فرض کنیم g یک گروه و n زیر گروه نرمال آن باشد، در این رساله با متمرکز شدن روی جفت (g, n)به بررسی جفت های توانا، کامل و پوچ توان می پردازیم. در ابتدا برای یک جفت از گروه ها مفهوم مرکز دقیق را معرفی می کنیم و نشان می دهیم این زیرگروه یک محک برای توانا بودن یک جفت از گروه ها مشخص می کند. به علاوه این محک را با محک ارائه شده توسط الیس در[6] مقایسه می کنیم. در انتها طبقه بندی کاملی برای جفت های آبلی متناهیا تولید شده توانا ارائه می دهیم. لدی در [19] مفهوم کامل بودن را برای یک جفت از گروه ها معرفی کرده است. ما در این رساله یک شرط لازم و کافی برای کامل بودن یک جفت به دست می آوریم. هم چنین یک گسترش مرکزی نسبی برای یک جفت کامل می یابیم که جفت پوششی برای آن است و نیزعضو جهانی در رسته rce (g, n) است. نهایتا مفاهیم جفت پوششی و جفت کامل را به چند گونای پوچتوان تعمیم می دهیم. در پایان مفاهیم پوچتوانی، سری های مرکزی بالایی و پایینی، به طور باقیمانده ای پوچتوان و هاپفین را برای یک جفت از گروه ها تعریف می کنیم که منجر به نتایج جدیدی در بحث گروه های پوچ توان می شود. هم چنین نشان می دهیم جفت های به طور باقیمانده ای پوچتوان از گروه های متناهیا تولید شده هاپفین است.

در این پایان نامه، رسته ای از سیستم ها روی یک نیم گروه (رده تکریختی های خالص)، بر اساس نوعی خاص از تکریختی های خالص با روشی برگرفته از روش گولد را مورد مطالعه قرار می دهیم. سپس به تفصیل به بررسی سه نوع اساسی بودن نسبت به این رده می پردازیم و چند معیار مفید جهت ویژگی های داخلی آن ها ارائه می دهیم. سرانجام ارتباط بین انژکتیوی، اساسی بودن، درون بری و پوشش های انژکتیوی نسبت به رده ی تکریختی های خالص دنباله ای را مورد بررسی قرار می دهیم.

قضیه ی شور بیان می کند که برای گروه g، متناهی بودن g/z(g)، متناهی بودن g را نتیجه می دهد. عکس این قضیه در حالت کلی برقرار نیست. در این پایان نامه نشان می دهیم که تحت شرایطی، عکس قضیه ی شور برقرار است. و کران هایی مناسب برای گروه خارج قسمتی g/z(g) پیدا می کنیم. در واقع نشان می دهیم که اگر g متناهیاً تولید شده باشد به طوری که g متناهی باشد، آن گاه g/z(g) متناهی است. و اگر g گروهی دلخواه باشد و d(g/z(g)) و g متناهی باشند آن گاه. |g/z(g)| ?| g|d(g/z(g)) که d(x)، حداقل تعداد مولدهای گروه x است. هم چنین در این پایان نامه گروه هایی را معرفی می کنیم که در عکس قضیه ی شور صدق می کنند.

فیلیپ هال در سال ‎1940‎ مفهوم آیزوکلینیسم را معرفی کرد. هم چنین مفهوم کلی تر از آیزوکلینیسم را، ‎n-‎آیزوکلینیسم نامید. در این پایان نامه، مفهوم ‎n-‎آیزوکلینیسم را به کلاس همه جفت گروه های ‎ (g,m) ‎ تعمیم می دهیم، که ‎m‎ زیرگروه نرمال ‎g‎ می باشد. جزئیات این مفهوم را مورد مطالعه قرار می دهیم و شرایط معادل دو جفت از گروه ها را برای ‎n-آیزوکلینیک بیان می کنیم. به علاوه، مفهوم زیرگروه و خارج قسمت تحویل ناپذیر برای جفت گروه ها معرفی کرده و قضایای مربوط به آن را اثبات می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا چند تعریف اساسی را بیان می کنیم و در ادامه هدف اصلی نگارش این رساله را عنوان می کنیم. یک شبه گروه ) . (q , را که شامل عضو همانی 1 باشد, یک طوقه می نامیم. حال اگرq یک طوقه متناهی باشد, آن گاه می توانیم به ازای هر عضو a در q دو جایگشت ra و la را روی q la(x)=a.x ) و ra(x)=x.a) تعریف کنیم. در نتیجه < la , ra : a ? q > m(q)=را گروه ضربی از q و i(q) را گروه نگاشت داخلی از طوقه q می نامیم. این دو گروه که نظریه ی طوقه ها و نظریه ی گروه ها را به هم مرتبط می کند توسط براک در سال 1946 معرفی شد و او اولین کسی بود که به بررسی ساختار طوقه ها با به کار گیری نظریه گروه ها پرداخت. فرض کنیم g یک گروه و h یک زیرگروه آن باشد. در این صورت g?g hg ? را هسته h در g گوییم و با نماد lg(h)=hg نمایش می دهیم. اگر گروهی هم چون g با گروه نگاشت داخلی از یک طوقه هم چون q, (inn(q)) یکریخت باشد, آن گاه g را یک گروه طوقه ای توانا می نامیم. هدف اصلی ما در این پایان نامه در حقیقت پاسخ به این سوال است که آیا همه ی گروه های آبلی می توانند طوقه ای توانا باشند یا نه؟ که در پاسخ به این سوال نیمنما ثابت می کند گروه های آبلی متناهی با هسته نابدیهی نمی توانند طوقه ای توانا باشند, لذا به کمک این حکم ساختار برخی گروه های آبلی متناهی که نمی توانند طوقه ای توانا باشند تعیین می شود که هدف اصلی این رساله می باشد.

هدف از انجام این پایان نامه معرفی مفهوم جدیدی از پوچ توانی است، که بین پوچ توانی گروه و زیر گروه آن قرار می گیرد. به عبارت دقیق تر برای گروه g و یک زیر گروه نرمال آن مانند n، مفهوم پوچ توانی را برای جفت (g , n) معرفی می کنیم. در واقع این مفهوم به گونه ای معرفی می شود که پوچ توانی g ، پوچ توانی (g , n) را نتیجه می دهد و پوچ توانی (g , n) ، باعث می شود n پوچ توان باشد. فرض کنید v چند گونای گروه ها باشد که توسط مجموعه قوانین v تعریف می شود.در این پایان نامه ابتدا به معرفی سری های v- لفظی پایینی و v – حاشیه ای ای پایینی و v – حاشیه ای بالاییاز g می پردازیم. سپس نشان می دهیم اگر n یک زیر گروه نرمال مینیمال از گروه v – پوچ توان g باشد، آنگاه n در زیر گروه حاشیه ای g قرار می گیرد.

با در نظر گرفتن m به‎ عنوان کلاسی از همه تکریختی ها در رسته a ، برای‎ مفاهیم ریاضی ‏نظیر انژکتیوی‏، حاصلضرب های تانسور و یکدست بودن نیاز به اطلاعات جبری بیشتری در خصوص زوج (a,m) داریم. ‎در‎ این پایان نامه a را‎‎‎‎‎‎ رسته همه ‎‎-sسیستم ها روی نیم گروه s و m_d را کلاس تکریختی های چگال دنباله ای در نظر می گیریم.در این خصوص مفاهیمی از قبیل حد و هم حد ا‏ین زوج ها را مورد مطالعه قرار می دهیم.بخشی از پایان نامه به طور مختصر به مبحث عملگر بستار ‏دنباله ای اختصاص دارد.