مسئله ی نابرابری تغییراتی با نگاشت های مجموعه-مقدار در اقتصاد و بهینه سازی بسیار سودمند است. توابع شکاف نقش مهمی در تبدیل کردن یک مسئله ی نابرابری تغییراتی به یک مسئله ی بهینه سازی بازی می کنند. سپس الگوریتم ها و روش های حل یک مسئله ی بهینه سازی می توانند برای پیدا کردن جواب یک نابرابری تغییراتی به کار روند. در این پایان نامه ابتدا توابع شکاف برای نابرابری های تغییراتی را به یک نگاشت مجموعه-مقدار برای نابرابری های تغییراتی برداری تعمیم می دهیم. یک مسئله ی جالب آنست که مسئله ی بهینه سازی فرمول بندی شده با استفاده از توابع شکاف می تواند به مسئله ی برنامه ریزی نیم-نامتناهی تبدیل شود. پس یک روش حل برای نابرابری تغییراتی برداری با نگاشت های مجموعه-مقدار از طریق مسئله های برنامه ریزی نیم-نامتناهی به دست می آید. ما توابع شکاف را برای چندین نوع نابرابری پیش تغییراتی و نیز یک کلاس جدید از نابرابری های تغییراتی برداری تعمیم یافته با نگاشت های نقطه-به-مجموعه معرفی کرده و نشان می دهیم که توابع شکاف اسلندر که برای تبدیل نابرابری های تغییراتی به یک مسئله ی مینیمم سازی هم ارز به کار می رود، مشتق پذیر در حالت تعمیم یافته است و یک مشتق ضمنی پایین تحت شرایط مناسب دارد. در ادامه توابع شکاف را برای دو کلاس از مسئله های شبه تعادلی برداری و نیز برای چندین نوع از مسئله های تعادلی برداری بررسی کرده و در پایان مشتقات جهتی کلارک-راکفلر توابع شکاف منظم را برای مسئله ی نابرابری تغییراتی تعریف شده به وسیله ی یک تابع موضعاً لیپ شیتز مطالعه و یک راه جدید برای قضیه ی دوگان در مسئله های بهینه سازی برداری خطی ارائه می دهیم