در این پایان نامه به بررسی مفهوم عدد جمعی یکالی حلقه ها و مدول ها می پردازیم و سپس انواع حلقه های خود انژکتیو راست را معرفی می کنیم و نشان می دهیم که هر عضو از یک حلقه خود انژکتیو راست را می توان به صورت مجموعی از دو یکال از حلقه نوشت اگر وتنها اگر هیچ فاکتوری از حلقه با z_2 یکریخت نباشد. هم چنین عدد جمعی یکالی حلقه ی درون ریختی های یک مدول شبه پیوسته با خاصیت تبادل متناهی را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس در این پایان نامه نشان می دهیم که هر عضو از حلقه ی درون ریختی های یک مدول هم تاب یکدست بصورت مجموعی از دو یکال می باشد اگر و تنها اگر هیچ فاکتوری از حلقه با z_2 یکریخت نباشد. در ادامه ما توانستیم عدد جمعی یکالی مدول های هارادا و گسسته را بدست بیاوریم و نشان دهیم که هر عضو از حلقه ی درون ریختی های یک مدول شبه گسسته با خاصیت تبادل متناهی را می توانیم یه صورت مجموع دو یکال بنویسیم اگر هیچ فاکتوری از حلقه با z_2 یکریخت نباشد.در پایان توانستیم عدد جمعی یکالی حلقه های خوش ترکیب با خود توان های مرکزی را بدست آوریم.

ر این رساله ابتدا به بررسی مفهوم عدد جمعی یکالی حلقه ها و مدول ها می پردازیم و سپس این مفهوم را برای حلقه های بئر منظم و رده ایی از حلقه های بئر $pi$-منظم مورد بررسی قرار می دهیم.هم چنین به بررسی عدد جمعی یکالی رده هایی از حلقه-گروه ها می پردازیم.در ادامه با مفهوم ‎تویین - گود بودن حلقه ها و مدول ها آشنا می شویم و پس از بررسی چندین خاصیت از این حلقه ها نشان می دهیم که هر حلقه ی بئر منظم ‎تویین - گود است.