درسالهای اخیر چندین توسیع وتعمیم برای کلاس توابع محدب در نظر گرفته شدکه یک تعمیم قابل ملاحظه آن توابع شبه محدب بود. تابع را یک تابع شبه محدب می نامیم هرگاه یک مجموعه شبه محدب، غیرتهی باشد.به شرط آنکه یک تابع برداری مقدار موجود باشد به طوریکه رابطه ذیل برقرار باشد شبه تحدب دربهینه سازی غیرخطی وشاخه های ناب علوم کاربردی، بسیار موثراست که اولین بارتوسط شخصی به نام هانسون [14] در سال 1981 ارائه گردیدکه کارما درواقع الهام گرفته ازاین ایده بزرگ هانسون می باشد.وبعدازآن ویرو موند [26] درسال 1988 و اسلام نور [13] درسال 1995 مطالعاتی راجع به خواص پایه ای توابع پیش شبه محدب ونقش آنها در بهینه سازی و مسائل برنامه نویسی ریاضی داشتند. سپس شخصی به نام آنتزاک مقاله ای تحت عنوان"mean value in invexity analysis " رادرسال 2005 ارائه داد که درواقع به بحث وبررسی خواص قضیه مقدار میانگین روی مجموعه های شبه محدب و کاربردهای آن پرداخت. البته بحث اصلی این مقاله راجع به برقراری قضیه مقدار میانگین برای توابع لیپ شیتز موضعی است که اولین بار توسط لبرگ [17] در سال1979 ارائه گردید و آنتزاک آن را برای توابع تعریف شده روی مجموعه های شبه محدب تعمیم داد و قضیه را با استفاده از وجود نقطه بحرانی ثابت کرد.سپس یک ایرانی به نام سلیمانی توانست قضیه مقدار میانگین آنتزاک را با استفاده از ایده کلارک[6] اثبات کند. در فصل سوم این رساله نوع جدیدی از قضیه فوق را عنوان و خواص آنرا بررسی می کنیم که تفاوت اساسی این مدل با نوع قبلی در این است که مسیرهای چند جهتی را به طور همزمان ارزیابی می کند. در واقع هدف تخمین نرخ رشد در چند جهت همزمان می باشد فرم نا معادله قضیه مقدار میانگین به شکل ذیل می باشد : فرض کنید حداقل یکی از فشرده باشند و آنگاه یک نقطه z درغلاف محدب وجود دارد به طوریکه