این پایان نامه، یک مجموعه ی جدید از توابع قطعه ای پیوسته به نام توابع متعامد مثلثی را که از توابع معروف بلاک-پالس به دست می آیند، معرفی نموده و به بررسی و مقایسه خواص آن ها می پردازد، همچنین ماتریس های عملیاتی انتگرال این توابع را تولید و سپس با استفاده از توابع متعامد مثلثی به حل مستقیم مسائل حساب تغییرات می پردازد و فرمول هایی را تولید خواهند شد که برای محاسبه انتگرال های موجود در مسائل حساب تغییراتی به کار می روند. از این رو می توان با کمک این روابط مسئله حساب تغییراتی به یک دستگاه معادلات جبری (خطی یا غیر خطی) تبدیل کرد. این مسائل را به یک معادله جبری تبدیل می کنند. در انتها چند مثال از مسائل حساب تغییرات را آورده و آن ها را توسط معرفی شده حل کرده، که کارایی و دقت این روش را در حل مسائل حساب تغییراتی نشان می دهد.

روش هم محلی نامتقارن و روش جواب های اساسی دو روش بدون شبکه بندی هستند که برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی مورد استفاده قرار می گیرند. روش هم محلی نامتقارن یک روش بدون شبکه دامنه ای است که در آن جواب به صورت ترکیب خطی از توابع شعاعی پایه در نظر گرفته می شود.روش جواب های اساسی یک روش بدون شبکه مرزی است که در آن جواب به صورت ترکیب خطی از جواب های اساسی فرض می شود. در ایران پایان نامه، دو روش برای حل معادلات وابسته زمانی پیشنهاد شده است، روش اول بر اساس هم محلی نامتقارن عمل می کند، این روش با استفاده از توابع شعاعی پایه و هم محلی در نقاط مرزی و دامنه ای به حل معادلات وابسته زمانی می پردازد. این روش بر روی معادلات سهموی و هذلولوی با شرایط مرزی دیریکله و رابین کاربرد دارد. برای حل معادلات سهموی از یک روش تفاضل پیشرو و یک روش کرانک نیکلسون و برای معادلات هذلولوی از یک روش تفاضل مرکزی استفاده می شود. روش دوم بر اساس روش جواب های اساسی عمل می کند، در این روش، جواب های اساسی وابسته زمانی برای معادلات انتشار مستقیما به کار برده می شود تا جواب به صورت ترکیب خطی از جواب اساسی عملگر انتشار به دست آید، با جای گذاری نقاط میدان و نقاط چشمه در یک پله ی زمانی مفروض، جواب در طول زمان پیش می رود تا جواب مورد نظر به دست آید.

در این پایان نامه با استفاده از روش عناصر متناهی به حل معادلات سهموی از جمله معادله گرما و معادله انتگرال-دیفرانسیل سهموی می پردازیم. معادلاتی را مطرح کرده و تغییر فرموله می دهیم، سپس جواب مسئله ی تغییر یافته را با استفاده از توابع پیوسته قطعه ای خطی که روی مثلث بندی دامنه مسئله تعریف می شوند تقریب می زنیم. همچنین پایداری و تخمین خطا را برای جواب مسائل مطرح شده، مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه یک معادله ی اینتگرو-دیفرانسیل هذلولوی با هسته ی از نوع مثبت، با شرایط اولیه و مرزی، در نظر گرفته شده است. مسائلی از این قبیل، به عنوان مثال، در مدل سازی چسبنده-کشسان و نظریه ی کشسان خطی استفاده می شوند. از آن جا که معادله ی مذکور از نوع هذلولوی می باشد، حل تقریبی مسأله به روش عناصر متناهی و آنالیز جواب تقریبی آن مشابه با معادله ی موج می باشد. در این پایان نامه ابتدا به حل تقریبی معادله ی موج به روش عناصر متناهی، در متغیر مکان، پرداخته و تخمین های خطای پیشین را برای جواب تقریبی آن و مشتق های زمانی و مکانی آن، با روش انرژی، به دست می آوریم. سپس روش عناصر متناهی را برای تقریب معادله ی اینتگرو-دیفرانسیل، در متغیر مکان به کار می بریم. پایداری مسأله ی پیوسته و نیم گسسته را اثبات نموده و سپس تخمین های خطای پیشین را از مرتبه ی بهینه را می یابیم. در نهایت برای بهبود هموای تابع جواب در تخمین خطای پیشین با نرم l2روشی را ارائه می دهیم.

در این پایان نامه به وسیله ی روش تفاضلات متناهی جواب معادلات با مشتقات جزیی، برای دو معادله ی کلاین-گوردن و کلاین-گوردن-زاخاروف تقریب زده می شود، که در آن معادله ی کلاین-گوردن یک معادله موج یک بعدی خطی روی دامنه ی بیکران و معادله ی کلاین-گوردن-زاخاروف یک معادله موج یک بعدی غیرخطی روی دامنه ی کراندار می باشند. برای حل معادله ی کلاین-گوردن روی دامنه ی بیکران دو شرط مرزی مصنوعی به منظور تبدیل مسئله ی اصلی به یک مسئله ی مقدار اولیه مرزی روی یک دامنه ‍ ی کراندار معرفی می شود که توسط یک روش تفاضلات متناهی صریح آنالیز می شود. همچنین یک الگوریتم سریع برای کاهش هزینه محاسباتی و یک روش مرزی مصنوعی گسسته که از ایده ی تبدیل z ناشی می شود، نیز بدست می آیند. برای حل معادله ی کلاین-گوردن-زاخاروف یک روش تفاضلات متناهی ضمنی و یک روش صریح معرفی می شوند. پایداری، همگرایی و یکتایی جواب هر دو معادله به روش انرژی بررسی می شود.

در این پایان نامه، دو روش بدون شبکه بندی برای حل معادله ی پخش با مشتق کسری کاپاتو نسبت به زمان ارائه شده است. در هر دو روش از تقریب تفاضل پیشرو برای گسسته کردن مشتق کسری کاپاتو استفاده می شود. در روش اول با استفاده از روش کانسا به حل معادله ی پخش کسری می پردازیم، که این روش اولین پژوهش در مورد حل این دسته از معادلات با استفاده از روش کانسا می باشد. در روش دوم بین مقادیر تابع مجهول در نقاط دلخواه و مقادیرآن در نقاط درونیابی رابطه ای را به دست می آوریم، که با استفاده از رابطه ای به دست آمده به حل معادله خواهیم پرداخت. در هر روش جواب به صورت ترکیب خطی از توابع پایه ای شعاعی در نظر گرفته می شود و با استفاده از هم محلی در نقاط مرزی و دامنه ای به حل معادله می پردازیم. در نهایت دستگاه معادلاتی حاصل خواهد شد که با به دست آوردن ضرایب مجهول در هر پله ی زمانی و جایگذاری آن ها می توان مقادیر تابع مجهول را در هر نقطه ی دلخواه و در هر گام زمانی تعیین کرد.

در این پایان نامه، معادله ی موج با شرایط اولیه و مرزی دیریکله در نظرگرفته شده است. ابتدا به اختصار به حل تقریبی معادله ی بیضوی با استفاده از روش عنصر متناهی و آنالیز خطای پیشین و پسین آن اشاره می کنیم. سپس معادله ی گرما و آنالیز خطای پسین آن را در حالت نیم گسسته ی مکانی با استفاده از تکنیک بازسازی بیضوی مورد بررسی قرار می دهیم. در ادامه، به تجزیه ی نیم گسسته ی مکانی با استفاده از روش عنصر متناهی، تجزیه ی نیم گسسته ی زمانی با استفاده از روش تفاضلات متناهی و تجزیه ی کاملاً گسسته برای معادله ی موج می پردازیم. در نهایت برای هر کدام از این گسسته سازی ها، تخمین خطای پیشین و سپس تخمین خطای پسین را با دو تکنیک براساس روش انرژی بدست می آوریم، که البته در این پایان نامه تأکید بیشتر بر تکنیک بازسازی بیضوی می باشد.

در این پایان نامه، ابتدا نیمه گسسته سازی مکانی معادله گرما را، به عنوان یک مثال از مساله سهموی، با استفاده از روش عنصر متناهی و سپس گسسته سازی کامل مساله را با روش اویلر پسرو انجام می دهیم. در ادامه پس از معرفی بازسازی بیضوی برای تحلیل خطای پسین معادلات نیمه گسسته و کاملا گسسته و بیان تخمین پایداری برای مساله ی پیوسته دوگان، تخمین های خطای پسین را با استفاده از روش های انرژی و دوگان و ترکیب آن ها با بازسازی بیضوی بدست می آوریم.

در این پایان نامه، حل عددی معادله ی موج خطی با شرایط اولیه و مرزی، به عنوان مثال اصلی معادلات دیفرانسیل جزئی هذلولوی خطی مرتبه ی دوم، در نظر گرفته می شود.ابتدا روش عنصر متناهی برای نیم گسسته سازی مکانی بکار برده می شود. سپس، گسسته سازی زمانی با روش های تفاضل متناهی کرانک-نیکلسون و نیومارک در نظر گرفته می شود. روش گالرکین پیوسته نیز برای گسسته سازی کامل بررسی می شود. هم ارزی این روش ها اثبات و به وسیله مثال های عددی نشان داده می شود. در پایان، تخمین خطای پسین برای روش گالرکین پیوسته و استراتژی های متفاوت برای روش های انطباقی مورد تجزیه و تحلیل قرار خواهد گرفت.

در این پایان نامه تجزیه متقارن و مثلثی(st) برای ماتریس های نامنفرد بررسی می گردد. به کمک این تجزیه هر ماتریس نامنفرد می تواند به صورت حاصلضرب یک ماتریس متقارن s و یک ماتریس مثلثی t بیان شود . بعلاوه s می تواند معیین مثبت باشد. برای محاسبه تجزیه (st) دو الگوریتم عددی بیان خواهد شد که در آنها s معیین مثبت است . سپس به عنوان کاربردی از تجزیه (st)، سه پیش بهبود دهنده بلوکی برای مسایل نقطه زینی مورد بررسی قرار خواهد گرفت و عدد شرطی برای سه دستگاه متقارن و معیین مثبت تخمین زده خواهد شد. نهایتا پس از اعمال هر یک از سه پیش بهبود دهنده مذکور بر مسئله نقطه زینی که دستگاه معادلات خطی نظیر آن نا متقارن است ، روش عددی گرادیان مزدوج را برای دستگاهای متقارن و معیین مثبت بکار می گیریم و با آزمایشهای عددی تاثیر هر یک از پیش بهبود دهنده ها را بررسی خواهیم نمود.

در این پایان نامه روش دیفرانسیل-کوادراتور ترفتز (dqtm) که یک روش بدون شبکه بندی بر پایه ی ترکیب روش جواب خصوصی (mps) با روش دیفرانسیل-کوادراتور (dqm) و روش ترفتز می باشد، برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی پواسون استفاده می شود. در این روش mps بکار می رود تا معادلاتی هم ارز را از معادله ی دیفرانسیل اصلی ایجاد کند. سپس dqm برای تقریب جواب خصوصی مورد استفاده قرار می گیرد و روش ترفتز جواب همگن را تقریب می زند. بنابراین dqtm یک تکنیک ذاتاً بدون شبکه بندی و مستقل از انتگرال گیری است. از آن جایی که در این روش برای انتخاب نقاط، انعطاف پذیری زیادی وجود دارد لذا dqtm روی دامنه های غیرمنظم نیز به خوبی کار می کند. نتایج عددی نشان می دهند که روش جدید با تعداد نقاط محدود نیز روی دامنه های منظم و غیرمنظم موثر است.

در این پایان نامه‎،‎ ابتدا به طور مختصر به معرفی موجک ها و نحوه ی ساخت آنها اشاره می کنیم‎.‎ در ادامه موجک اسپلاین مکعبی هرمیتی که یک موجک شبه متعامد است را با استفاده از آنالیز چندریزه سازی می سازیم‎.‎ سپس با روش گالرکین و هم مکانی و استفاده از پایه های موجک اسپلاین مکعبی هرمیتی مسائل اشتورم-لیوویل‎،‎ معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم و دیفرانسیل غیرخطی با شرایط مرزی متناوب را به یک دستگاه تبدیل می کنیم‎.‎ نتایج عددی را برای چند مثال از معادلات فوق ارائه می دهیم‎.‎ سرانجام به بررسی نقاط ضعف و قوت این موجک می پردازیم‎.‎

در این پایان نامه تعدادی پیش بهبوددهنده مثلثی جدید برای مسائل نقطه زینی بر اساس تجزیه متقارن و مثلثی $st$ را مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم. علاوه بر این, تخمین هایی برای اعداد شرطی دستگاه های پیش بهبودشده به دست خواهد آمد و پارامترهای شبه بهینه را ارائه می کنیم. آزمایش های عددی ویژگی های پیش بهبوددهنده ها را نمایان و تأثیر آن ها بر همگرایی روش گرادیان مزدوج در حل دستگاه های پیش بهبودشده را تائید می کنند.

در این پایان نامه، حل تقریبی معادله ی موج خطی تصادفی با نوفه ی جمعی در قالب نظریه ی نیم گروه ها مورد مطالعه قرار گرفته است. برای این منظور، از روش های عنصر متناهی و اویلر پسرو به ترتیب برای نیم گسسته سازی مکان و زمان استفاده شده است. ابتدا، تخمین های خطای بهینه با کمترین همواری لازم برای مسأله ی غیرتصادفی نیم گسسته به دست آمده اند و در اثبات تخمین های همگرایی قوی برای مسأله ی تصادفی استفاده شده اند. سپس، این روش با روش های گالرکین پیوسته(1)cg(1)/cgو تفاضل متناهی (لیپ فراگ) مقایسه شده است. در نهایت، این نظریه ها با مثال های عددی برای مسأله ی یک بعدی، در دو حالت نوفه ی سفید و نوفه ی رنگی نشان داده شده اند. هدف اصلی در این پایان نامه، محاسبه ی مرتبه ی همگرایی قوی روش عنصر متناهی برای حل تقریبی این دسته از معادلات تصادفی است که می تواند به دامنه های چند بعدی و نوفه ی وابسته به مکان نیز گسترش داده شود.

در این پایان نامه از یک روش بدون شبکه تحت عنوان روش جواب اساسی برای حل معادلات دیفرانسیل بیضوی استفاده می شود. این روش به طور مستقیم برای حل معادلات همگن دو و سه بعدی مورد استفاده قرار می گیرد. برای حل معادلات پواسون ترکیبی از این روش و روش جواب خصوصی به کار گرفته می شود. با داشتن یک جواب خصوصی که لزوماً در شرایط مرزی صدق نمی کند می توان معادله را به یک معادله همگن با شرایط مرزی تغییر یافته تبدیل کرد. در این پایان نامه دو روش متفاوت برای یافتن جواب خصوصی مورد بررسی قرار می گیرد. در روش اول جواب خصوصی توسط توابع پایه ی شعاعی به دست می آید. در روش دیگر محاسبه جواب خصوصی به وسیله پتانسیل نیوتن انجام می گیرد. در هر دو روش پس زا یافتن جواب خصوصی، معادله همگن حاصل به کمک روش جواب اساسی حل می شود. همچنین تعمیم هر دو روش به حالت سه بعدی ارائه می شود و به وسیله نتایج عددی خطا و زمان اجرا در دو روش مورد مقایسه قرار می گیرد.

در این پایان نامه حل تقریبی معادله ی گرمای خطی تصادفی با نوفه ی جمعی مورد مطالعه قرار گرفته است. در این راستا از روش های عنصر متناهی و اویلر پسرو به ترنیب برای نیم گسسته سازی مکان و زمان استفاده شده است. ابتدا تخمین خطا برای مسآله ی تصادفی نیم گسسته به دست آمده است که در نهایت در اثبات تخمین های همگرایی قوی برای مساله ی تصادفی استفاده شده اند.

در این پایان نامه معادله ی انتگرو دیفرانسیل هذلولوی همراه با شرایط مرزی و شرایط اولیه درنظرگرفته شده است. ابتدا خوش وضعی مسأله به معنی اثبات وجود ویکتائی با استفاده از روش تقریب گالرکین مطالعه شده است. یک روش عنصرمتناهی مکان ـ زمان پیوسته از مرتبه ی یک برای مسأله فرموله شده است، پایداری مسأله ی دوگان گسسته اثبات شده است که برای محاسبه ی مرتبه بهینه تخمین خطای پیشین به وسیله ی مساله ی دوگان استفاده شده است. درپایان مسأله با یک مثال تبیین شده است.

در این پایان نامه، یک معادله ی انتگرو-دیفرانسیل هذلولوی مرتبه ی کسری با یک هسته ی پیچش به طور ضعیف منفرد، با شرایط اولیه و شرایط مرزی در نظر گرفته شده است. ابتدا معادله با شرایط مرزی دیریکله و نویمن همگن، به فرم یک مسأله کوشی انتزاعی تبدیل می شود و خوش وضعی مسأله در قالب نظریه ی نیم گروه های خطی اثبات می شود. سپس، از یک روش گالرکین پیوسته (cg(1)/ cg(1))، که عملگرهای کلی بر روی دامنه محاسباتی مسأله را به کار می برد، برای حل عددی معادله ی انتگرو-دیفرانسیل استفاده می شود. در ادامه، پایداری روش عددی را با استفاده از معرفی تابعی کمکی اثبات نموده و تخمین های خطای پیشین از مرتبه ی بهینه را با استفاده از روش انرژی بدست می آوریم. در نهایت، با مثال عددی صحت آنالیز خطای این روش را برای مسأله ی یک بعدی نشان می دهیم.

در این پایان نامه، یک روش آرنولدی شتاب داده شده ی تطبیقی بر اساس ضرب داخلی وزن دار برای محاسبه ی رتبه ی صفحه ای مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته و خواص آن مطالعه شده است. وزن های عددی بر اساس و منطبق با بردار مانده موجود متناظر با بردار رتبه ی صفحه ای تقریبی به گونه ای تغییر داده شده تا موجب سرعت بخشی و بهبود کارایی همگرایی گردد. نتایج عددی نشان می دهند که روش آرنولدی شتاب داده شده تطبیقی سریعتر از روش نوع-آرنولدی همگرا می شود، به ویژه وقتی عامل تعدیل به یک نزدیک است. با توجه به برتری همگرایی روش های نوع-آرنولدی به روش های قبلی همچون روش توانی و روش برونیابی مربعی، می توان اعلام کرد که روش جدید سریعتر از روش های موجود برای حل مسأله رتبه ی صفحه ای همگرا می گردد.

معادله ی انتگرو دیفرانسیل هذلولوی همراه با شرایط مرزی و شرایط اولیه درنظرگرفته شده است . ابتدا خوش وضعی مسأله به معنی اثبات وجود و یکتایی با استفاده از روش تقریب گالرکین مطالعه شده است. یک روش عنصرمتناهی مکان- زمان پیوسته از مرتبه ی یک برای مسأله فرموله شده است، پایداری مسأله ی دوگان گسسته اثبات شده است که برای محاسبه ی مرتبه بهینه تخمین خطای پیشین به وسیله ی مسئله ی دوگان استفاده شده است. درپایان مسأله با یک مثال تبیین شده است.

در این پایان نامه، یک روش بدون شبکه مبتنی بر تقریب کمترین مربعات متحرک مورد بررسی قرار می گیرد. ابتدا ‏به معرفی این تقریب می پردازیم‏. سپس‏، آنالیز خطا‎ را بررسی کرده و کاربرد آن را در حل معادلات دیفرانسیل جزئی شرح می دهیم. در ادامه به روش های موضعی مبتنی بر این تقریب که به "روش های بدون شبکه پترو-گالرکین موضعی" موسوم هستند‏، می پردازیم. در این روش، معادله دیفرانسیل به فرم ضعیف تبدیل می شود و ‏از تقریب کمترین مربعات برای توابع کوششی و از توابع تست متفاوت ‏با توابع کوششی برای حل معادله دیفرانسیل استفاده می کنیم. همچنین‏، به بسط این تکنیک پرداخته و روشی بدون شبکه در مکان و زمان برای حل معادله ی انتقال گرما مطرح می کنیم.‎‎

در این پایان نامه، روش هم محلی بر اساس درون یابی نقطه ای پایه ای شعاعی که یکی از انواع روش های بدون شبکه محسوب می شود مورد بررسی قرار می گیرد. نوع تابع شعاعی استفاده شده در این مطالعه، اسپلاین صفحه نازک و مولتی کوادریک می باشد. در حالتی که شرایط مرزی از نوع نویمن بر مساله حاکم باشد از درون یابی توابع شعاعی با چندجمله ایهای افزوده و درون یابی هرمیتی استفاده می شود. روش مذکور برای معادلات از نوع پواسون خطی و غیرخطی به کار خواهد رفت.

در این پایان نامه، ابتدا یک مسئله منظم استورم?لیوویل کسری مورد بررسی قرار می گیرد. ویژه جواب های این مسئله توابع غیرچندجمله ای به نام چندجمله ایهای کسری ژاکوبی هستند. این ویژه تابع ها نسبت به تابع وزن معادله استورم?لیوویل متعامد می باشند. روش هم مکانی طیفی با دقت نمایی برای حل مسائل مستقل از زمان و وابسته به زمان شامل معادلات دیفرانسیل جزئی با مشتق مرتبه کسری به کار می رود.

حل دستگاههای خطی نامتقارن بزرگ axb یکی از مواردی است که کرارا در محاسبات عددی با آن مواجه میشویم. به عنوان مثال دستگاههای به دست آمده از تفاضلات متناهی یا تقریبات عناصر متناعی برای معادلات با مشتقات جزئی. در این رساله ما ابتدا روشهای نوع gmres , cg و gmres(m) و مزایا و معایب آنها را به اختصار بیان می کنیم. سپس روش شبه می نیمم سازی باقی مانده (qmr) برای حل دستگاههای خطی نامتقارن بزرگ و جزئیات آن را شرح می دهیم. و در پایان به حل مسئله navier-stokes و مقایسه روشها می پردازیم.