در مطالعات اخیر، مشتقها و انتگرالهای از مرتبه کسری کاربردهای بسیاری در مکانیک و فیزیک، از جمله در دینامیک آشفتگی، مکانیک کوانتومی و فیزیک پلاسما پیدا کرده اند. تلاشهای جالبی برای دادن مفهوم فیزیکی از مشتق کسری توسط "podlubny" انجام گرفته است. یک هدف تحقیقات در زمینه حساب کسری، تنظیم اصول تغییراتی کسری بود."agrawal" معادله اویلر - لاگرانژ کسری را بر حسب مشتقات کسری ریمان - لیوویل نمایش داده است. در سالهای اخیر اصول تغییراتی کسری به مسائل کنترل و مسائل فیزیکی توسعه داده شده و به کار برده شده اند. تحقیقات روی این مطالب مبتنی بر موارد زیادی از جایگزینی مشتقات کلاسیک به جای مشتقات کسری، مخصوصا مشتقات کسری کاپوتو و ریمان – لیوویل هستند. مطلب دیگر، به کار بستن خاصیتهای حساب کسری برای مشتقات کسری و انتگرال کسری، که تعمیمی از مشابه کلاسیکش برای هر مرتبه هستند، و رسیدن به یک سری از معادلات اویلر – لاگرانژ و معادلات همیلتونی و معادلات همیلتون – ژاکوبی می باشد. در این طرح، نشان داده ایم که حساب تغییراتی کسری می تواند به عنوان تعمیمی از اصول حساب تغییراتی فرمول بندی شود.

در فصل اول از این رساله، کاربرد جالبی از تبدیل لاپلاس را در محاسبه انتگرال ها بیان می کنیم. قضایای مقدماتی در بخش دوم از این فصل اثبات گردیده اند. همچنین در این فصل، وارون تبدیل لاپلاس برخی از توابع با استفاده از قضایایی همچون پُست – ویدر، تیچ مارچ و . . . و با استفاده از نمایش انتگرالی محاسبه می شوند. در ادامه، جواب برخی از معادلات انتگرال منفرد از مرتبه کسری را پیدا می کنیم و آنگاه، تبدیل اشتیلیس و وارون های مختلف آن و حل معادلات انتگرال منفرد با استفاده از وارون تبدیل اشتیلیس را بررسی می کنیم. در فصل دوم، قضیه پست – ویدر در دو بعد و تبدیل لاپلاس دو بعدی و کاربردهای آنها در محاسبه انتگرال ها مورد بررسی قرار گرفته است. قضایای این فصل، تعمیمی از قضایای فصل اول می باشد. در فصل سوم، جواب تحلیلی برخی از معادلات دیفرانسیل معمولی از مرتبه کسری و معادلات تاخیری کسری را جستجو کرده ایم. دستگاه های معادلات دیفرانسیل کسری هم در این فصل مورد مطالعه قرار گرفته اند. چندین روش برای حل معادلات خطی کسری در مقالات مختلف پیشنهاد شده است که از بین آنها تبدیل لاپلاس از اهمیت بیشتری برخوردار است. هدف این فصل، استفاده از تبدیل لاپلاس برای نمایش جواب دستگاه های دینامیکی کسری است. همان طور که می دانیم، دستگاه های دینامیکی معمولی، کاربردهای فراوانی در علوم مهندسی و فیزیک دارند. همچنین توجیه برخی از این دستگاه ها و معادلات، با توجه به قوانین فیزیکی موجود امکان پذیر است. در این فصل، هدف، توضیح معادلات و دستگاه های معمولی در حالت کسری و مقایسه جواب دقیق در حالت کسری با جواب دقیق در حالت معمولی با استفاده از نمودار جواب می باشد. معادلات خطی کسری به دلایل زیادی مورد توجه هستند، زیرا بسیاری از پدیده ها در طبیعت به صورت معادلات خطی فرمول بندی می شوند. از جمله معادلات خطی کسری که در این فصل در نظر گرفته شده، معادله ارتعاش نخ و معادله فنر می باشد. یکی از نکات برجسته در این فصل، حل معادلات کسری تاخیری می باشد. در فصل چهارم، جواب دقیق معادلات با مشتقات جزیی کسری از قبیل معادله موج و گرما و شارش را بر حسب تابع میتگ – لفلر و تابع رایت به دست آورده ایم. همچنین در یکی از قسمت های فصل چهارم، معادلاتی را با استفاده از قضایای فصل اول از جمله قضیه تیچ مارچ حل کرده ایم. از نکات برجسته در این فصل، به کار بستن هم زمان تبدیلات فوریه و لاپلاس برای به دست آوردن جواب تحلیلی معادلات جزیی کسری می باشد. هر جا لازم بوده، با ارائه نمودارها، جواب ها را نمایش داده ایم.