فرض کنیم x یک فضای باناخ و k یک فضای هاسدورف فشرده است. در این پایان نامه به معرفی اندازه های طیفی، شبکه های باناخ، نمایشهای پیوسته c(k) و r-کرانداری می پردازیم. هدف یافتن شرایطی است که تحت آن بتوان نمایش ?:c(k)?l(x) را به صورت انتگرال نسبت به یک اندازه ی طیفی منظم نوشت.به این منظور نخست یک شرط لازم و کافی برای وجود اندازه ی طیفی متناظر با ? ارائه می دهیم و سپس نشان می دهیم r-کرانداری نمایش ? یک شرط کافی برای وجود چنین اندازه ای است. در پایان دسته خاصی از فضاهای باناخ را مورد مطالعه قرار می دهیم و نشان می دهیم هر نمایش r-کراندار از c(k) بر فضاهای عضو این دسته به صورت جمع متناهی ضرایبی از عملگرهای تصویری روی آن فضاست. این نتایج به دنبال بررسی دقیق فضاهای دوری تولید شده توسط ? از نقطه نظر شبکه های باناخ است.

در این پایان نامه یکی از توسیع های منطق تکلیف به نام منطق ورودی/خروجی مورد بررسی قرار گرفته است. منطق تکلیف یکی از شاخه های منطق موجهات است که به بررسی گزاره های در باره وظیفه، مجوز و ممنوعیت می پردازد و در سال 1951 توسط فون رایت معرفی گردید. اما از همان ابتدا پارادوکسهای زیادی برای آن به وجود آمد. یکی از این توسیع منطق ورودی/خروجی است که در سال 2000 ارائه گردید و تا سال 2003 با ارائه دو مقاله دیگر این منطق به عنوان توسیعی از منطق تکلیف کامل گردید. در این منطق با استفاده از یک قید در استنتاج ها جلوی تولید پارادوکسها گرفته می شود. در این منطق وظایف را به صورت زوجهای مرتب نشان می دهیم که درایه اول اشاره به وضعیتی است که اتفاق افتاده است و درایه دوم مربوط به وظیفه یا مجوزی است که در آن وضعیت وجود دارد. این منطق قاعده محور بوده و شامل هیچ اصل موضوعی نیست. یکی از دیگر مباحث مطرح در منطق تکلیف موضوع دستگاه های هنجاری است. یک دستگاه هنجاری، دستگاهی که بر اساس وظایف پایه گذاری شده است. مثال بارز این نوع دستگاه ها، حکومت یک کشور می باشد. در هر دستگاه هنجاری هر کسی وظیفه ای بر عهده دارد که باید انجام دهد. برای این دستگاه ها مدل های مختلفی در منطق تکلیف ارائه شده است. یکی از این مدلها بر اساس منطق ورودی/خروجی ارائه شده است. در این مدل هنجارهای اساسی و رویه ای و روابط محسوبی مدل شده است. این مدل سازگار با مباحث علوم کامپیوتر می باشد.

در این رساله برای جبر باناخ a و مشخصه ناصفر ? روی a شرایط لازم و کافی را برای ?-انقباض |پذیری چپ جبر باناخ a به دست می آوریم و به خواص موروثی آن می پردازیم. همچنین ارتباط مفهوم ?-انقباض پذیری چپ (?-میانگین پذیری راست) و ویژگی های همولوژیک برخی از a-مدول های چپ باناخ را بیان می کنیم. در ادامه انقباض پذیری مشخصه ای چپ جبرهای گروهی وابسته به گروه فشرده ی موضعی g را مطالعه می کنیم. در آخر به بررسی ویژگی های همولوژیک برخی مدول های باناخ بر روی جبر های گروهی وابسته به گروه فشرده ی موضعی g می پردازیم.

مشتق پذیری یکی از خاصیت های مهم توابع می باشد. با توجه به این که در کاربردها بسیاری از توابع مورد استفاده فاقد ین خاصیت می باشند مفهوم جامع تری بنام زیرمشتق تعریف شده است. ابتدا تعریف زیرمشتق را بیان می کنیم و به توصیف توابع ck- پایینی می پردازیم و رابطه بین توابع -c1 پایینی و c2-پایینی را با استفاده از زیرمشتق مورد بررسی قرار می دهیم. به تعریف توابع تقریبا محدب می پردازیم و ثابت می کنیم اگر تابعی در نقطه ای موضعا لیپ شیتز باشد در آن نقطه تقریبا محدب است اگر و فقط اگر زیرمشتق در آن نقطه زیریکنوا باشد. با این شرط نشان می دهیم که چنین تابعی در نقطه مورد نظر c1-پایینی است. در آخر به تابع حاشیه ای می پردازیم. برای این نوع از توابع شرایطی به وجود می آوریم که توابع تقریبا محدب شوند و بعد شرایطی را روی توابع تقریبا محدب قرار می دهیم که تابع حاشیه ای به وجود آید.

با استفاده از روش تغییراتی نشان می دهیم که مجموعه همه توابع قله ای قوی در یک زیرجبر بسته a از c_b(k) چگال است اگر وتنها اگر مجموعه همه نقاط قله ای قوی یک زیرمجموعه نرم دهنده از a باشد. به عنوان نتیجه ای از قضیه بیان شده چگال بودن مجموعه توابع قله ای قوی روی فضاهای معین مانند فضای محدب یکنواخت موضعی را نشان می دهیم.همچنین اثبات می کنیم که اگر مجموعه تمامی نقاط نمایش دهنده قوی فضای باناخ x یک زیرمجموعه نرم دهنده (n x) ? باشد آنگاه مجموعه همه اعضای پذیرای نرم قوی در (n x) ? چگال است.در فصل آخر با کمک نظریه گراف روشی برای بدست اوردن چندجمله ای های پذیرای قوی نرم روی یک فضای cl با نرم مطلق ارائه می دهیم. سپس نشان می دهیم که برای فضای باناخ x با بعد متناهی اندیس عددی چندجمله ای ها یک است اگر وتنها اگر x با l?n یکریخت باشد.

ابتدا یک نظزیه جامع در مورد هموستارها ارائه می دهیم که برای مطالعات بعدی استفاده خواهد شد. نشان می دهیم که در صورت وجود یک هموستار روی کلاف برداری باناخ (p,e,m) می توان دو قضیه ی شکافت برای بیان نمود. سپس با استفاده از مفهوم توازیپذیری، روشی براز مطالعه ی معادلات دیفرانسیل معمولی روی کلاف ها و خمینه های باناخ معرفی می کنیم که زمینه ی مناسب برای مطالعات در حالت غیرباناخ را نیز به وجود می آورد. علیرغم وجود مشلات ذاتی برای کلاف ها و خمینه-هایی که روی فضاهای غیرباناخ مدل شده اند، قضایای شکافت را برای کلاف های غیرباناخ نیز اثبات می کنیم. به علاوه حالت مناسبی از قضیه ی وجود و یکتایی جواب برای معادلات دیفرانیسیل معمولی روی این کلاف ها ارائه می کنیم. در ادامه برای کلاف برداری p نشان می دهیم که (s, te, m) یک ساختار کلاف برداری اختیار می کند اگر و تنها اگر یک هموستار خطی روی p داشته باشیم. پس از آن مفهوم هموستار مرتبه دوم روی خمینه ها را معرفی می کنیم که در مطالعه کلاف شتاب ها نقش اساسی خواهد داشت. در حقیقت با استفاده از ساختار کلافی ایجاد شده روی ttm، ابزارهای هندسی مانند مشتق جهتی مرتبه دوم، خم های خود متوازی مرتبه اول و دوم، نگاشت نمایی و براکت لی مرتبه دوم را برای کلاف شتاب ها معرفی می نماییم. سرانجام نشان می دهیم که برای هر هموستار روی خمینه m می توان یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم متناظر کرد که ابزار مناسبی برای یررسی ژئودزی ها روی خمینه های باناخ و غیرباناخ است.

در این پایان نامه مدولهای باناخ تصویری و تزریقی را به طور تقریبی سرشت نمایی می کنیم. پیرکفسکی مفهوم تصویری و تزریقی را در جبرهای باناخ گسترش داد و حالت تقریبی و نیز تقریبی یکنواخت آنها را سرشت نمایی کرد و فراتر از آن ارتباط آنها را با میانگین پذیری و میانگین پذیری تقریبی و تقریبی یکنواخت روی جبرهای باناخ بررسی کرد. او همچنین نشان داد که هر جبر میانگین پذیر تقریبی یکنواخت، میانگین پذیر است. مفهوم مشتق و درونی تقریبی یکنواخت و مشتق درونی تقریبی به وسیله قهرمانی و لوی بررسی شده است. قهرمانی و لوی با استفاده از مفهوم مشتق درونی تقریبی جبرهای باناخ، میانگین پذیری تقریبی جبرهای باناخ، میانگین پذیری، انقباض پذیری تقریبی و میانگین پذیری تقریبی یکنواخت را معرفی و ویژگی های آنها را بررسی کردند.

در این پایان نامه، پس از تعمیم مفهوم احاطه سازی روی دسته ای از دنباله های همگرا به صفر، شرایطی بر روی ماتریس بی نهایت بعدی p را بررسی می کنیم به گونه ای که برای هر c_0^? ? ? و ?، ? p توسط ? به طور قوی احاطه شود. مشاهده می کنیم که برخلاف حالت متناهی که برای هر ماتریس تصادفی دوگانه و هر x?r^n، x p توسط x احاطه می شود، در حالت نامتناهی چنین اتفاقی نمی افتد. حتی با بیان مثالی مشاهده می کنیم که برای ماتریس های تصادفی متعامد نیز این خاصیت لزوماٌ برقرار نمی باشد. اما قضیه ی زیر را که به قضیه ی هورن معروف است ثابت می کنیم. ماتریس تصادفی متعامد q موجود است به گونه ای که ?q= ? اگر و تنها اگر: در حالتی که ، . در حالتی که ، . همچنین قضیه ی زیر را که به قضیه ی شور- هورن معروف است به عنوان کاربردی از قضیه ی هورن برای عملگرهای فشرده و مثبت ارائه خواهیم کرد. عملگر مثبت و فشرده ی a با لیست مقادیر ویژه ی ? و عناصر قطری ? موجود است اگر و تنها اگر: در حالتی که ، . در حالتی که ، .

در این پایان نامه مفهوم احاطه سازی در ابعاد نامتناهی بررسی شده و عملگرهای نگهدارنده این رابطه تعیین شده است.

یک قاب این امکان را فراهم می سازد که بتوان برای هر عضو از فضا نمایشی بر حسب اعضای آن قاب بدست آورد. این امر با استفاده از تعریف قاب دوگان میسر می شود، اما در اکثر مواقع بدست آوردن قاب دوگان کاری پر زحمت و یا حتی غیر ممکن است. بر این اساس به معرفی قاب هایی با رفتار و ویژگی های نزدیک قاب دوگان خواهیم پرداخت و برای این منظور قاب های تقریبا دوگان را معرفی خواهیم کرد. خواهیم دید که برای یک قاب که نزدیک یک قاب مفروض است و برای آن بدست آوردن قاب دوگان ممکن می باشد، این دو قاب، قاب های دوگان خواهند بود. همچنین برای این قاب ها به خانواده ای از قاب های تقریبا دوگان دست خواهیم یافت به گونه ای که با یک روند استقرایی می توان به اندازه دلخواه به قاب دوگان نزدیک شد.

در این پایان نامه به ساخت قاب ها برای فضاهای هیلبرت با بعد متناهی، به کمک روش تجزیه مقدار تکین عملگر ترکیب(پیش قابی)، می پردازیم. همچنین نشان می دهیم با استفاده از نظریه احاطه سازی در بعد متناهی می توان قاب هایی با ویژگی نرم های معین ساخت. در پایان با ارائه مفهوم جدید پتانسیل قاب، روش ساخت قاب هایی با ویژگی پتانسیل قاب معین را مشخص می سازیم.

در این پایان نامه مفهوم شبه-میانگین پذیری و شبه-انقباض پذیری جبرهای باناخ را معرفی می کنیم و به مقایسه ی آنها با میانگین پذیری و میانگین پذیری تقریبی می پردازیم. در ادامه، ضمن یافتن شرایط معادل شبه-میانگین پذیری جبرهای گروهی ثابت می کنیم که میانگین پذیری و شبه-میانگین پذیری آنها با هم معادلند. در نهایت با معرفی جبرهای باناخ دنباله ای به خصوص lp(n)، برای هر p بین بینهایت و یک نشان می دهیم که lp(n) شبه -میانگین پذیر است ولی میانگین پذیر تقریبی نیست.

در این پایان نامه مفهوم میانگین پذیری چپ و میانگین پذیری مشخصه ای چپ جبرهای باناخ را معرفی می کنیم و به مقایسه ی آن ها با میانگین پذیری جبرهای باناخ و میانگین پذیری چپ جبرهای لایو می پردازیم. در ادامه شرایط معادل متعددی را برای این مفهوم بیان می کنیم و به بررسی ویژگی های موروثی آن می پردازیم. همچنین نشان می دهیم میانگین پذیری مشخصه ای چپ جبرهای گروهی l1(g) و (g) با میانگین پذیری گروه موضعا فشرده ی g معادل است.

اهداف اصلی تدوین پایان نامه جاری بدین شرح است : معرفی مسأله شانزدهم هیلبرت و فرم ضعیف آن، چگونگی ارتباط مسأله ضعیف شده و مسأله یافتن تعداد صفرهای انتگرال های آبلی، ارایه برخی روش های استفاده شده در جهت حل مسأله ضعیف شده و در نهایت یافتن کران بالا برای تعداد سیکل های حدی برخی از دستگاه های معادلات دیفرانسیل با بررسی تعداد صفرهای انتگرال های آبلی متناظرشان.

در این پایان نامه, به گسترش نظریه ی قاب ها در مدول های هیلبرتی بر روی c^* - جبرهای موضعی می پردازیم و بسیاری از قضایای مربوط به قاب ها در فضای هیلبرت را در این ساختار مطرح می نماییم. نشان خواهیم داد که اگر ?x_j}?_(j?j)} یک قاب برای مدول هیلبرتی x بر روی c^* - جبر موضعی یکانی a و j یک مجموعه اندیس حداکثر شمارا باشد, آنگاه هر عنصر از x را می توان به صورت یک ترکیب خطی حداکثر شمارا از اعضای ?x_j}?_(j?j)} نمایش داد. همچنین می توان با استفاده از عملگر قاب , s به قاب یکتای ??s^(-1) x?_j}?_(j?j)} رسید که آن را دوگان متعارف قاب ?x_j}?_(j?j)} می نامیم. در نهایت دسته ای خاص از قاب ها, تحت عنوان قاب های دوگان را معرفی می کنیم که مستقل از عملگر قاب s می باشد.

در این پایان نامه به بررسی خصوصیات هندسی خمینه های گراسمان و استیفل، که در ارتباط با فضاهای تغییرات نوع اسلاتر در نظریه ی هارتری-فوک چند ذره ای و پیرامون آن بدست می آید خواهیم پرداخت .در حالت خاص، ثابت می کنیم که خمینه های گراسمان و استیفل، فضاهای همگن تحلیلی و زیر خمینه هایی از فضای عملگرهای کراندار روی فضای هیلبرت تک ذره ای می باشند و در خاتمه به عنوان یک نتیجه بیان می کنیم که آنها، خمینه های فینسلر تام هستند. این خصوصیات هندسی بیان شده در واقع تأکیدی هستند بر وجود جواب برای معادلات نوع هارتری-فوک. لازم به ذکر است که، انگیزه ی اصلی برای وجود جواب برای معادلات نوع هارتری فوک مبتنی بر نظریه ی نقطه ی بحرانی است و هدف اصلی این پایان نامه بررسی خصوصیات هندسی و ساختار خمینه هایی از این نوع با استفاده از روش نظریه ی عملگرها می باشد.

یکی از موضوعات مهم در ریاضیات، بررسی اکسترمم برای توابع و همچنین اکسترمم سازی می باشد که کاربردهای مهمی در شاخه های متعدد علوم داشته و همواره از اهمیت خاصی برخوردار بوده است. از دیدگاه کاربردی یکی از مسایل مورد بحث در زمینه بدست آوردن یک جواب برای مسأله اکسترمم سازی مر باشد. تحقیق در عملیات، کنترل، معادلات دیفرانسیل و آنالیز از جمله شاخه های ریاضی هستند که این مسأله را مورد توجه قرار داده اند. نظریه تغییرات از جمله مواردی است که در آنالیز مورد بحث قرار گرفته است که یطور خاص و با توجه به کاربرد مورد نظر تحت شرایط مطلوب به مسأله اکسترمم سازی می پردازد. در این رساله به بررسی یکی از موارد مهم می پردازیم. مسأله مورد بحث ما بررسی "اصل تغییراتی بروین-پریس" مر باشد. که از جمله کاربردهای آن می توان به قضیه نقطه توازن تعادل که در نظریه بازی ها و قضیه کوهن-توکر که در بهینه سازی کاربرد دارد اشاره کرد.

همانطور که می دانیم پایه ی هیلبرتی یکی از مفاهیم بسیار مهم در یک فضای هیلبرت است. در عمل بدست آوردن چنین پایه ای برای یک فضای داده شده می تواند بسیار دشوار و یا حتی در برخی موارد غیر عملی باشد. مفهوم قاب یکی از مفاهیمی است که تا حد زیادی نیاز ما را به تعیین پایه هیلبرتی مرتفع می سازد. این مفهوم برای اولین بار در سال 1952 توسط دافین و شفر مطرح شد و آنها از آن به عنوان ابزاری در مطالعه سری های فوریه غیرهارمونیکی استفاده کردند. پس از سالها وقفه، در سال 1985 که مصادف با دوران اوج نظریه موجک بود، دابیچیز، گراسمن و مایر مشاهده کردند می توانند از قابها در بسط سریهای تابعی در l^2 (r) استفاده کنند. این امر به بسط با استفاده از پایه های هیلبرتی بسیار شباهت داشت. این افراد بدین گونه مفهوم قاب را دوباره معرفی کردند و بدین ترتیب مطالعه گسترده ای در مورد نظریه قابها شروع شد. با توجه به خاصیت قاب، این مفهوم کاربرد فراوانی در زمینه پردازش سیگنال ، پردازش تصویر، تراکم داده ها ،نظریه نمونه گیری و غیره دارد. مفهوم قاب، تعمیمهای متفاوتی چون شبه تصویرگر کراندار، قاب زیرفضا، شبه قاب، قابهای مایل و قاب خارجی دارد. یکی از مهمترین تعمیمهای این مفهوم ، قاب تعمیم یافته است که به نوعی سایر تعمیمهای فوق را در بر می گیرد. این تعمیم برای اولین بار در سال 2006 توسط سان مطرح شده است. این پایان نامه به صورت زیر سازمان یافته است. در فصل دوم، مروری بر فضای هیلبرت و عملگرهای خطی خواهیم داشت. در فصل سوم، مفهوم قاب را تعریف می کنیم. در ادامه عملگر قاب را تعریف و به خصوصیات آن می پردازیم. همچنین نشان می دهیم که یک قاب چگونه فضای خود را بازسازی می کند. در بخش بعدی این فصل، پایه ریس را تعریف و خصوصیات آن را بیان می کنیم. در فصل چهارم، قاب تعمیم یافته را تعریف می کنیم. در این فصل نشان می دهیم که چگونه تعمیمهای متفاوتی که تاکنون برای قاب مطرح شده اند؛تحت قاب تعمیم یافته که در اینجا مطرح می شود، قرار می گیرند. سپس عملگر قاب تعمیم یافته را تعریف می کنیم. در بخش بعدی این فصل، دنباله بسل تعمیم یافته، پایه ریس تعمیم یافته و پایه یکا متعامد تعیم یافته را تعریف می کنیم. همچنین در قضیه ای بسیار مهم شرایط معادلی برای قاب، دنباله بسل، پایه ریس و پایه یکا متعامد و تعمیمهایشان ارائه می دهیم.مشاهده می کنیم که با وجود شباهتهای بسیار، تمام خاصیتهای قاب تعمیم یافته و پایه ریس تعمیم یافته، به ترتیب، مشابه با قاب و پایه ریس نیست.

در این رساله به بررسی عملکرد کد هافمن و چند کد شبه بهینه شامل: «کد طول ثابت»، «کد یکنواخت»، «کد یکنواخت با منبع مرتب شده»، «کد m» و «کد شانون»، بر روی «منابع بدون حافظه با الفبای بزرگ» می پردازیم. در روش های کدگذاری «طول ثابت» و «یکنواخت» به همه ی منابعِ با اندازه الفبای یکسان، یک کد یکسان نسبت داده می شود. در طرف دیگر در کدگذاری های «یکنواخت با منبع مرتب شده» و «m»، ابتدا منابع براساس ترتیب احتمال وقوع سمبل ها مرتب می شوند و سپس به آن ها یک بردار کد معین نسبت داده می شود. اما در کدگذاری های «شانون» و «هافمن»، بردار کد در حالت کلی به مقادیر دقیق همه ی احتمال سمبل ها وابسته است. ثابت خواهیم کرد که برای کدهای مورد بررسی، واریانس افزونگی بر روی مجموعه منابع با اندازه الفبای معین، با افزایش اندازه الفبا به صفر میل می کند. در نتیجه برای اغلب منابع با الفبای بزرگ n، افزونگی هر یک از این کدها تقریباً برابر است با میانگین افزونگی آن کد بر روی مجموعه منابع با n سمبل. برای کدهای «هافمن» و «m»، میانگین افزونگی منابع n-سمبلی برابر است با افزونگی به ازاء «توزیع میانگین منابع یکنوای n-سمبلی» که این مقدار، برای اندازه الفبای بزرگ n، در بازه ی 0.02873 و 0.02877 بیت در نوسان است. همچنین، میانگین افزونگی کد «شانون» بر روی مجموعه منابع n سمبلی فرمول بندی می شود. ثابت خواهیم کرد که این مقدار یک دنباله ی واگرا برحسب n است که برای مقادیر بزرگ n در اطراف 0.5 بیت در نوسان است. برای کدهای «طول ثابت»، «یکنواخت» و «یکنواخت با منبع مرتب شده» نشان خواهیم داد که در حالت مجانبی، یعنی هنگامی که اندازه الفبا n بزرگ شود، میانگین افزونگی هر کد بر روی منابع n-سمبلی تابعی متناوب از جزء صحیح لگاریتم n است. برای هر یک از کدهای فوق، این تابع متناوب در بازه های، به ترتیب، [0.6099,1.6099)، [0.6099,0.6960) و [0.3254,0.6099) بیت در نوسان است. با مقایسه ی مقادیر فوق بین کدهای m و یکنواخت، مشاهده می شود که برای اغلب منابع با الفبای بزرگ دانستن یا ندانستنِ ترتیب احتمال وقوع سمبل ها باعث افزایش حدود 0.581 بیتی در افزونگی کدگذاری منبع می شود. یک نتیجه ی قابل توجه، که از مقایسه ی افزونگی کد بهینه با m به دست می آید، آن است که برای اغلب منابع با الفبای بزرگ کدگذاری «m» یک کدگذاری نزدیک به بهینه است در حالی که ساختار کدگذاریِ آن به مراتب ساده تر از کد بهینه است. به این معنی که کد بهینه ی یک منبع، تابعی از احتمال وقوعِ همه ی سمبل های منبع است اما در کدگذاری m به همه ی منابع مرتب شده، یک بردار کد یکسان نسبت داده می شود. بنابراین می توان گفت که برای اغلب منابع با الفبای بزرگ، دانستن ترتیب احتمال وقوع سمبل ها (و نه مقدار دقیق آن ها) برای رسیدن به یک کد منبع نزدیک به بهینه کافی است.

یک فضای نرمدار احتمالی، دارای شرایط یک فضای نرمدار حقیقی است، که در آن نرم هر عضو بجای یک مقدار حقیقی در $br$، یک مقدار احتمالی در $delta$ اختیار می کند. در اینجا $delta$ مجموعه همه توابع صعودی و پیوسته چپ، که به فرم $f:br obac$ است، می باشد. که در اصطلاح به این گونه توابع، توابع توزیع توسیعی می گویند. ایده ای که برای اولین بار توسط یک ریاضیدان، بنام شرستنو در سال ???? میلادی بیان گردید. در این جانشانی نکته مورد اهمیت این است که $delta$ (بنا به دلایلی) باید یک توسیع مناسب برای $brc$ (بجای $br$) از لحاظ توپولوژی، اعمال جمع و ضرب اسکالر و ترتیب بوده و بتواند شرایط لازم در تعریف فضاهای نرمدار احتمالی را تامین نماید. در این راستا${vep_rmid rin brc}subset delta$ یک جانشانی مناسب $brc$ در $delta$ است، که خواص توپولوژیک، جمع، ضرب اسکالر و ترتیب روی آن حفظ می گردد. در واقع $vep$ تابع جانشانی از $brc$ به $delta$ می باشد. بر این اساس، که در واقع برای توسیع مفاهیم حقیقی به احتمالی، این جایگزینی انجام می گردد. در این رساله، نخست به مفهوم اندازه و انتگرال احتمالی پرداخته، و سپس به ساخت فضاهای $l^p$ انتگرالی احتمالی برای $vep_1 leq p leq vep_infty$ می پردازیم. سپس نشان می دهیم که این فضاها با نرم احتمالی تعریف شده کامل هستند.

در این پایان نامه برخی از نامساوی های عددی را برای عملگرهای فشرده بررسی می کنیم. اگر چه توسیعی از کارهای مربوط به نامساوی های عملگری بویژه توابع یکنواعملگری و محدب عملگری وجود دارد اما نتایج بیشتری در مورد نامساوی های عملگری بواسطه ی طیف یا مقادیر ویژه بدست می آیند. تامسون اولین نامساوی اساسی، یعنی نامساوی مثلث را برای ماتریس های مختلط n*n اثبات نمود. نتایج تامسون توسط آکمان-اندرسن و پدرسن به جبرهای فون نویمان تعمیم داده شد. آندو گونه ای از نامساوی یانگ را برای ماتریس ها اثبات نمود : فرض کنیم q,q?(1,?) به طوری در شرط 1/p+1/p=1 صدق نمایند، در این صورت برای ماتریس های n*n مختلط a و b ماتریس یکانی u وابسته به a و b وجود دارد به طوری که ؟؟؟؟؟؟ . نامساوی یانگ تویط ارلیجمن، فارنیک و زنگ به عملگرهای فشرده توسعه داده شد : اگر a و b عملگرهای فشرده روی فضای هیلبرت جدایی پذیر مختلط باشند، انگاه طولپای جزیی u وجود دارد به طوری که فضای ابتدایی u برابر است با ؟؟؟ و برای هر q,q?(1,?) که در شرط 1/p+1/p=1 صدق کنند داریم ؟؟؟؟؟ علاوه بر این اگر ؟؟ یک به یک باشد، انگاه عملگر u در نامساوی بالا را می توان یکانی در نظر گرفت. در این پایان نامه ضمن بررسی خاصیت های فوق، حالت تساوی این نامساوی را نیز برای عملگرهای فشرده ی نرمال جابجایی بررسی می کنیم. سپس به نامساوی یانگ ماتریسی برای نرم هیلبرت-شامیت و نامساوی مثلث می پردازیم.

در این پایان نامه به مطالعه تقریب توابع پیوسته در فضاهای باناخ می پردازیم. ماابت می کنیم که اگر x یک فضای باناخ بینهایت بعدی با فضای دوگان تفکیک پذیر x* باشد آنگاه هر تابع پیوسته f:x?ir را می توانیم به طور یکنواخت توسط تابعی هموار از رده c1 تقریب بزنیم که هیچ نقطه بحرانی نداشته باشد. ما همچنین شرایطی را روی فضای باناخ تفکیک پذیر x ایجاد می کنیم تا بتوان تابع تقریب زننده را هموار از رده ی cp برای p?{n}?{?} اتخاذ کرد. و یکی از نتایج مهم آن عبارت است از : هرگاه x یک فضای باناخ بینهایت بعدی با دوگان تفکیک پذیر x0 باشد آنگاه مجموعه تمام توابع حقیقی مقدار هموار از مرتبه c1 روی x که هیچ نقطه بحرانی نداشته باشند در فضای توابع پیوسته حقیقی مقدار روی x چگال است.

در این رساله ضمن معرفی مساله شانزدهم هیلبرت و فرم مماسی آن به بررسی تعداد سیکل های حدی منشعب شده از طوق تناوبی چند خانواده از دستگاه های انتگرال پذیر و هامیلتونی تحت اختلال های چند جمله ای با استفاده از روش های مختلف و بررسی تعداد صفرهای انتگرال های آبلی نظیرشان می پردازیم. در این پایان نامه به جز فصل اول که مقدمه می باشد بقیه فصل ها جدید می باشند.

در این پایان نامه مفهوم-طولپایی برای نگاشت ها را معرفی می کنیم و به تقریب نگاشت طولپا با بهترین تخمین برای آن ها می پردازیم. در ادامه، با استفاده از یک قضیه نقطه ثابت، خاصیت پایایی هایرس-الام-راسیاس را برای نگاشت های تعریف شده روی فضای نرم دار بتوی یک فضای باناخ که قانون متوازی الاضلاع در آن برقرار است، بررسی می کنیم و در نهایت به یک مشخصه سازی نگاشت های جمعی می پردازیم.

فرض کنی h یک فضای هیلبرت متشکل از توابع اسکالر مقدار روی یک مجموعه ی $x$ باشد. اگر برای هر x in xتابعک خطی delta_{x}:hlongrightarrow f}$ با تعریف delta_{x}(f)=f(x) برای هر fدرh یک تابعک خطی پیوسته روی فضای هیلبرت mathcal{h} باشد، آنگاه h یک فضای هیلبرت هستهِ ی بازتولید می نامند.ایده ی هسته ی بازتولید برای اولین بار در سال 1907 توسط gi{h5} روی مسائل مقدار مرزی برای توابع هارمونیک و غیرهارمونیک بکار رفت. بعد از او در سال 1909 gi{h6} هسته ی بازتولید را در نظریه انتگرالی هیلبرت امتحان کرد. وی این توابع را هسته ی معین مثبت نام گذاری کرد cite{ok}. این نتایج برای مدت طولانی، دیگر بررسی نشد تا اینکه ایده ی هسته ی بازتولید در مقاله سه ریاضیدان آلمانی به نامهای gi{h8} (1921)، gi{h7} (1922 و بوخنر (1922) مورد بررسی قرار گرفت. حدود سال 1948 نظریه هسته های بازتولید توسط gi{nb} قاعده مند شد cite{ar}. بعد از او تحقیقات زیادی توسط افراد مختلف روی این موضوع تا این زمان صورت گرفته است.این فضاها که به فضاهای هسته ی بازتولید ( $ rkhs $ ) معروف هستند، کاربرد وسیعی در آنالیز مختلط، آنالیز هارمونیک، مکانیک کوانتومی، آمار، معادلات دیفرانسیل، انرژی متناهی فوریه، هانکل، تبدیل سیگنالها با باند محدود در پردازش تصویر، هوش مصنوعی و غیره دارد cite{sh} وcite{zh2}. ewline تابع دو متغیره $k: x imes x longrightarrow mathbb{f}$ را یک تابع هسته گویند در صورتی که برای هر زیر مجموعه متناهی و متمایز ${,x_{1},x_{2},cdots,x_{n},}$ از $x$ ماتریس $[k(x_{i},x_{j})]_{n imes n}$ یک ماتریس نیمه معین مثبت باشد. gi{h4} نشان داد که متناظر با هر تابع هسته یک فضای هیلبرت هسته ی بازتولید وجود دارد. فضای هیلبرت هسته ی بازتولید متناظر با تابع هسته ی $k$ با نماد $mathcal{h}_{k}$ نشان داده می شود. بوخنر ارتباط بین تابع هسته و تبدیل فوریه اندازه های بورل را مورد بررسی قرار داد. فرض کنیم $mathcal{h}$ یک فضای هیلبرت با ضرب داخلی $langlecdot,cdot angle$ متشکل از توابع پیوسته روی فضای توپولوژیک $ x $ باشد. می گوییم توابع محمل جدا در $mathcal{h}$ دارای خاصیت تعامد می باشند هرگاه برای هر f,g h که supp(f)cap supp(g)=emptyset داشته باشیم $langle f,g angle_{mathcal{h}}=0$. با معرفی تابع شاخص و در نظر گرفتن دو مجموعه باز از فضای توپولوژیک $x$ شرط تعامد توابع محمل جدا در فضای mathcal{h}_{k} بررسی می شود. هم چنین با استفاده از تابع هسته ارتباط توابع محمل جدا در فضای mathcal{h}_{k} و فضای ماتریس ها را می توان مشخص کرد.

در این پایان نامه ابتدا مسئل? {?((?^2 u)/(?x^2 )+(?^2 u)/(?y^2 )=0 , 0<x?1, -?<y<?,@u(0,y)=g(y), -?<y<? @u_x (0,y)=0, -?<y<?. )? با شرایط کوشی در نظر گرفته می شود. این مسئله، مسئل? کوشی برای معادل? لاپلاس نامیده می شود که در بررسی مسائلی از قبیل ژئوفیزیک، لرزه نگاری و مسئل? میدان بیوالکتریک ظاهر می گردد. این نوع مسئله، یک مسئل? کلاسیک کاملاً بد وضع است؛ یعنی جواب اگر وجود داشته باشد به طور پیوسته به داد? اولیه (یا داد? کوشی) g بستگی ندارد. به عبارت دیگر اختلالی کوچک در داد? اولیه باعث ایجاد خطایی بزرگ در جواب مسئله برای 0<x?1 می شود. جواب u(x,.) از مسئله در l^2 (r) مد نظر می باشد که با استفاده از آنالیز چند ریزه سازی موجک می یِر در فرکانس های بالا تصفیه می شود و به این ترتیب پایداری جواب مسئله با استفاده از روش هموارسازی موجک ها حفظ می شود. درحقیقت با استفاده از روش هموار سازی موجک می یِر، تخمین های پایدارو دقیقی در فضای سوبولف h^r (r) به دست می آوریم که نرخ همگرایی جواب هموارسازی شده را سریعتر می کنند و همگرایی جواب هموارسازی را در x=1 به دست می دهند. و به این ترتیب مسئله به یک مسئل? تقریبی خوش وضع در فضاهای مقیاس v_j تبدیل می گردد. واژه های کلیدی: مسئل? کوشی، فضای سوبولف، هموارسازی،موجک می یِر، معادل? لاپلاس

در این پایان یک روش موثر و کارا برای حل مسایل کنترل بهینه ی غیرخطی با تأخیر چندگانه ارایه می کنیم.این روش مبتنی بر استفاده از توابع ترکیبی است. برای این منظور ابتدا توابع ترکیبی که شامل توابع بلاک پالس و چندجمله ای های چبیشف است بیان کرده و به بررسی خواص آن ها میپردازیم, سپس به کمک ماتریس های عملیاتی انتگرال, حاصلصرب و تأخیر این دسته از توابع ترکیبی و در حالت های غیرخطی با استفاده از نقاط گره ای چبیشف-گاوس-لوباتو مسأله ی اصلی را به یک مسأله ی بهینه سازی پارامتری تبدیل می کنیم که حل آن به مراتب ساده تر از حل مسأله ی اصلی خواهد بود. به علاوه برای بررسی رقت, کارایی و اعتبار روش عددی ارایه شده, مثال های متععدی را ذکر و سپس نتایج حاصل را با جواب های دقیق مسأله مقایسه می کنیم و در مثال هایی که از پاسخ دقیق سیستم اطلاعی نداریم شرایط لازم بهینگی را بررسی خواهیم کرد.

برای بررسی کیفی ساختار جوابهای یک دستگاه از معادلات دیفرانسیل رفتار جوابها را در نزدیکی نقاط تعادل جوابهای متناوب آن مطالعه می کنیم. قسمت مهم و پیچیده مساله یافتن تعداد و موقعیت سیکل های جدی است که در قسمت دوم مساله شانزدهم هلیبرت مطرح شد. صورت ضعیف شده آن به تخمین صفرهای آنها به وسیله سیستمهای چبیشف چند جمله ای مدل می شود. در این رساله برای یک اختلال درجه سوم از سیستم های هامیلتونی درجه چهار تابع فاصله را به ترکیب خطی از انتگرالهای آبلی در ایده آل باوتین تجزیه کرده و دیاگرام انشعاب قسمت اصلی آن را توصیف می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا مفاهیم مختلف مثبت بودن ماتریس ها را ارائه می دهیم. آن گاه به بررسی خواص آن ها با ذکر مثال می پردازیم. هدف اصلی ما در این پایان نامه معرفی ماتریس های تمام مثبت ‎ (tp) ‎ و در نهایت ماتریس های نامنفی ‎(tn) ‎ می باشد. همچنین معرفی برخی خواص ماتریس های تمام مثبت و تمام نامنفی و ماتریس هایی که تحت توان هادامارد تمام مثبت و تمام نامنفی باقی می مانند را ارائه خواهیم کرد. ارائه مثال هایی که از این خاصیت پیروی نمی کنند نیز از نتایج این پایان نامه است.

معادلات انتگرالی در بسیاری از زمینه ها کاربرد دارند از جمله کاربردها مدل ریاضی ایرفویل هواپیما می باشد. بدین منظور ضمن معرفی انواع معادلات انتگرالی وسپس به دست آوردن مدل ریاضی آن با استفاده از چندجمله ای های نوع سوم و چهارم چبیشف حل تقریبی معادله ایرفویل ارائه می شود و نشان داده می شود که اگر تابع معلوم نیرویی درجه سوم باشد حل تقریبی و دقیق یکسان می شوند.

هدف ما در این پایان نامه بررسی حل پذیری معادله عملگری c = b ax است. برای این منظور لازم است ابتدا با معکوس داخلی یک عملگر آشنا شویم. در ادامه خواهیم گفت که عملگر a یک معکوس داخلی کران دار دارد اگر و تنها اگر ( a) r بسته باشد. هم چنین شرط لازم و کافی برای این که معادله c = b? cb? aa برای هر معکوس داخلی ? a از a و ? b از b برقرار باشد، حل پذیری معادله c = axb می باشد. خواهیم دید که بسته بودن برد عملگرهای a، b یا c یکی از شرایط حل پذیری معادله c = axb است. نشان می دهیم که یکی از شرایط وجود جواب های مثبت معادله c = axb، عبارت است از ( ? a) r ? ( b) r، که در قضیه (? . 1 .?) و نتیجه (1? . 1 .?) توضیح داده شده است. در این پایان نامه به قضایای مهمی از قبیل قضیه داگلاس و قضیه سباستین و نتایجی از آن ها اشاره خواهیم کرد. هم چنین در انتهای این پایان نامه حالت خاص معادله عملگری c = axb که به صورت ?// ( a ) r q = axb می باشد، را مورد بررسی قرار خواهیم داد. واژه های کلیدی: معادلات عملگری، جواب های مثبت، معکوس تعمیم یافته، معکوس مور-پنروز

در این پایان نامه ابتدا مفهوم دامنه های تربیع در صفحه مختلط را بیان کرده، سپس با استفاده از مفهوم رویه های ریمانی به استخراج یک حالت معادل برای آن می پردازیم. در ادامه نشان می دهیم هر دامنه همبند چندگانه و کراندار با مرز تحلیلی، تقریبا" یک دامنه تربیع است . به طور دقیق تر نشان می دهیم که دامنه تربیعی وجود دارد که به طور همدیس هم ارز دامنه داده شده فوق است .

در این رساله سه دسته دامنه با نامهای دامنه راندل ، دامنه تربیع و دامنه تربیع مثبت ، با علامتهای اختصاری ، به ترتیب ، ‏‎r‎‏ ، ‏‎qd‎‏ ، ‏‎pqd‎‏ ، از فضای ‏‎rn‎‏ را تعریف کرده ، به بررسی روابط بین این دامنه ها می پردازیم. به طور خاص چهار مسئله زیر را مورد توجه قرار می دهیم. الف : هم ارزی دامنه های تربیع مثبت و دامنه های راندل . ب : شرایط هم ارزی دامنه های تربیع و دامنه های تربیع مثبت . ج : چگال بودن در فضای توابع. د: معرفی شرایط کافی برای دامنه های تربیع مثبت.

در این پایان نامه ابتدا به معرفی مفهوم جدید فضاهای نرمدار احتمالی پرداخته و سپس بعضی خواص پیوستگی مرتبط با این فضاها را بررسی نموده و به وسیله یک مثال نشان داده می شود که با وجود اینکه در حالت کلی این فضاها، فضای برداری توپولوژیک نمی باشند ولی با نهادن شرط نسبتا ضعیفی به یک فضای برداری توپولوژیک تبدیل می شوند. در ضمن نشان داده می شود هر فضای ‏‎pn‎‏ را می توان درون فضایی کامل جا داد . در مرحله بعد به تعمیم مفهوم کرانداری به فضاهای نرمدار احتمالی پرداخته و در نهایت زیرمجموعه های خاصی از فضای عملگرهای خطی بین دو چنین فضا را در نظر گرفته و شرایطی را بررسی خواهد نمود که تحت آن این زیرمجموعه ها به زیرفضا تبدیل شوند.

تلاشهای جدید توسط مولف های گوناگون ، بررسی مفهوم میانگین پذیری و میانگین پذیری ضعیف جبرهای باناخ تعریف شده روی گروههای موضعا فشرده است. یکی از ابزارهای اصلی در این زمینه این است که هر تصویر همومورفیسم پیوسته از یک جبر میانگین پذیر ، میانگین پذیر است. در این پایان نامه این موضوع در خصوص میانگین پذیری ضعیف مورد بررسی قرار می گیرد. این خاصیت برای میانگین پذیری ضعیف در حالت کلی درست نیست، اما می توان شرایطی مناسب برقرار کرد تا این نتیجه برای میانگین پذیری ضعیف جبرهای باناخ نیز صادق شود.