یکی از جالب توجه ترین نتایج در سیستم های دینامیکی گسسته یک بعدی قضیه شارکوفسکی است که به خاطر مفروضات ساده ونتایج قوی در سیستم های گسسته یک بعدی از اهمیت خاصی برخوردار است. این قضیه بیان می کند که اگر یک نگاشت پیوسته باشد و یک نقطه تناوبی از دوره تناوب اول داشته باشد، آن گاه یک نقطه تنـاوبی از دوره تنـاوب اول که در ترتیب شـارکوفسکی ، دارد. عکس این قضیه می گوید که برای هر عدد صحیح مثبت یک نگاشت پیوسته روی بازه وجود دارد به طوری که نقاط تناوبی از دوره تناوب اول دارد اما نقاط تناوبی از دوره تناوب اول ندارند برای هر عدد صحیح مثبت که جلوتر از در ترتیب شارکوفسکی قرار دارد یعنی . در فصل اول ابتدا مختصری درمورد اهمیت قضیه شارکوفسکی و سپس تعریف ها و مفاهیم اولیه مورد نیاز برای اثبات های ارائه شده بیان می شود. سپس دو اثبات مختلف برای قضیه شارکوفسکی که توسط بلاک وهمکارانش در سال 1980 ارائه شده می آوریم. این دو اثبات شبـاهت هـای زیـادی دارند. درآن هـا ایده روشن و واضح است امـا جزئیـات کمی پیچیـده به نظر می رسند. مطالعه یک اثبات به فهم اثبات دیگر کمک زیادی می کند. در ادامه ابتدا وجود دور استفان و سپس با استفاده از آن قضیه شارکوفسکی ثابت می شود. در پایان اثبات های بو-سن دو بیان می شود. در مورد عکس قضیه شارکوفسکی مثال هایی وجود دارند که در کتاب هایی مختلف پراکنده اند. این مثال ها بیشتر مربوط به نگاشت هایی هستند که نقاط تناوبی از دوره تناوب اول 5 دارند اما نقاط تناوبی از دوره تناوب اول 3 ندارند. به هرحال در مقاله ای که توسط استفان نوشته شده است یک روش کلی برای تولید نگاشت هایی که نقاط تناوبی از دوره تناوب اول دارند اما نقاط تناوبی از دوره تناوب اول ندارند، ارائه شده است. به علاوه با استفاده از دو برابر کردن نگاشت ها، نگاشت هایی ساخت که برای هر عدد صحیح مثبت وهر عدد نامنفی ، نقاط تناوبی از دوره تناوب اول دارند اما نقاط تناوبی از دوره تناوب اول ندارند. با استفاده از همین روش می توانست نگاشت هایی بسازد که نقاط تناوبی از دوره تناوب اول دارند اما نقاط تناوبی از دوره تناوب اول ندارند. در فصل دوم یک روش ساده برای ساختن چنین نگاشت هایی ارائه می دهیم که درمقاله ای توسط صابر الیدی آمده است. سپس معادل عکس قضیه شارکوفسکی را بیان و به دو روش اثبات می کنیم. در پایان دو نگاشت دیگر دو برابر کننده دوره تناوب که توسط سن دو ارائه شده ، آورده شده است