد. سپس به بررسی رفتار جواب های سیستم لیزر بر روی این منیفلد انتگرالی و در همسایگی آن می پردازیم.

یک روش عددی برای حل مسأله اختلال تکین انتشار-هم بردار و خود الحاق را در این پایان نامه مورد بررسی قرار داده ایم. جواب بدست آمده برای مسأله انتشار- هم بردار نشان می دهد که لایه مرزی در سمت راست دامنه وجود دارد و جواب مسأله خود الحاق نشان می دهد دو لایه مرزی در نقاط انتهایی دامنه موجود است. این الگوریتم با استفاده از روش b-اسپلاین هم محلی و شبکه بندی قطعه به قطعه یکنواخت شیشکین مسأله انتشار-هم بردار را حل می کند و ما شبکه بندی مناسبی را برای حل مسأله خود الحاق بکار برده ایم. تحلیل همگرایی داده شده است و روش ارائه شده یک همگرایی یکنواخت از مرتبه دوم دارد. چندین مثال عددی به منظور نشان دادن تأثیر روش b-اسپلاین هم محلی و تأیید نظریه روش، آورده شده است.

مساله سه جسمی یکی از قدیمی ترین مسایل در مکانیک سماوی است که به طور گسترده ای در طراحی ماموریت های فضا یی مطالعه شده است. منشا مساله به تلاش های نیوتن برای توضیح حرکت ماه توسط جاذبه گرانشی زمین و خورشید باز می گردد. پس از آن بود که مساله شهرت خاصی با نام مساله سه جسمی به دست آورد. اولین دلیل برای این شهرت، انگیزه همیشگی برای ارضای حس کنجکاوی و رقابت در میان جامعه ریاضیدانان - فیزیکدا‎‎نان بوده است. با این حال، دلایل عملی مانند تقاضای روز افزون برای محاسبه دقیق جدول های قمری برای کمک به تعیین طول جغرافیایی کشتی در اقیانوس ها نیز نقش به سزایی داشته اند. پیشرفت های بیشتر در اواسط قرن هجدهم، عمدتا در آثار دانشمندان برجسته اویلر، لاگرانژ، و لاپلاس ادامه یافت و به پیش بینی های دقیق تری در مورد حرکت ماه و سیارات منجر شد. این مساله به صورت یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی مدل بندی شده است و کاربردهای بسیار زیادی در هوافضا دارد. در واقع، این سناریو به طور گسترده ای در ماموریت های فضایی برای مدل سازی حرکت فضاپیماها (که جرمی قابل چشم پوشی دارند) در ظرفیت گرانشی تحت گرانش زمین و ماه استفاده شده است . تلاش فراوانی برای به دست آوردن جواب های دوره ای، و بررسی رفتار کیفی مساله سه جسمی انجام شده است. در این رساله، مساله سه جسمی تحدید شده دایره ای در دو حالت فضایی و صفحه ای بررسی می شود. در حالت فضایی، ما با استفاده از تکنیک بهینه سازی دسته ذرات روشی را برای یافتن جواب های دوره ای با پیچیدگی های نسبتا زیاد ارایه می کنیم که البته این روش برای دیگر دستگاه های معادلات نیز کاربرد دارد. سپس، حالت صفحه ای را بررسی می کنیم. در این حالت، به خاطر وجود انتگرال ژاکوبی و قابل تعریف بودن ناحیه هیل، به ازای ثابت ژاکوبی های از حدی بالاتر به معرفی منحنی بسته همواری می پردازیم که مولفه همبند ناحیه هیل حول خورشید در سیستم سه جسمی خورشید-مشتری-سیارک را به دو قسمت می کند. نشان خواهیم داد که هر سیارک با این مقدار ثابت ژاکوبی بی نهایت بار منحنی بسته یاد شده را قطع می کند. سرانجام، به مساله تجزیه مجموعه پایا به زیر مجموعه های تقریبا پایا که به تازگی در تحلیل سیستم های دینامیکی آشوبناک از جمله مساله سه جسمی به کار گرفته شده است، می پردازیم و کران بالاهای خوبی برای مساله بهینه سازی معادل آن معرفی می کنیم. در مجموع، یافتن جواب های دوره ای و بررسی رفتارهای احتمالی جسم بی نهایت کوچک با استفاده از تکنیک های بهینه سازی نقش مهم رویکرد بهینه سازی ترکیبیاتی و الگوریتمهای شهودی را در این مساله کلاسیک آشکار می سازد.

دستگاه معادلات دیفرانسیل تأخیری در زمینه های مهندسی و علوم از اهمیت برخوردار است. زیرا معادلات دیفرانسیل در مدل سازی پدیده ها و بررسی رفتار آن ها همواره مورد استفاده است و رفتار دستگاه تحت تأثیر رفتار گذشته و حال آن می باشد. ‎‎ هدف این رساله بررسی اثر پارامتر تأخیر بر رفتار برخی از معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و دستگاه معادلات دیفرانسیل درگیر می باشد. بنابراین به ذکر مفاهیم مورد نیاز در دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی وتأخیری و همچنین کنترل فیدبک تأخیری در فصل اول و دوم خواهیم پرداخت. در فصل سوم به پایدارسازی برخی از جواب های دوره ای در یک دستگاه دوبعدی از معادلات دیفرانسیل معمولی می پردازیم که این هدف با به کاربردن کنترل فیدبک تأخیری و نظریه معادلات دیفرانسیل تأخیری تأمین می شود. بالاخره در فصل چهارم برخی از نوسانگرهای غیرخطی درگیر تأخیری را از نقطه نظر پایداری، انشعاب و وجود جواب های دوره ای مورد بررسی قرار خواهیم داد. نوسانگرهای مورد بررسی در ‏این فصل تعمیم مدل مایکروویو و مدل پیس میکرهای قلب می باشد. این فصل را با ارائه مثال هایی خاتمه خواهیم داد.

بیماری های عفونی همواره از مسائل مهم پزشکی می باشند. این نوع بیماری ها مانند ایدز، هپاتیت، سرطان خون و فلج اسپاستیگ، باعث مرگ ومیر انسان های زیادی می شوند، بنابراین بررسی دستگاه های پارامتری عفونی مورد توجه قرار می گیرد. در این پایان نامه دستگاه معادلات دیفرانسیل تاخیری بیماری های ایدز، هپاتیت، سرطان خون و فلج اسپاستیگ را ‏توسط نظریه انشعاب از نقطه نظر رفتار دینامیکی آن ها با تغییر پارامتر مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم. از آن جا که مدل های عفونی، پارامتری می باشند، پایداری نقاط مشکل ساز (نقاط تعادل) را به ازای افزایش و کاهش تاخیر های زمانی مورد بررسی قرار می دهیم، و به کمک تئوری انشعاب هاف نشان می دهیم که این مدل ها برای برخی از مقادیر تاخیر دارای انشعاب هاف و در نتیجه جواب دوره ای می باشد.

در این پایان نامه سیستم حاصل از شبکه عصبی bam و حلقه ای با تاخیر زمانی را معرفی کردیم و به بررسی منحنی جواب های این سیستم ها پرداختیم. پارامتر تاخیر زمانی را به عنوان پارامتر سیستم در نظر گرفتیم و منحنی جواب های سیستم را وقتی پارامتر سیستم تغییر می کرد بررسی کردیم. در آخر در تایید نتایج تئوریمان مثالی آوردیم.