ترک های خستگی یک عامل اصلی از کارافتادگی سازه ها می باشند. به منظور پیش گیری از این گونه خرابی، محققان بسیاری تحقیقات جامعی را به منظور توسعه روش های تست غیرمخرب انجام داده اند. مطالعات نشان می دهد که پاسخ دینامیکی سازه سالم و سازه معیوب متفاوتند و از این تفاوت بر اساس مدلی از سازه معیوب می توان برای تشخیص پارامترهای عیب ( عمق و موقعیت ترک ) استفاده کرد. بسیاری از این مطالعات بر اساس مدل های خطی ترک انجام شده اند. در این مدل ها ترک در سازه به صورت یک شیار همیشه باز در نظر گرفته می شود. با این وجود تحقیقات مختلفی که در طول دهه های اخیر صورت گرفته است نشان می دهد که ترک خستگی واقعی در هنگام ارتعاش باز و بسته می شود که این امر موجب می شود که پاسخ دینامیکی سازه غیرخطی باشد. مشخصه اصلی چنین رفتاری حضور مولفه های سوپرهارمونیک در پاسخ دینامیکی سازه معیوب است. از سوی دیگر روش های عیب یابی خطی که بر اساس مدل های ترک باز انجام می شوند، حساسیت کمی نسبت به حضور ترک های خستگی دارند. اخیراً با توجه به این امرا تلاش های بسیاری به منظور تحلیل ارتعاش سازه های معیوب بر اساس مدل های باز و بسته شونده ترک صورت پذیرفته است. این در حالی است که به دلیل تغییر پارامترهای سیستم در هنگام ارتعاش که از رفتار غیرخطی سیستم نشأت می گیرد، عمده تحقیقات صورت گرفته در این زمینه بر اساس روش های عددی یا المان محدود انجام شده است. در این پژوهش، غیرخطی ارتعاشات آزاد یک تیر یکسرگیردار دارای ترک خستگی از یک دیدگاه تحلیلی و با استفاده از روش اغتشاشات مورد بررسی قرار گرفته است. بدین منظور ابتدا، بر اساس هر دو مدل اصلی موجود در این زمینه، ارتعاشات عرضی تیر ترک دار در مود اول ارتعاشی به صورت یک سیستم یک درجه آزادی با جرم، میرایی و سفتی معادل مدل سازی شده است. مدل جدیدی برای سفتی دوخطی تیر با ترک باز و بسته شونده ارائه شده است. سپس با استفاده از این مدل و توسط عملیات ریاضی معادله دیفرانسیل حاکم بر هر دو مدل به شکل استاندارد قابل تحلیل به روش اغتشاشات نوشته شده است. نتایج نشان می دهد که پاسخ به دست آمده به روش اغتشاشات از دو قسمت تشکیل شده است. بخش اصلی پاسخ، پاسخ سیستمی با میانگین سفتی های معادل سیستم در حالت های کاملاً باز و کاملاً بسته ترک است. این سیستم در اصطلاح سیستم خطی متناظر نامیده می شود. بخش دیگر از جملات تصحیحی تشکیل یافته است که اثرات باز و بسته شده ترک را در پاسخ منظور می کنند. در حقیقت جملات تصحیحی شامل مولفه های سوپرهارمونیک موجود در پاسخ سازه معیوب هستند. بنابراین در تحقیق حاضر رابطه تحلیلی بین دامنه مولفه های سوپرهارمونیک از یک سو و پارامترهای ترک و مشخصه های سیستم از سوی دیگر استخراج شده است.