فرض کنید s یک نیمگروه با عضو صفر،,∘ و n≥2 باشد. گوئیم s در شرط zcnصدق می کند هر گاه 〖〖 a〗_1 a〗_2…a_n=∘ نتیجه دهد a_(σ(n) ) =∘ ... a_(σ(2)) a_(σ(1))، برای هر جایگشت σϵs_n. یک حلقه r در شرط zcn صدق می کند هر گاه ( r , . ) در شرط zcn صدق کند. در این پایان نامـه بـه بررسی مقاله ]2[ از v. camillo و d.d. anderson می پردازیم. نشـان می دهیم یک نیمگروه که فاقد عضو پوچ توان ناصفر است، در شرط zcn برای هر n≥2 صدق می کند و به بررسی حلقه هایی که در شرط zcnصدق می کنند، می پردازیم. حلقه شرکت پذیر و یکدارr برگشت پذیر نامیده می شود هرگاه، برای هر ab=∘ ,a,bϵr نتیجه دهد ba=∘. در این پایان نامه همچنین به مطالعه حلقه های برگشت پذیر که توسط n.k. kim و y. lee در مقاله ]8[، ارائه شده است می پردازیم. در ابتدا ویـژگی هـا و توسیع های پایه ای حلقه های برگشت پذیر و برخی مفاهیم مرتبط با حلقه های برگشت پذیر، شامل برخی انواع مثال ها را ملاحظه می کنیم. سپس نشــان خواهیــم داد حلقـه هـای چند جملـه ای روی حلقه های برگشت پذیر لزوما برگشت پذیر نیستند، و بحـث را دربـاره بـرگشت پذیـری بـرخـی انـواع حلقـه های چنـد جملـه ای پی خواهیم گرفت. به علاوه نشان خواهیم داد هرگاه r یک حلقه کاهشی باشد آنگاه r[x]/ (xn) یک حلقه برگشت پذیر است، که (xn)ایده آل تولید شده توسط xnو n یک عـدد صحیـح مثبت است؛ و اینکـه بـرای یک حلقـه اُر راست r و حلقه خارج قسمتی راست کلاسیک q،r برگشت پذیر است اگر و فقط اگر q برگشت پذیر باشد.