چکیده ندارد.

تا کنون الگوریتم های عددی بسیاری برای سیستم های الکترونی همبسته ی قوی ارائه شده و روی سیستم های متعددی نیز به کار گرفته شده اند، همچون روش های مونت کارلو و گروه بازبهنجارش ماتریس چگالی. اما باز هم خاصیت حالت پایه بدلیل نارسایی ابزارهای عددی، یک مسئله ی چالش برانگیز است. در این پایان نامه، روش گروه بازبهنجارش انتگرال مسیر را معرفی می کنیم. این روش می تواند روی هر ساختار شبکه عمل کند و امکان شبیه سازی های موثری را ارائه دهد که بوسیله ی الگوریتم های موجود دیگر نمی تواند انجام شود. بنابراین ما روش گروه بازبهنجارش انتگرال مسیر را برای مدل هابارد بر روی شبکه ی مربعی به کار می گیریم. لغات کلیدی: گروه بازبهنجارش انتگرال مسیر، مدل هابارد، دترمینان اسلیتر، سیستم های الکترونی همبسته ی قوی.

در این پایان نامه می خواهیم رفتار جایگزیدگی حالت های الکترونی در گرافین دو لا یه ی و نوار های نانومتری با آرایش a-b در حضور بی نظمی قطری با مدل تنگابست را بررسی کنیم. گرافین دو لایه ی یک نیمه رسانای بدون گاف می باشد که از دو زیر شبکه a و b تشکیل شده است. اگر لایه های آن را در میدان های الکتروستاتیکی مختلفی قرار دهیم گاف انرژی محدودی باز می شود که این یکی از مزیت های گرافین دو لایه ی بر گرافین تک لایه-ی می باشد چون اگر خواسته باشیم گرافین تک لایه ی را گاف دار کنیم باید گرافین را در قطعات نانومتری بسازیم که قطعات نانومتری مرزهای ناصافی دارند که اثرات قابل توجهی روی ویژگی های ترابرد در گرافین می گذارد. علت باز شدن گاف در طیف انرژی به این بر می گردد که ما با اعمال میدان تقارن بین اتم های a و b را می-شکنیم و جایگزیدگی در گرافین دو لایه ی اتفاق می افتد. اثر بی نظمی هم مانند اثر اعمال میدان می باشد که تقارن بین اتمها را می شکند. ما برای مطالعه اثر بی نظمی از روش عددی چند جمله ای های چبیشف kpm که مبتنی بر بسط بر حسب مجموعه ی کاملی از چند جمله ای های کامل می باشد استفاده می کنیم. با این روش عددی دقیق می-توانیم شبکه های بزرگ را نیز مورد مطالعه قرار دهیم. این روش عددی یک سری نوسانات ذاتی موسوم به نوسانات گیبس دارد که برای رفع آنها از فاکتور های گیبس استفاده می کنیم. از این روش عددی چگالی حالت های موضعی را بدست می آوریم که با آن کمیتی معروف به نام پارامتر تشخیص را می سازیم که با آن بتوانیم حالت های جایگزیده را از حالت های گسترده تمییز دهیم و ببینیم که به ازای چه شدت بی نظمی گذار فلز به عایق در گرافین دو لایه ی را خواهیم داشت. نتایج محاسبات را در دو رژیم جایگزیدگی ضعیف و قوی آورده ایم. در رژیم جایگزیدگی ضعیف حالت ها در ترابرد شرکت می کنند و جایگزیده نمی شوند ولی در رژیم جایگزیدگی قوی حالت-ها در لبه های نوار شروع به جایگزیده شدن می کنند که این حالت ها در ترابرد شرکت نمی کنند. با افزایش شدت بی-نظمی، شدت بی نظمی بحرانی داریم که تمام حالت ها وجود دارند ولی در رسانش شرکت نمی کنند که می گوییم گذار فلز به عایق رخ می دهد. برای تجزیه و تحلیل دقیق نتایج بدست آمده ما پارامتر نظم تعریف می کنیم. پارامتر نظم را برای مرتبه های بسط مختلف بدست آورده ایم می بینیم که با افزایش مرتبه های بسط شدت بی نظمی بحرانی که گذار فلز به عایق رخ می دهد تغییر ی نمی کند. همچنین از این پارامتر برای مشاهده ی رفتار مقیاس بندی استفاده کرده ایم که با دیدگاه های رایج در مقیاس بندی که با افزایش اندازه ی سیستم حالت ها شروع به جایگزیده شدن می-کنند سازگار می باشد.

محاسبه ساختار الکترونیکی مواد مختلف و توابع طیفی مختلف این مواد برای اندازه های بزرگتر موضوع مطالعات گسترده بوده است. در این پژوهش روش چند جمله ای مغزی (kernel polynomial method) که به اختصار kpm می نامیم را برای بررسی حالت های الکترونی تهی جاهای با ابعاد مختلف در شبکه ی سیلیکان به کار می بریم. مزیت این روش در آن است که بدون آنکه نیاز به قطری کردن ماتریسی باشد، با روش های کاتوره ای چگالی حالات به دست می آید. معمولا این روش برای مدل های تنگ بست تک الکترونی به کار رفته است. در این پژوهش ما این روش را برای سیلیکان که در آن حداقل چهار اربیتال به ازای هر سایت شبکه دخیل هستند تعمیم می دهیم. پارامترهای تنگ بست مورد استفاده در این پژوهش چنان انتخاب شده اند که ساختار نواری حاصل از روش kpm با محاسبات اصل اولیه منطبق باشد. این تعمیم می تواند به عنوان بستری برای بررسی اثرات بی نظمی و تخلخل برای هر ماده ی معین در نظر گرفته شود. ایده ی وارد کردن تهی جاها می تواند برای تشریح نانو ساختارها مورد توجه قرار گیرد. چنانچه در این پایان نامه سعی شده با افزودن تعداد تهی جاها یک شبکه ی بلوری را به یک ساختار متخلخل به ابعاد نانو تبدیل کرد. اندازه گیری چگالی حالت ساختارهای به دست آمده تاییدی بر عملیات انجام شده می باشد.

چکیده هیدرات های گازی دسته ای از ترکیبات میزبان جامد هستند که نقش مهمی در فرآیندهای متعددی همچون ذخیره، انتقال و جداسازی گاز، کاتالیزهای ناهمگن و تصفیه ی آب دارند. درک طبیعت بر هم کنش های مهمان - میزبان و دینامیک مهمان برای بهینه کردن فرآیندهای درگیر با این مواد و تهیه ی ترکیبات میزبان جدید با کاربردهای مختلف، مهم است. در بخش اول این رساله، با استفاده از شبیه سازی های دینامیک مولکولی npt، پارامترهای شبکه ی 4 سامانه ی هیدرات گازیsi خالص شامل هیدرات متان، هیدرات اتان، هیدرات کربن مونواکسید و هیدرات کربن مونوسولفید و 4 سامانه ی هیدرات گازیsi دوتایی شامل (متان + اتیلن)، (متان + کربونیل سولفید)، (متان + استیلن) و (متان + کربن دی سولفید) به دست آمدند و ضرایب انبساط پذیری گرمایی آنها محاسبه شدند. برای مطالعه ی اثر میدان های نیروی مختلف روی پارامتر شبکه، برای آب دو مدل متداول spc/e وtip4p ، برای متان پتانسیل های tkm، mg، opls، opls-site وmexp6 و برای اتان پتانسیل های gk، unicepp و optimized در شبیه سازی ها بررسی شده اند. در همه ی هیدرات های دوتایی، برای مهمان متان میدان نیروی mg در نظر گرفته شده است. مدل های پتانسیل مختلف برای متان و اتان مقادیر تقریباً یکسان و کوچکتر از مقادیر تجربی را برای پارامتر شبکه در دماهای مختلف پیش بینی می کنند. مقادیر پارامتر شبکه ی شبیه سازی شده در دماهای مختلف نشان می دهند که با افزایش جرم و حجم مولکول مهمان پارامترهای شبکه نیز افزایش می یابند که در تطابق با نتایج تجربی است. هیدرات کربن مونو اکسید که کوچکترین مهمان را دارد کمترین پارامترهای شبکه را در دماهای مختلف نشان می دهد در حالی که هیدرات دوتایی (متان + کربن دی سولفید) که حاوی بزرگترین مهمان مورد بررسی در این مطالعه است بزرگ ترین پارامترهای شبکه را دارد. با استفاده از پارامترهای شبکه و با این فرض که ضریب انبساط گرمایی خطی با یک معادله ی درجه دو تطابق دارد، ضریب انبساط گرمایی خطی محاسبه می شود. مقایسه ی نتایج این کار با نتایج تجربی ضریب انبساط پذیری گرمایی نشان می دهد که توافق خوبی بین نتایج شبیه سازی و تجربی وجود دارد. در بخش دوم، شبیه سازی های دینامیک مولکولی nve برای بررسی توزیع زاویه ای، دینامیک و ناهمسانگردی طیف های 13c nmr مولکول های مهمان خطی co، cs، co2، ocs، cs2، c2h2 و مولکول مهمان غیرخطی c2h4 در قفس های بزرگ هیدرات گازی si و مولکول های مهمان co و cs در قفس های کوچک هیدرات گازی si در دماهای مختلف، در گستره ی ناحیه ی پایداری هیدرات انجام شده است. این مهمان ها گستره ی بزرگی از طول، جرم نسبی مرکزی و گروه های پایانی را شامل می شوند. وقتی یک مولکول در قفس های بزرگ پهن شده در دو قطب هیدرات گازی si قرار می گیرد، طوری می چرخد که محور بزرگ مولکول بیشتر در صفحه ی استوایی قرار دارد. این توزیع ناهمگن منجر به ناهمسانگردی طیف های پودری nmrحالت هیدرات این مهمان ها می شود. پهنای طیف های پودری nmr شبیه سازی شده ی مولکول های مهمان در قفس های بزرگ si در توافق با نتایج تجربی، با افزایش دما کاهش می یابد. همچنین به جز برای مهمان co که در دماهای پایین نیز در صفحه ی استوایی آزادی چرخشی دارد، تمایل طیف همه ی مولکول های خطی در دماهای پایین مشابه فاز خالص جامد مهمان است و در دماهای بالا تمایل طیف نسبت به دمای پایین معکوس می شود اما تمایل طیف های مهمان های cs2 که حتی در دماهای بالا آزادی چرخش ندارند نسبت به حالت جامد آن تغییر نمی کند. توابع توزیع زاویه قطبی شبیه سازی شده وابسته به دما p(?; t)، که برای همه ی مهمان ها حول زاویه قطبی ? = 90o در هر قفس متمرکز شده اند، با افزایش دما پهن تر و در یک دمای خاص با افزایش اندازه ی مولکول باریک تر می شوند و برای استیلن توزیع پهن تری نسبت به آنچه براساس طول آن انتظار می رود، دارند. طیف های nmr شبیه سازی شده برای مولکول مهمان cs و coدر قفس های کوچک در توافق با نتایج تجربی، نشان می دهند که جابجایی شیمیایی به صورت پیک باریکی متناظر با جابجایی شیمیایی همسانگرد مهمان خارج از قفس ظاهر می شود که بیانگر توزیع همسانگرد مولکول های مهمان در قفس های کوچک تقریباً کروی است. برای بررسی بیشتر دینامیک مهمان ها در قفس های بزرگ و کوچک تابع توزیع شعاعی (rdf)، میانگین مربع جابجایی (msd)، تابع خود همبستگی سرعتی (vacf)، و تابع خود همبستگی جهت گیری (oacf) مهمان ها نیز مطالعه شده اند. لغات کلیدی: هیدرات های گازی، دینامیک مولکولی، پارامترهای شبکه ، ضریب انبساط پذیری گرمایی و ناهمسانگردی طیف 13c nmr.

محوریت اصلی این پایان نامه بررسی نظریه ی پیوندهای ظرفیت تشدیدی بر روی شبکه های دو بخشی می باشد. از پایه ترین قسمت ها در این زمینه که مربوط به آشنایی با مدل هایزنبرگ به عنوان ریزساخت این نظریه و حسابان پیوند ظرفیت تشدیدی که لازمه ی محاسبات در این زمینه می باشد، شروع می کنیم.این حسابان شامل روابط هم پوشانی بین این پیوندها و تاثیر لین پیوندها بر انرژی سیستمی که با مدل هایزنبرگ توصیف می شود، می باشد. سعی بر این است که این حسابان ها کلی باشند و محدودیت در نوع شبکه و تعداد triplon نداشته باشند.سپس تابع موج حالت پایه و اولین حالت برانگیخته یک مولکول بنزن گونه را محاسبه می کنیم. حالت پایه ای که ککوله برای این مولکول پیشنهاد داد شامل پیوندهایی با طول پیوندهای کوتاه تر بود. در این پایان نامه یک گام جلوتر می رویم و با حل تحلیلی و به صورت دقیق در می یابیم که پیوندهایی با طول پیوندهای بلندتر نیز در دو حالت پایه و حالت برانگیخته سهیم می باشند ولی سهم آن ها نسبت به پیوندهایی که ککوله در نظر گرفت کم تر است. به طوری که در حالت پایه (اولین حالت برانگیخته) نسبت ظرایب پیوندهای کوتاه تر به بلندتر بزرگ تر از یک می باشد. اگر یکی از این پیوندهای ظرفیتی که در حالت یگانه قرار دارد را بشکنیم، حالت اسپینی سه گانه تشکیل می شود و یک حالت برانگیخته موسوم به triplon به وجود می اید. در ادامه به بررسی تحول زمانی triplon در یک مولکول بنزن می پردازیم و تابع گرین جهت گذار بین حالت-هایی با طول پیوند مختلف را بررسی می کنیم و همان طور که انتظار داریم (با توجه به ضرایب بسط حالت پایه و اولین حالت برانگیخته) گذار از حالت هایی با طول پیوندهای کوتاه تر به حالت هایی با طول پیوندهای بلندتر دشوارتر می باشد. چرا که سیستم در حالت هایی با طول پیوندهای کوتاه تر پایدارتر می باشد. در نهایت سیستم هایی بزرگ تر از یک مولکول بنزن را در نظر می-گیریم و با روش شبیه سازی مونت کارلوی کوانتومی انرژی و تابع موج وردشی حالت پایه برای شبکه ی مربعی و گرافینی و پلی اسین ها را که از خانواده ی پلیمرها می باشند محاسبه می کنیم. از این محاسبات در می یابیم که در شبکه ی گرافینی و مربعی نظم نیل بر قرار می باشد. برای پلی اسین ها همبستگی را نیز محاسبه می کنیم و دیگر شاهد نظم نیل در سیستم نمی باشیم و تابع موج توصیف کننده ی سیستم کوتاه برد است

در این پژوهش ابتدا به بررسی مدل آیزینگ بر روی شبکه ی دو بعدی مربعی و کاگومه به روش بسط سری دمای بالا پرداخته شد. با استفاده از روش بسط سری دمای بالا، بسط دمای بالای پذیرفتاری مغناطیسی میدان صفر مدل آیزینگ فرومغناطیس بر روی شبکه مربعی تا مرتبه ی 12 محاسبه شد. سپس به کمک تقریب پد به آنالیز بسط سری پذیرفتاری مغناطیسی میدان صفر پرداخته و دمای بحرانی و نمای بحرانی محاسبه شد. با بالا رفتن تعداد جملات بسط نتایج نشان دادند که دمای بحرانی به یک مقدار عددی مشخص میل می کند. نتیجه ای که به کمک تقریب پد برای نمای بحرانی حاصل شد با بالا رفتن مرتبه ی بسط مطابق فرضیه جهان شمولی در تطبیق خوبی با نمای بحرانی آیزینگ مربعی با حل دقیق بود. به طوری که می توان نتیجه گرفت که با بالا بردن تعداد جملات بسط سری می توان به نمای به دست آمده از حل دقیق مدل آیزینگ مربعی رسید. در ادامه بسط دمای بالای پذیرفتاری مغناطیسی میدان صفر مدل آیزینگ فرومغناطیس و مدل آیزینگ ترکیبی با دو برهمکنش فرومغناطیس و یک برهمکنش پادفرومغناطیس و مدل آیزینگ ترکیبی با دو برهمکنش پادفرومغناطیس و یک برهمکنش فرومغناطیس و مدل آیزینگ پادفرومغناطیس بر روی شبکه دو بعدی کاگومه تا مرتبه ی 12محاسبه و به کمک تقریب پد تحلیل شد. شبکه کاگومه شبکه ای غیر براوه متشکل از مثلث های پایه است. نتایج حاصل از این بررسی به این صورت بود که دو مدل آیزینگ فرومغناطیس و مدل آیزینگ ترکیبی با دو برهمکنش پادفرومغناطیس و یک برهمکنش فرومغناطیس به طور کاملا مشابه رفتار می کنند به نحوی که دمای بحرانی برای هر دو مدل تقریبا در یک دمای بحرانی رخ می دهند. نمای بحرانی پذیرفتاری مغناطیسی میدان صفر این دو مدل مطابق با فرضیه جهان شمولی در تطابق بسیار خوبی با نمای بحرانی به دست آمده برای پذیرفتاری مغناطیسی میدان صفر مدل آیزینگ مربعی با حل دقیق بود. اما در مورد دو مدل آیزینگ ترکیبی با دو برهمکنش فرومغناطیس و یک برهمکنش پادفرومغناطیس و مدل آیزینگ پادفرومغناطیس به علت اثر ناکامی مغناطیسی هیچ گونه گذار فازی مشاهده نشد. در آخر بسط گراف آزاد پذیرفتاری مغناطیسی میدان صفر مدل xy بر روی شبکه مربعی تا مرتبه 8 محاسبه شد. نتایج حاصل از این بررسی گذار فازی را برای این سیستم نشان نداد.

در این پایان نامه، بنا داریم که به دو بحث در رابطه با ناهمگنی ها در سیستم های ابررسانا بپردازیم. یکی از این مباحث عبارت است از محاسبه ی حالت های مقید اندریف در پیوندهای ابررسانا و فلزنرمال. حل معادله ی میدان میانگین بوگولیوبوف–دوژن برای سیستم های ناهمگن ابررسانا، وجود حالت هایی مقید و کوانتیزه ‎–‎حالت های مقید اندریف- با انرژی های کمتر از انرژی گاف ابررسانایی، را به دست می دهد. حل تحلیلی این معادله برای یک بعد و همچنین برای هندسه های ساده در دو و سه بعد، امکان پذیر است، اما برای هندسه های پیچیده روش های عددی مورد نیاز است. در این پایان نامه روش عددی جدیدی، ‎ kpm، برای حل این معادله ارائه شده است. این روش مبتنی بر بسط کمیت های فیزیکی، از جمله چگالی حالات الکترونی، بر حسب مجموعه ی چندجمله ای های کامل چبیشف است. در فصل ‎2‎ معادله ی بوگولیوبوف–دوژن را، برای چند پیوند ابررسانا-فلزنرمال، با استفاده از این روش عددی، حل کرده ایم. در این جا، برای جدا کردن حالت های مقید به دست آمده از حالت های غیرمقید، از معیار چگالی حالات الکترونی موضعی استفاده شده است؛ بدین معنی که چگالی حالات موضعی، برای حالات مقید، در ناحیه ی فلزنرمال مقادیر غیرصفر دارد و برای نواحی ابررسانا به سرعت به صفر میل می کند‎. ‎‎ مبحث دیگر ارائه شده در این پایان نامه، محاسبه ی ابرجریان در پیوندهای جوزفسون بر پایه ی گرافین، است. اخیراً، این کمیت با استفاده از روش های مختلفی از جمله ماتریس پراکندگی، روش خودسازگار و انتشارگر زوج کوپر، محاسبه شده است، اما در این جا قصد داریم که آن را با استفاده از روش اختلالی تابع گرین در چارچوب انتگرال مسیر و با استفاده از هامیلتونی تونل زنی بین ناحیه ی ابرسانا و ناحیه ی نرمال گرافین، محاسبه کنیم. ویژگی اصلی کار ما در این جا در این است که ما در ناحیه ی ابررسانا هم، سیستم را گرافین در نظر گرفته ایم. یعنی فرض کرده ایم که ابررسانایی بر روی شبکه ی لانه زنبوری گرافین، به صورت جفت شدگی الکترون های موجود در دره های مقابل، القا می شود. نشان داده می شود که پایین ترین مرتبه ی اختلال ، بر حسب دامنه ی تونل زنی، که در جریان جوزفسون شرکت می کند، مرتبه ی چهارم اختلال است. هامیلتونی تونل زنی را، شامل تونل زنی الکترون های درون یک دره و تونل زنی بین دره های مقابل، فرض کرده ایم. محاسبات ابرجریان جوزفسون، در دو حالت با تونل زنی بین دره ها و بدون تونل زنی بین درها، انجام شده و نتایج آن نشان داده شده است. درنتایج ابرجریانی که درمحاسبه ی آن تونل زنی الکترون ها بین دره های مقابل لحاظ شده است، بر حسب پهنای پیوند جوزفسون که در واقع همان فاصله ی ابرساناها از هم می باشد، نوسانات تیزی دیده می شود که طول موج این نوسانات متناسب با عکس بردار موجی است که دو دره را در ناحیه ی اول بریلوئنِ گرافین به هم متصل می کند. این نوسانات در نتایج محاسبات با روش های دیگر، مشاهده نشده است. اما خواهیم دید که نتایج محاسباتی که در آن تونل زنی بین دره ها وجود ندارد، با نتایج محاسبات دیگران تطابق خوبی دارد. ‎

چکیده در این پایان نامه، حل معادله شرودینگر در چندضلعی های منتظم را بررسی می کنیم. می دانیم که پاسخ معادله شرودینگر در تعداد کمی از چندضلعی های منتظم ، جداپذیر است و ویژه توابع در این چاه های پتانسیل یک مجموعه ی کامل تشکیل می دهند. حال می خواهیم این مسئله را بررسی کنیم که آیا در دیگر چاه های پتانسیل چندضلعی منتظم نیز می توان پاسخ های دقیق معادله شرودینگر با شرط مرزی دیریشله را به دست آورد و آیا این پاسخ ها لزوما مجموعه ی کاملی را تشکیل می دهند؟ رهیافتی را که در پیش خواهیم گرفت، استفاده از گروه تقارنی این ساختارهای هندسی و ایجاد تابع موج در نمایش های کاهش ناپذیر مربوطه است. با استفاده از این روش، مجموعه ی کامل ویژه توابع در چاه مثلث منتظم به دست می آید. اما با اعمال آن روی چاه پتانسیل شش ضلعی منتظم می بینیم که توابع موجی که در نمایش های کاهش ناپذیر گروه تقارنی قرار می گیرند در صورتی که شرط مرزی دیریشله را ارضا کنند، در دیگر نواحی چاه نیز صفر خواهند بود. با دنبال کردن قضیه ای ریاضی نشان داده می شود که پاسخ معادله شرودینگر به صورت برهم نهی از امواج تخت تنها در چاه های پتانسیل مستطیل، مربع، مثلث های منتظم، قائم الزاویه 45 درجه و قائم الزاویه 60 درجه امکان پذیر است. مجموعه ی پاسخ ها را در دو دسته ی حل-های اولیه و برآمده نام گذاری می کنیم بر این مبنا که آیا حل های یک چندضلعی از حل های چندضلعی دیگری که آن را فرش می کند به-دست می آید یا خیر. این قضیه را به این صورت تعبیر می کنیم که تنها این دسته از چندضلعی ها هستند که حل اولیه دارند و پاسخ های آن ها مجموعه ی کامل می سازند. اما به کمک چند قضیه نشان خواهیم داد که چاه شش ضلعی منتظم پاسخ مستقلی از خود با شرط مرزی دیریشله ندارد و تنها پاسخ های آن پاسخ های چاه پتانسیل مثلث منتظم با سه شرط مرزی دیریشله است که این ها مجموعه ی کاملی نمی سازند. همچنین روش های تقریبی که برای حل چاه پتانسیل شش ضلعی منتظم به کار رفته است را مورد نقد و یررسی قرار می دهیم. ابتدا روش-های عددی را بحث میکنیم و این مسئله را بررسی می کنیم که آیا در این روش هر دو شرط پاسخ معادله هلمهولتز بودن و ارضای شرط مرزی دیریشله رعایت شده است یا خیر. در ادامه روش دیگری که سعی در به دست آوردن ویژه توابع به روش تحلیلی دارد را نیز نقد می کنیم. در این روش با استفاده از بازمقیاس شعاعی پاسخ های ذره ی محصور در دیسک دایروی، معادله شرودینگر برای ذره ی محصور در بیلیارد به شکل دلخواه حل شده است. نشان خواهیم داد که پاسخ هایی به دست آمده به این روش با اینکه شرط مرزی را ارضا میکنند اما پاسخ معادله ی هلمهولتز نیستند. مسئله ی دیگری که در نظر خواهیم گرفت آرایه ای از شش ضلعی های منتظم است که معادله شرودینگر با شرط مرزی دوره ای را در آن حل خواهیم کرد. در حالت خاص این شرط مرزی می تواند شرط مرزی دیریشله یا نویمن باشد. ویژه توابع در 4 نمایش کاهش ناپذیر یک بعدی و 2 نمایش کاهش ناپذیر دو بعدی گروه تقارنی را می یابیم و نشان می دهیم که پاسخ های با شرط مرزی دیریشله، همان پاسخ های بر آمده ی مربوط به مثلث منتظم هستند. کلمات کلیدی: معادله شرودینگر، چند ضلعی منتظم، چاه پتانسیل، گروه تقارنی، نمایش کاهش ناپذیر، شش ضلعی منتظم، شرط مرزی دیریشله، حل اولیه، حل برآمده

در این تحقیق تاثیر مد جمعی اسپین یک بر روی خواص شبه ذرات گرافین مورد بررسی قرار می گیرد. با توجه به بررسی و پیش بینی مد جمعی با اسپین یک در گرافین غیر آلایشی، برهمکنش شبه ذرات گرافین با مد اسپینی در نظر گرفته شده است. با ملاحظه این برهمکنش نتایج آزمایشگاهی حاصل از اندازه گیری آهنگ واپاشی شبه ذرات گرافیت که تفاوت قابل ملاحظه ای با نتایج تئوری با روش gw داشت مطابقت خوبی با هم پیدا می کنند. در ادامه به بررسی و محاسبه مد جمعی با تقریب فاز تصادفی در گرافین آلایش شده می پردازیم و تئوری های مختلف که در این زمینه مطرح می باشند را به بحث می گذاریم. از آنجا که پیش بینی مد جمعی اسپینی در گرافین غیر آلایشی از برهمکنش کوتاه برد هابارد سرچشمه می گیرد، اثرات جمله پتانسیل کوتاه برد هابارد را به کمک تقریب میدان میانگین دینامیکی در گرافین بررسی می نماییم که مشاهده می شود این جمله نقش اساسی در گذار فاز گرافین از فاز نیمه فلزی به عایق مات خواهد داشت. در پایان با استفاده از مدل هابارد یونی نقش پتانسیل کوتاه برد درون سایتی هابارد و پتانسیل تک ذره ی یونی را در تبدیل ساختار لانه زنبوری با نوار انرژی بدون گاف به نوع گافدار آنرا به کمک روش میدان میانگین دینامیکی بررسی می نماییم.

در این پایان نامه، جریان جوزفسون در پیوند ابررسانا نانولوله کربنی ابررسانا، بر مبنای فرمول بندی تونل زنی و با استفاده از تابع گرین بررسی شده است. ابررساناهای مورد نظر، s-wave بوده و نانولوله کربنی تک دیواره ای که دو ابررسانا را به یکدیگر متصل می کند، نسبت به خط عمود بر دو ابررسانا، جهت گیری کاتوره ای دارد. مطالعه خود را به دو بخش نانولوله های تمیز و نانولوله های هیدروژنه تقسیم کرده ایم. در نانولوله های تمیز، محاسبات ما نشان می دهد که در نانولوله های فلزی، جریان جوزفسون مستقل از قطر نانولوله بوده و تنها وابسته به طول اتصال و جهت گیری نانولوله نسبت به ابررساناهاست. این جریان از دو کانال رسانش نانولوله های فلزی که متناظر با مدهای مومنتومی گذرنده از نقاط دیراک هستند، سرچشمه می گیرد. میانگین گیری روی جهت های کاتوره ای، جریان جوزفسون گذرنده از توده ای از نانولوله ها را بر حسب طول اتصال به دست می دهد. جریان جوزفسون بحرانی بدست آمده از مرتبه بوده و با نتایج تجربی، سازگاری دارد. در نانولوله های هیدروژنه، با افزایش مقدار هیدروژن، جریان جوزفسون نیز افزایش می یابد. این رفتار در همه انواع کایرالیتی مستقل از فلزی یا نیمه رسانا بودن نانولوله اولیه، مشهود است. کاهش جریان با افزایش طول نانولوله همچون نانولوله های تمیز، در نانولوله های هیدروژنه نیز مشاهده می شود.

در این پایان نامه ما به مطالعه ی اثر برهمکنش کولنی بلندبرد بر روی حالت های بی نظم می پردازیم. ما در این مطالعه، ساز و کار گذار فلز-عایقی را مورد بررسی قرار می دهیم که به دنبال برهمکنش کولنی الکترون ها در حضور بی نظمی رخ می دهد. این مطالعه نشان می دهد که چنین گذاری با رفتار بحرانی تابع خودهمبستگی چگالی حالت های موضعی در اطراف انرژی فرمی همراه است. بررسی مقیاس بندی این رفتار بحرانی منجر به کشف ساختار جدید چندفراکتالی با بعد همبستگی متفاوتی نسبت به همتای بدون برهمکنش برای توابع موج در نزدیکی نقطه ی بحرانی می شود. به علاوه، در نقطه ی گذار فلز-عایق حالت های اطراف انرژی فرمی بحرانی و نهایتاً جایگزیده می شوند در حالی که حالت های دورتر برای جایگزیده شدن نیازمند شدت برهمکنش های بسیار قوی تری هستند. در این میان آستانه ی تحرک پذیری به شکل حیرت انگیزی در نزدیکی های انرژی فرمی باقی می ماند، تا شدت برهمکنش به مقدار بسیار زیادی افزایش پیدا کند. از طرفی دیگر، چنین گذار فلز-عایقی با یک همگذری از رژیم کوانتومی به رژیم کلاسیکی در رفتار چگالی حالت های تونلی همراه است. به جز این در اطراف نقطه ی گذار، پدیده ی شیشه ی کولنی ظاهر می شود.