فرض کنید gیک گروه، زیرگروه h از gرا ساکن گویند هرگاه به ازای هر g?g ، اندیس h?h^g در h متناهی است. واضح است که زیرگروه های نرمال، زیرگروه های متناهی و زیر گروه های با اندیس متناهی مثال هایی بدیهی از زیرگروه های ساکن اند. هرگاه هر زیرگروه gساکن باشد gرا تماماً ساکن گویند و با نماد tin نشان می دهند. از خواص گروه های تماماً ساکن این است که زیرگروه و تصویر همریخت گروه تماماً ساکن، گروه هایی تماماً ساکن است ولی خاصیت توسیع در این نوع گروه ها برقرار نیست.گروه های آبلی و گروه های متناهی نمونه هایی از گروه های تماماً ساکن است و نشان خواهیم داد که هیچ گروه نامتناهی، ساده، موضعاً متناهی و تماماً ساکن وجود ندارد.

فرض کنید g یک گروه باشد. در این گراف توانی وابسته به گروه g که بال نماد g نشان داده می شود، گرافی است که رأس های آن عناصر گروه p(g) مجاورند هرگاه یکی از آن ها توانی از دیگری باشد. در این رساله گراف های توانی مسطح و کامل گروه ها را طبقه بندی کرده و عدد خوشه ای و رنگی آن ها را محاسبه می کنیم. هم چنین، کران های بالا و پایینی برای عدد استقلالی این گراف ها ارائه خواهیم کرد و نشان خواهیم داد که گراف توانی تام است. علاوه براین و دور به طول ? از گراف توانی، گروه k?;?;k?; با حذف بعضی از زیرگراف های القایی خاص همانند ?های متناظر با این گراف ها را طبقه بندی خواهیم کرد. با توجه به این که گراف توانی گروه های متناهی تعریف p(g) را با حذف عنصر همانی از مجموعه رئوس (g) همواره همبند است، گراف سره توانی،می کنیم که لزوماً همبند نیست. نهایتاً، همبندی گراف سره توانی گروه های پوچتوان، گروه های با افراز غیر بدیهی، گروه های متقارن و متناوب را مورد بررسی قرار می دهیم.