حلقه های ارزیاب، ارزیاب گسسته و دامنه های ددکیند سالهاست که مورد مطالعه قرار گرفته اند. خواص و روابط بین آنها در کتابهای جبر جابجایی زیادی آورده شده است. بحث مدولهای ددکیند اولین بار در سال 1996 توسط a.g. naoum و f.h. al-alwan معرفی شدند. آنها مفهوم دامنه های ددکیند را به نظریه مدولها تعمیم دادند. بعد از آن در سال 2004 ، m. alkan و y. tirasو در سال 2005، m. alkan, b. sarac و y.tirasسایر مفاهیم مثل به طور صحیح بسته بودن را به نظریه مدولها تعمیم دادند و ویژگیهای دیگر مدولهای ددکیند را مشخص کردند و به برخی خواص برای مدولهای ددکیند، بمانند خواص آنها در حلقه ها دست یافتند. ما با معرفی و تعمیم برخی مفاهیم دیگر از نظریه حلقه ها به نظریه مدولها مثل مدولهای ارزیاب و ارزیاب گسسته سعی کرده ایم تا مفاهیم مشابهی برای مدولهای ددکیند مانند بحث نظریه حلقه ها بدست آوریم. ایده آلهای قویا اول و دامنه های شبه ارزیاب توسط john r.hedstrom و evan g. houston در سال 1978 معرفی شدند و بعد از آن ریاضیدانان زیادی در این زمینه کار کردند و نتایج فراوانی بدست آوردند. ما با معرفی و تعمیم زیر مدول های قویا اول و مدولهای شبه ارزیاب برخی نتایج جالب برای آنها بدست آورده ایم. سرانجام شرط لازم و کافی برای برقراری این خاصیت معروف که رادیکال اشتراک دو زیر مدول با اشتراک رادیکال آنها برابر باشد را برای مدولهای آزاد از مرتبه دو، روی دامنه های ایده آل اصلی بدست آورده ایم.

در این پایان نامه ، اگر r مشبکه تقریباً توزیع پذیر باشد،ایده آل اول مینیمال وابسته به ایده آل i راتعریف وثابت می کنیم که اگر i ایده آل وs زیرمجموعه ضربی بسته از r باشد بطوری که اشتراک i,s تهی باشد آن گاه یک ایده آل اول مینیمال وابسته بهi مانندm وجوددارد که اشتراک m,sتهی است .بالاخره نشان می دهیم اگر i ایده آل از r باشد آن گاه ایده آل p از r یک ایده آل اول مینیمال وابسته به i است اگروفقط اگر برای هر x متعلق به pوجودداشته باشد yکه عضو p نباشد به قسمیکه ویج x,yمتعلق یه pباشد

در این پایان نامه مدول های ارزیاب و شبه ارزیاب را روی یک قلمرو صحیح معرفی کرده و با مثالی نشان می دهیم هر مدول ارزیاب در حالت کلی شبه ارزیاب نیست در حالی که این ویژگی در حلقه ها برقرار است. در ادامه شرایط کافی برای برقراری این ویژگی را برای مدولها ارائه می کنیم. سپس زیرمدول های قویا تحویل ناپذیر را معرفی نموده و مدول هایی که زیرمدول قویا تحویل ناپذیر دارند را مشخص می کنیم.

در این پایان نامه، ضمن معرفی نیم مدول و زیر نیم مدول، برخی نتایج پایه ای درباره ایده آل های اول وابسته، بدون درنظر گرفتن زیر نیم مدول های اولیه یا تجزیه اولیه را بررسی می کنیم. در ادامه برخی ویژگی های زیر نیم مدول های اول ضعیف، اولیه ضعیف و اول از نیم مدول ها را روی نیم حلقه ها مطالعه می کنیم. پس از آن برخی نتایج که از روی مدول های هم اتمی و نیم ساده در حلقه های جابجایی به نیم مدول های هم اتمی و نیم ساده روی نیم حلقه های جابجایی توسیع داده شده است، را مطالعه می کنیم. همچنین تعریف نیم مدول های ضربی با تولید متناهی و m-رادیکال از یک زیر نیم مدول nاز r-نیم مدول m را مرور کرده و برخی از خصوصیات آن ها را مطالعه می کنیم.

فصل اول را به یادآوری برخی تعاریف و قضیه های مورد استفاده در فصل های دیگر اختصاص داده ایم.در فصل دوم، ابتدا مفهوم مدول های خودتوان، به طورکامل خودتوان و نیم اول طبیعی را تعریف و مدول های به طورکامل خودتوان را توصیف می کنیم. ‎ در ادامه بعد از معرفی مدول های پوچ توان، زیرمدول اول، مدول هم ضربی و مدول هم نیم ساده، ارتباط مدول های به طورکامل خودتوان را با این مدول ها بیان می کنیم. سپس با معرفی زیرمدول خالص-کوهن، مدول منظم فیلدهوس و مدول به طورکامل خالص، ارتباط این مدول ها را (با شرط ضربی بودن مدول) ذکر می کنیم. در پایان این فصل بعد از معرفی (cl(n و مدول طیفی نشان می دهیم که اگر r-مدول m‎،به طورکامل خودتوان باشد، آنگاه هر زیرمدول با تولید متناهی از mدوری است.در فصل سوم، ابتدا به معرفی مدول های هم خود توان، به طورکامل هم خود توان، زیرمدول کاملا تحویل ناپذیر و زیرمدول هم نیم اول طبیعی پرداخته و ارتباط این مفاهیم با یکدیگر را ذکر می کنیم. بعد از آن به بیان ویژگی های مدول های به طورکامل هم خودتوان پرداخته و نشان می دهیم که اگر m یک مدول ضربی هم نیم ساده باشد، آنگاه m مدول به طورکامل خودتوان است. در ادامه ویژگی های مفیدی را برای زیرمدول های هم خالص از یک مدول هم ضربی ذکر می کنیم. پس از آن رابطه بین مدول های به طورکامل خودتوان (به طورکامل خالص) با مدول های به طورکامل هم خودتوان (به طورکامل هم خالص) را مورد بررسی قرار می دهیم. در پایان نشان می دهیم که اگر m یک مدول به طورکامل هم خودتوان با تولید متناهی باشد، آنگاه ‎m مدولی نیم ساده است.

مطالعه‎‎‎‎ گروه ها با استفاده از پایاهای (کو)همولوژیکی‏، چون نقش موثری در مطالعه ی خواص (کو)همولوژیکی گروه دارند‏، سالهاست که مورد توجه ریاضی دانان قرار گرفته است. پایای کوهمولوژیکی که توسط گدریخ ‎ و گرونبرگ ‎معرفی شد‏ه اند‏‏. ‎‎ splig‎‎‏سو‎‎‏پریمم بُعد تصویری ‎‎‎g‎‎‎‏ -مدول های تزریقی و silp‎g‎‎‎‎‏‎ سوپریمم بُعد تزریقی‎‎‎‎g‎‎‎‏ -مدول های تصویری می باشند. ‏مادراین پایان نامه نشان می دهیم که گروه ‎‎‎‎g‎ متناهی است اگر و تنها اگر هر ‎g‎‎‎‎‎ -مدول ‏تزریقی دارای بُعد تصویری یک باشد. ‎ هدف دیگری که در این پایان نامه مورد مطالعه قرار می گیرد‏، توصیف هایی برای گروه های ‏به طور موضعی متناهی با استفاده از مدول های تزریقی است. نشان می دهیم که گروه ‎g به طور موضعی متناهی است اگر و تنها اگر‎tor‎^{z‎g}‎_{1}(m,i)=0‎ ‎‏برای هر ‎g ‏مدول‏ تزریقی ‎‎‎ ‎‎‎i‎‎‎و ‎‎‎‎g‎‎‎‏‎ -مدول ‎‎‎‎m‎‎ که به عنوانz‎ -مدول آزاد است. در آخر‏، متناهی بودن یک گروه ‎g‎‎‏‎ که با تولید متناهی است را به متناهی بودن بُعد تزریقی مدول های القایی مربوط می کنیم. همچنین رابطه بین متناهی بودن گروه g‎ و متناهی بودن بُعد تصویری مدول های هم القایی را مورد مطالعه قرار می دهیم. ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎}

در فصل اول این پایان نامه اشاره ای به مفاهیم اولیه مورد نیاز برای فضای هیلبرت, قاب ها, عملگرها و ضرب های تانسوری داریم. در فصل دوم مفهوم قاب ترکیبی را بیان کرده و ارتباط میان عملگر های ترکیب قاب ترکیبی بسلی و قاب مربوط به آن را می یابیم و پایداری دنباله های قاب ترکیبی را تحت آشفتگی مورد بررسی قرار می دهیم و در فصل سوم تعریفی جدید از پایه ترکیبی ریس را ارائه کرده و برخی ویژگی های آن را بیان می کنیم.

یک حدس از مور‎‎ ادعا می کند که اگر ‎g‎ یک گروه و ‎h‎ زیرگروهی از آن با اندیس متناهی باشد، به طوری که ‎g-h‎ دارای هیچ عنصری از مرتبه ی عددی اول نباشد، آن گاه یک ‎-zg‎مدول ‎m‎ که بر ‎zh‎ تصویری است، بر ‎zg‎ نیز چنین می باشد. این حدس به وسیله ی چوینارد‎‎ برای گروه های متناهی ثابت شده است. در این پایان نامه ما حدس مور را در دو حالت خاص ثابت می کنیم. ابتدا در حالتی که g یک h1f-گروه و سپس در حالتی که g یک hf-گروه باشد و ‎m‎ یک ‎-zg‎مدول با تولید متناهی باشد. همچنین در این پایان نامه، ما مشابه این حدس را برای مدول های تزریقی مطرح کرده و نشان می دهیم که درستی این حدس برای مدول های تزریقی، اعتبار آن برای مدول های تصویری و یکدست را تضمین می کند. در ضمن، ثابت می کنیم که اگر ‎g‎ یک ‎-lhf‎گروه باشد، آن گاه حدس مور برای مدول های تزریقی معتبر است. به علاوه، نشان می دهیم که اگر ‎h‎ زیرگروهی از ‎g‎ با اندیس متناهی باشد، آن گاه یک ‎-zg‎مدول تصویری گرنشتاین (تزریقی گرنشتاین) است، اگر و فقط اگر به عنوان zh-مدول چنین باشد.

در این پایان نامه,ابتدا زیر مدولهای قویااول را تعریف کرده و برخی از ویژگی های آنهارا بیان می کنیم. سپس رابطه ی آنهارا با زیر مدولهای اول و ماکسیمال مورد مطالعه قرار می دهیم در ادامه برخی خواص g-زیر مدول هاو مدول ژاکوبسون را بررسی می کنیم در انتها بعد کلاسیک کرول و بعدقوی را بیان کرده و رابطه ی این دو در برخی مدول ها بررسی می کنیم لازم به ذکر است که در سراسر این پایان نامه,حلقه ها,جابجایی و یکدار و مدول ها یکانی اند.

مفهوم مدولهای بسته، برای اولین بار در سال 1976میلادی توسط گودیرل (goodearl) تعریف شد و مورد مطالعه قرار گرفت. وی نتایج مهمی را برای این مدولها بدست آورد. پس از آن مدول های نیم بسته معرفی شده و مورد مطالعه و بررسی قرار گرفتند. در سال 1981 مفهوم مدول های توسعه یافته توسط دانگ و هوین (dung, huynh) مطرح شد. ما در این پایان نامه، ضمن معرفی این مفاهیم و بیان برخی خواص و نتایج آنها، جمعوند مستقیم زیرمدولها را نیز مورد مطالعه قرار می دهیم. در ضمن تعریف مدولهای کاملا پایدار و تعریف دوگان این مدولها را نیز ذکر می کنیم. بعد از آن خواص دوگان مدول های کاملا پایدار را که توسط عباس (abbas) معرفی شده را ذکر کرده و ارتباط آنها را با سایر مدولهای تعریف شده، بررسی می کنیم.

در این پایان نامه مباحثی از نظریه مدول ها، تحت عنوان ads ‏مدول ها و ads* مدول ها را معرفی کرده و ارتباط آن ها را با مفاهیمی چون مدول های ‏شبه پیوسته‎‏، نیم کامل و پیوسته و زیرمدول های متمم و مکمل شده بیان می کنیم. بعد از آن برخی از خصوصیات ads مدول ها را بیان می کنیم. در ادامه مفاهیمی چون زیرمدول افزایشی، ‎نیم کامل‎‎‎‎،‎‎ نیم آرتینی و نامنفرد را معرفی کرده و ارتباط این زیرمدول ها را با مدول های ads مدول ها و ads* مدول ها مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه ضمن یادآوری تعریف مدول ضربی و بیان برخی خواص آن تعریف مدول هم ضربی را بیان کرده و شرایط معادل گوناگونی را برای هم ضربی بودن یک مدول ذکر می کند در ادامه رابطه ی بین مدول های هم ضربی با برخی مفاهیم مطرح شده در نظریه مدول ها مانند مدول های هم دوری بیان می کنیم.

در این پایان نامه، زیرمدول های اول و اولیه برخی از مدول ها را مورد بررسی قرار داده ایم. ابتدا تمام زیرمدول های اول ‎$r oplus r$‎ را می یابیم. سپس رادیکال زیرمجموعه ای از یک مدول آزاد را معرفی می کنیم و با استفاده از تعریف مدول های فارغ از تاب، مدول های نیمه فارغ از تاب و شبه فارغ از تاب را تعریف و نتایجی را بیان و اثبات می کنیم. در نهایت برخی از زیرمدول های اول مدول آزاد با تولید متناهی را می یابیم و برای نتایج به دست آمده مثال هایی را بیان می کنیم.