توسیع یکدار r?t از حلقه های تعویض پذیر را یک fip- توسیع (یا یک توسیع مینیمال) می نامیم هرگاه تعداد متناهی(هیچ) حلقه مثل s که? s ?t r ، موجود باشد. در این پایان نامه بررسی می کنیم که توسیع حلقه ای r?r[u] که u عضوی پوچ توان متعلق به توسیعی از حلقه ی r است، یک fip- توسیع است اگر و تنها اگر ???? u??? باشد. حلقه هایی که تعداد متناهی زیر حلقه دارند نیز مورد بررسی قرار می گیرند.

هدف اصلی این پایان نامه بررسی ویژگی های منظو بودن عناصر یک حلقه نسبت به یک ایدال داده شدi می باشد. یکی از اهداف این پایان نامه بررسی ویژگی های معادل منظم بودن در حالت i=r برای ایدال دلخواه i بدست می آید. بویژه ما مجموعه یکال های حلقه r،( (r u را با مجموعه u(r) = {uui = iu = i } جایگزین خواهیم کرد و با استفاده از این یکال های نسبی، مفاهیمی مانند برد پایا و یکال منظم را تعمیم می دهیم. همچنین خواهیم دید که با فرض اینکه مجموعه یکال های نسبی، فاقد مقسوم علیه صفر باشد، چند نتیجه جالب بدست می آوریم.

در این پایان نامه به بررسی ویژگی های حلقه های صفربعدی می پردازیم. آنچنان که در اغلب کتاب های جبر مقدماتی می توان ملاحظه کرد، هر ایدآل ماکسیمال از یک حلقه ی تعویض پذیر، ایدآلی اول از آن حلقه نیز می باشد. حلقه هایی که در آن ها عکس گزاره ی اخیر نیز برقرار است به حلقه های صفربعدی معروف اند و از دیر باز مورد علاقه ی جبردانان بوده اند. از این قبیل حلقه ها می توان به حلقه های آرتینی، بولی و دامنه ی ایدآل های اصلی اشاره نمود. همچنین یکی از دسته های بسیار شناخته شده و مورد توجه از حلقه های صفربعدی، حلقه های منظم(ون نیومن) می باشد. پس از ارایه ی مفاهیم و مبانی مورد نیاز برای مطالعه ی این نگارش در فصل آغازین، که آن را صفر نامیده ایم، فصل اول را با رویکرد ارایه ی شناخت دقیق تری از ویژگی های حلقه های صفربعدی و منظم و طرح و اثبات گزاره های معادل در باب آن ها نگاشته ایم. کوشیده ایم تا با بررسی موشکافانه ی این دو دسته از حلقه ها از منظرهای گوناگون، از جمله چگونگی ارتباط آن ها با حلقه های ?- منظم، جمعی- منظم، حلقه ی چندجمله-ای ها و همچنین شروط زنجیری ، شناخت کاملی از ساختار آن ها را ارایه نماییم. به علاوه، در بخش دیگری از این فصل بر مفهوم ابرحلقه ی صفربعدی مینیمال متمرکز گشته و نشان داده ایم که اگر زیرحلقه ای از حلقه ی صفربعدی باشد، ابرحلقه ی صفربعدی مینیمال یکتای بر و مشمول در وجود دارد که حلقه ی تام کسرهای یک ابر حلقه ی صحیح بر می باشد. اثبات وجود ابرحلقه ی مذکور را با برهان های گوناگون همراه ساخته ایم و در این مسیر از مفهوم جبر بول و همچنین مفهوم وارون موضعی بهره برده ایم. بخش پایانی فصل اول را با محوریت پژوهش پیرامون شرایط لازم و کافی برای آن که حلقه ای چون در یک حلقه ی صفربعدی قابل نشاندن باشد دنبال کرده ایم. در این مسیر، با طرح قضایای دوسویی پاسخی روشن به پرسش مطرح شده ارایه نموده و در این میان نقش برجسته ی ایدآل های اولیه ی یک حلقه را در قالب معرفی ایدآل گیلمر بیش از پیش آشکار ساخته ایم. به علاوه، برای طرح ساختاری یک دسته از حلقه هایی که قابلیت نشانده شدن در ابرحلقه ی صفربعدی را ندارند، به قلمروی حلقه های ارزیاب وارد شده و پس از بیان قضایایی در باب آن ها، در پرتو یک قضیه ی بنیادین، دسته ی انبوهی از حلقه های مذکور را ارایه نموده ایم. فصل دوم را به بررسی چگونگی انتقال ویژگی ها در عرصه ی حلقه های صفربعدی پرداخته ایم. در بخش نخست، گفتار مفصلی را در باب حاصلضرب حلقه های صفربعدی ارایه نموده ایم. محور تلاش های انجام شده در این پاره از کار به شناسایی شرایطی معطوف می گردد که حاصلضرب دلخواهی از حلقه های صفربعدی، دارای بعد صفر باشد. در قالب قضایای ساختاری، سرنوشت بعد حلقه ی حاصلضربی خانواده ای از حلقه های صفربعدی را به طور کامل آشکار ساخته و با طرح گزاره های معادل به پرمایه تر کردن هرچه بیش تر مطلب در دست بررسی کوشیده ایم. به عنوان یک نتیجه ی برجسته در این بخش، نشان داده ایم که حاصلضرب دلخواهی از حلقه های صفربعدی دارای بعد صفر است اگر و تنها اگر بعد آن بی نهایت نباشد. در بخش دوم از همین فصل، با نگاهی دگرگونه به آنچه پیش تر و در قالب بخش دوم از فصل یک مورد مطالعه قرار گرفت، به نتایج جدیدی دست یافته و گاه مطالب پیشین را با براهین جدیدی همراه ساخته ایم. علاوه بر بررسی زیرحلقه های یک حلقه ی صفربعدی، پاره-ای از مطالعات این بخش به زیرحلقه های صفربعدی یک حلقه ی دلخواه اختصاص یافته است. پاسخ به پرسشی که پیرامون استقلال ابرحلقه ی صفربعدی مینیمال یکتای یک حلقه نسبت به حلقه ی صفربعدی شامل آن مطرح می گردد، شالوده ی قسمت پایانی مطالب بیان شده در این بخش است. در فصل سوم کوشیده ایم تا با اثبات قضایایی، شرایط لازم و کافی برای آن که یک حلقه به طور موروثی صفربعدی باشد را معرفی نماییم. از مفهوم به طور مطلق جبری بودن یک حلقه سخن به میان آورده و اهمیت مشخصه ی یک حلقه را در نیل به این هدف آشکار ساخته ایم. با گسترش میدان پژوهش های این بخش، در جستجوی معرفی شرایطی برآمده ایم که بتوان از زوج صفربعدی سخن گفت و در عرضه ی قضایایی که مبین شرایط لازم و کافی برای به طور موروثی صفربعدی بودن یک حلقه می باشند توفیق یافته و در این مسیر چند قضیه ی بسیار شناخته شده را با صورت بندی زیبا تری ارایه نموده ایم. به عنوان مثال ثابت کرده ایم که حلقه ی بر صحیح است اگروتنها اگر برای هر ایدآل اول مینیمال از ، حلقه ی بر صحیح باشد. با استفاده از قضیه ی اخیر و تعمیم یک قضیه ی کلاسیک دیگر در باب مشخصه ی حلقه ها، صورت بندی جدیدی را برای شروط معادل حلقه های به طور موروثی صفربعدی به اثبات رسانده ایم. در واپسین بخش این نگارش، در مسیر شناسایی زیرحلقه های ماکسیمال قدم نهاده ایم و با عرضه ی بخشی از پژوهش های انجام گرفته در این حوزه، بستر مناسبی را برای تمرکز بر زیرحلقه های ماکسیمال حلقه های صفربعدی مهیا ساخته ایم. با طرح چند قضیه ی اساسی، وضعیت زیرحلقه-های ماکسیمال حلقه های صفربعدی را به طور کامل آشکار ساخته و شخصیت آنها را معرفی نموده ایم. به علاوه شرط لازم و کافی را برای آن که زیرحلقه های ماکسیمال حلقه های صفربعدی دارای بعد صفر باشند را به اثبات رسانده ایم. به عنوان مثال نشان داده ایم که زیرحلقه ها ی ماکسیمال یک حلقه ی صفربعدی دارای بعد صفر می باشند اگر و تنها اگر حلقه تام کسرها باشند. همچنین در یک قضیه ی خوش ساختار نشان داده ایم که هر زیرحلقه ی ماکسیمال از یک حلقه ی صفربعدی یا منظم است و یا جمعی- منظم.

the notion of baer modules was defined recently

فرض کنیم rیک حلقه وm یک r-مدول راست باشد زیر مدول n از mرا کاملا پایا مینامیم هرگاه برای هر درون ریختی f از m داشته باشیمf(n) زیر مجموعه ای از n باشدr-مدول راست m دوطرفه (ضعیف)مینامیم ،هرگاه هر زیر مدول (جمعوندمستقیم)m کاملا پایا باشدنشان خواهیم داد که اگر rدامنه ی تعویض پذیر با میدان کسرهای k باشد ،انگاه r-مدول یکنواخت بی تاب m دوطرفه است اگر وتنها اگر km زیر مجموعه ی m متعلق به r باشد.همچنین نشان خواهیم داد هر r-مدول بی تاب متناهین تولید شده ی ناصفر،یکنواخت می باشد.بعلاوه اگر r دامنه ی ددکیند باشد انگاه r-مدول تابدار m دوطرفه است اگر و تنها اگر دوطرفه ی ضعیف باشد.

در این پایان نامه ، قانون ایدال اول درحلقه های تعویض پذیر را مورد بررسی قرار می دهد .وجود ایدال های اول وابسته به مجموعه های بسته ضربی ،مدول ها و... روی حلقه های تعویض پذیر توسط کرول ،کوهن ،کاپلانسکی و ... مورد بررسی قرار گرفتند.هدف تحقیق ارائه یک نوع جامع نگری و اتحاد بین تمامی این قضیه ها است. وعلاو بر بررسی رسته مدول های دوری وکاربر آن ، به معرفی خانواده های ایدال اٌکل و آکو می پردازد .

زیر حلقه سره s از r زا ماکسیمال می نامیم هر گاه بین s , r زیر حلقه ای دیگری نباشد. در این رساله دو هدف کلی را مورد بررسی قرار می دهیم. نخست خواص جبری که بین حلقه و زیر حلقه ماکسیمال منتقل می شود را بررسی می کنیم. به بیان بهتر فرض کنید که p یک خاصیت جبری باشد که s آن را داراست. این سوال را جواب می دهیم که آیا p به r منتقل می شود؟ یا اگر منتقل نمی شود؛ تحت چه شرایطی منتقل می شود؟ یا کدام ویژگی نزدیک p به r منتقل خواهد شد؟ به همین دسته از سوالات در مورد انتقال ویژگی p از r به s جواب خواهیم داد. در نهایت به بررسی مدول بر روی زیر حلقه ماکسیمال توجه خواهیم کرد.

تمامی حلقه هادراین نوشتار تعویض پذیر و یکانی هستند و0?1. هم چنین تمام زیرحلقه ها, توسیع حلقه ها و همریختی و مدول ها یکانی می باشند. توسیع حلقه a دارای ویژگی fip است, هرگاه تعداد متناهی حلقه c وجود داشته باشد که a . اگر حلقه t توسیعی از حلقه ی r باشد که r متناهی باشد, آن گاهt متناهی است اگر وتنها اگر r , fip باشد. حلقه ی تعویض پذیر یک دار r را fsp گوییم, اگر فقط تعداد متناهی زیرحلقه یک دار داشته باشد. برای رده بندی حلقه هایی که در fsp صدق می کنند, نشان خواهیم داد که یک حلقه fsp دارد اگر و تنها اگر یا متناهی باشد و یا به صورتz[t1….tn] که در آن هر z[ti] یکfsp حلقه است. سپس نشان خواهیم داد حاصل ضرب مستقیم , fsp حلقه است اگر و تنها اگر iمتناهی و هرri,fsp حلقه و حداکثر یکی از riها با مشخصه صفر باشد. هم چنین اگر f زیرحلقه ی اول r باشد, آن گاهr, fsp حلقه است اگر و تنها اگر زیرمجموعه متناهی { t1….tn} ازr که r=f[t1….tn] و برای هر i=1,…,n,, f[ti] fsp حلقه است.

تمامی حلقه ها در این نوشتار تعویض پذیر و یکانی هستند و 0 ? 1. هم چنین تمامی زیرحلقه ها، توسیع حلقه ها‏، همریختی ها و مدول ها نیز یکانی می باشند. توسیع حلقه ای از حلقه های تعویض پذیر را یک توسیع مینیمال می نامیم ( را توسیع مینیمال می نامیم)، هرگاه بین ‎‎ و ‎هیچ حلقه ی دیگری یافت نشود. توسیع مینیمال را می توان به دو دسته تقسیم نمود. یک توسیع مینیمال را بسته می نامیم اگر در بسته ی صحیح باشد. در غیر این صورت روی ‎‎ صحیح می باشد، که این توسیع را توسیع صحیح مینیمال می نامیم. ثابت می کنیم که توسیع مینیمال بسته است، اگر و تنها اگر ایدال ماکسیمال از وجود داشته باشد که زوج یک جفت ارزیاب با رتبه ی 1 برای باشد. همچنین نشان خواهیم داد که برای توسیع حلقه ای و ، توسیع یک توسیع مینیمال بسته است‏، اگر وتنها اگر برای هر عضوهای وجود داشته باشد که . نشان خواهیم داد که اگر یک توسیع حلقه ای و یک ایدال ماکسیمال از باشد، در این صورت موارد زیر با هم معادل اند: ) 1 (یک توسیع مینیمال بسته از است؛ (2) یک جفت ارزیاب است؛ ‎ (3) یک جفت ارزیاب با مرتبه ی 1 از است.‎

فرض کنید d یک دامنه صحیح با میدان کسرهای k و بستار صحیح باشد. یک زبرحلقه ی d یک زیرحلقه از k و شامل d است، و o(d) نماد مجموعه زبرحلقه های d است. هدف در این پایان نامه بررسی شرایط متناهی رویo(d) و سپس تعمیم آن به توسیع های دلخواه است. ابتدا به بررسی متناهی بودن مجموعه o(d) و سپس به متناهی بودن زنجیرها در o(d) می پردازیم، در حالت اول d را یک fo- دامنه و در حالت دوم آن را یک fc – دامنه می نامیم. هدف اصلی در فصل دو این پایان نامه، رده بندی fo و fc- دامنه ها و ارتباط این دو مفهوم با هم است. در واقع نشان خواهیم داد که هرگاه d یک دامنه بسته صحیح باشد، آن گاه شرایط زیر معادل اند: (1) d یک fo – دامنه است؛ (2) d یک fc- دامنه است؛ (3) d یک دامنه پروفر با تعداد متناهی ایدال اول است. هم چنین نشان می دهیم که دامنه صحیح d یک fc- دامنه است اگر و تنها اگر یک fc- دامنه باشد و هر زنجیر از زیرحلقه های که شامل d هستند، متناهی باشد. سپس نشان می دهیم که هرگاه d یک دامنه صحیح با بستار صحیح باشد و c هادی d در باشد، آن گاه d یک fc- دامنه است اگر و تنها اگر شرایط زیر برقرار باشند: (1) یک دامنه پروفر با مجموعه ایدال های اول متناهی باشد؛ (2) یک d- مدول متناهی باشد؛ (3) d/c یک حلقه آرتینی باشد. به طور مشابه قضیه هایی را برای fo- دامنه ها بیان می کنیم. سپس به تعمیم این مفاهیم برای توسیع های دلخواه از حلقه های تعویض پذیر می پردازیم. توسیع که هر زنجیر از حلقه های میانی دارای طول متناهی باشد را ficp- توسیع می نامیم و نشان خواهیم داد که این نوع توسیع ها نسبت به موضع سازی و خارج قسمت بسته اند. هم چنین در حالت های خاص نشان خواهیم داد که ficp یک ویژگی موضعی است. به طور مشابه به تعمیم قضیه های fc- دامنه ها به ficp- توسیع ها خواهیم پرداخت.

در سرتاسر این پایان نامه، تمامی حلقه ها، تعویض پذیر، یکدار و کاهش یافته هستند. پس از مقدمات، به معرفی انواع مهمی از توسیع های حلقه ها، از جمله توسیع های صلب و -rتوسیع ها خواهیم پرداخت. برای حلقه r، توسیعی به نام حلقه کامل کسرها که آن را با نماد q(r) نشان می دهیم و دو زیرحلقه مهم از آن به نام های پوش اپی مورفیک و پوش بئر، معرفی شده و مورد مطالعه قرار خواهند گرفت. پوش اپی مورفیک r را با نماد ( e(r و پوش بئر r را با نماد b(r) نشان می دهیم. هدف نهایی ما، در این مطالعه، تعیین شرایطی است که در آن، توسیع های q(r) ?r ، b(r)?r و e(r)?r صلب یا شبه صلب هستند. این شرایط صرفا جبری نیستند؛ بلکه با بهره گیری از مفاهیم توپولوژی هسته- غلافی و توپولوژی معکوس روی مجموعه ایدال های اول مینیمال، به دست می آیند.به عنوان مثال، توسیع های r?q(r) و r?b(r)، صلب هستند، اگر و تنها اگر فضای ایدال های اول مینیمال r، فشرده و شدیدا ناهمبند باشد و به علاوه r در شرط پوچساز صدق کند. از دیگر نتایج مهم که می توان به آن اشاره کرد این است که توسیع r?e(r)شبه صلب است، اگر و تنها اگر فضای ایدال های اول مینیمال r، فشرده باشد.

در این نوشتار، حلقه هایی مورد بررسی قرار می گیرند که هر مدول آرتینی روی آن ها، جمع مستقیمی از یک مدول با طول متناهی و تعداد متناهی پوش انژکتیو از مدول های راست(چپ) ساده است. چنین حلقه هایی، حلقه های با مدول های آرتینی خوش رفتار نامیده می شوند. در ادامه ی نوشتار، نمونه هایی از این حلقه ها را ذکر می کنیم و نشان می دهیم اگر $ r $ یک دامنه ی تعویض پذیر نوتری، با بعد کرول یک باشد و هر $ -r $% مدول بخش پذیر آرتینی، انژکتیو باشد; در این صورت $ r $، مدول های آرتینی خوش رفتار دارد. هم چنین نشان می دهیم اگر $ r $ یک حلقه ی هم - نوتری تعویض پذیر باشد; آن گاه $ r $, مدول های آرتینی خوش رفتار دارد اگر و تنها اگر $ r_{m} $ ( $m$ ایدال ماکسیمال $ r $ ) دامنه ددکیند یا آرتینی باشد

در این پایان نامه به بررسی ارتباط بین زیرمدول رادیکال n از مدولm که n اشتراک متناهی از زیرمدول های اول m و مدول خارج قسمتی m/n بعد گلدی متناهی دارد، می پردازیم و ثابت می کنیم اگر n زیرمدول رادیکال ازمدول m روی حلقه r باشد که m/n بعد گلدی متناهی دارد، آن گاه n اشتراک تعداد متناهی از زیرمدول های اول می باشد. عکس این مطلب در حالت کلی نادرست است، مگر این که حلقه مزبور یک حلقه گلدی چپ و کراندار چپ و مدول m متناهی تولید شده باشد. در پایان ثابت می کنیم اگر n زیرمدول m و اشتراک تعداد متناهی از زیرمدول های اول باشد، آن گاه m/n می تواند شامل تعداد نامتناهی از زیرمدول های اول مینیمال باشد.

در سرتاسر این پایان نامه تمامی حلقه ها تعویض پذیر و یکدار هستند. اگر r یک حلقه و b در r ناصفر و نایکه باشد انگاه b را یک عضو شبه تحویل ناپذیر می گوییم هر گاه نتوان آن را به صورت b=cd که c و d متباین و نا یکه اند نوشت. دامنه ی صحیح r را یک دامنه ی تجزیه ی متباین (cfd) گوییم هر گاه هر عضو ناصفر و نایکه از r دارای تجزیه ی متباین کامل باشد. دامنه ی تجزیه متباین یکتا(ucfd) نیز به طور مشابه تعریف می شود. در این پایان نامه نشان می دهیم هر دامنه ی نویتری (و هر ufd) یک cfd است. همچنین شرایط لازم و کافی برای اینکه یک cfd یک ucfd باشد را بررسی خواهیم کردو در ادامه شرایط لازم و کافی برای cfd بودن بین r و حلقه چندجمله ایها را بیان خواهیم کرد. سپس به رابطه ی cfd و ucfd بین دامنه های r و rp که p یک ایدال اول از دامنه ی r است می پردازیم در آخر تجزیه ی ایدال های حلقه ی r را تعمیم خواهیم داد.

فرض کنیم r یک حلقه ی تعویض پذیر نوتری کاهش یافته باشد. در این پایان نامه هدف بررسی شرایط معادل است که تحت آن، مدول های متناهی مولد روی r تجزیه کامل داشته باشند. به طور مثال نشان می دهیم که هرگاه r تک بعدی و در خاصیت کرول-اشمیت برای ایدآل ها صدق کند، آن گاه هر زبرحلقه(روحلقه) از آن در ویژگی گفته شده در بالا صدق می کند. همچنین نشان می دهیم که هرگاه r موضعی و تک بعدی باشد و در خاصیت کرول-اشمیت برای ایدآل ها صدق کند، آن گاه خاصیت کرول-اشمیت برای مجموع مستقیم مدول های با رتبه یک نیز برقرار است.

r را به عنوان حلقه در نظرمی گیریم.a ? r را یک مقسوم علیه صفر ضعیف می نامیم اگر وجود داشته باشد r,s ? r کهras = 0 باشد وrs ? 0 . این مطلب نشان می دهد که در هر حلقهr ، اعضایی از ایدآل های اول مینیمال مقسوم علیه صفر ضعیف هستند، مثال هایی وجود دارند که نشان می دهند ایدآ ل اول مینیمال یک حلقه می تواند شامل عناصری باشد که نه مقسوم علیه صفر چپ اند و نه مقسوم علیه صفر راست. در این مقاله نشان می دهیم که در هر حلقه مانند r، عناصر یک ایدآل اول مینیمال مقسوم علیه صفر ضعیف هستند. همچنین در این مقاله اجتماع ایدآل های اول مینیمال در یک حلقه ی 2-اولیه و اجتماع ایدآل های قویاً اول مینیمال در ni-حلقه ها مورد بررسی قرار گرفته اند. همه ی حلقه ها در این مقاله یک دار در نظر گرفته شده اند. (n*(r)، n*(r و (n(r به ترتیب نشان دهنده ی رادیکال اول، بزرگ ترین اید آل پوچ r و مجموعه ی همه ی عناصر پوچ توان r هستند.

در این پایان نامه ابتدا به بررسی حوزه های تجزیه یکتا و حوزه های تجزیه می پردازیم. حوزه تجزیه r را حوزه نیم تجزیه (hfd) گوییم، اگر برای هر عنصر غیرصفر غیریکه داشته باشیم a1a2…an=b1b2…bm، به طوری که ai ها و bj ها در r تحویل ناپذیر باشند، آن گاه n=m. سپس ویژگی های حوزه های نیم تجزیه را مورد بررسی قرار می دهیم. هم چنین حوزه تجزیه r را ohfd می نامیم، اگر a1a2…an=b1b2…bn ، که در آن ai ها و bj ها در r تحویل ناپذیر باشند، آن گاه هر کدام از عناصر ai ها حداقل با یکی از عناصر bj ها شریک باشد. در پایان نشان می دهیم حوزه های ohfd با حوزه های تجزیه یکتا معادل هستند.

در این پایان نامه ابتدا یک gcd - دامنه را تعریف می کنیم. gcd - دامنه ، دامنه صحیحی است که هر دو عضو ناصفر آن بزرگترین مقسوم علیه مشترک داشته باشند. در یک gcd - دامنه اشتراک هر دو ایده آل اصلی یک ایده آل اصلی است. سپس agcd - دامنه ها (تقریبا gcd - دامنه ها) را تعریف می کنیم. agcd - دامنه ، دامنه صحیحی است که برای هر دو عضو ناصفر آن مانند b وa عدد طبیعی n موجود باشد به طوری که اشتراک دو ایده آل a^nr و b^nr یک ایده آل اصلی است. در ادامه به معرفی عناصر v - متباین می پردازیم. دو عنصر ناصفر a وb از دامنه صحیح r را v - متباین می نامیم هرگاه اشتراک دو ایده آل ar و br مساوی ایده آل abr شود و در این صورت می نویسیم a,b)_v=1) . با استفاده از این تعریف، بلوک های اول را در یک دامنه صحیح r معرفی می کنیم و خواص آن ها را بررسی می کنیم. در ادامه با استفاده از بلوک های اول، aufd ها (تقریبا ufd ها) را تعریف می کنیم. دامنه صحیح r را یک aufd می نامیم، هرگاه برای هر عنصر ناصفر غیر یکال x متعلق به r ، عدد طبیعی n موجود باشد به طوری که x^n قابل نمایش به صورت حاصلضربی از تعداد متناهی بلوک های اول دو بدو v- متباین باشد. بعد از معرفی aufd ها نشان می دهیم که هر aufd یک agcd – دامنه است. در ادامه به معرفی t - ایده آل ها می پردازیم و خواص آنها را مورد بررسی قرار می دهیم و نشان می دهیم در یک aufd هر t - ایده ال اول مشمول در یک t - ایده آل ماکسیمال یکتاست و هر عنصر ناصفر غیر یکال از r تنها به تعداد متناهی t - ایده آل ماکسیمال از r قرار دارد. سپس نشان خواهیم داد اگر r یک agcd - دامنه باشد آنگاه r یک aufd است اگر و تنها اگر در شرط های زیر صدق کند: الف)هر عنصر ناصفر غیر یکال از r تنها متعلق به تعداد متناهی t - ایده آل ماکسیمال باشد. ب) اگر دو t- ایده آل ماکسیمال p_2,p_1 شامل یک ایده آل ناصفر مشترک باشند آنگاه p2=p1 . سپس به بررسی خواص agcd - دامنه ها می پردازیم و نشان می دهیم اگر r یک agcd - دامنه باشد، بستار صحیح آن نیز یک agcd - دامنه است. بعد از آن یک حلقه ارزیابی را تعریف کرده و با استفاده از آن دامنه پروفر v - ضربی (pvmd) را تعریف می کنیم. دامنه صحیح r را یک دامنه پروفر v - ضربی (pvmd) می نامیم هرگاه به ازای هر t - ایده آل اول p از r_p، r حلقه ارزیابی باشد. پس از تعریف، نشان می دهیم هر pvmd صحیحا بسته است. در ادامه نشان می دهیم اگر r یک agcd - دامنه باشد آنگاه r صحیحا بسته است اگر و تنها اگر r یک pvmd باشد. بعد از آن در یک قضیه پنج شرط معادل برای آنکه agcd - دامنه r صحیحا بسته باشد بدست می آوریم. سپس یک دامنه تقریبا بزو ( ab - دامنه) را تعریف می کنیم. دامنه صحیح r را یک دامنه تقریبا بزو ( ab - دامنه) می نامیم هرگاه برای هر دو عنصر ناصفر a وb متعلق به r عدد طبیعی (n = n(a , b موجود باشد به طوری که ایده آل ( a^n, b^n ) اصلی است. بعد از تعریف یک دامنه تقریبا بزو (ab -دامنه) نشان خواهیم داد که agcd - دامنه r ، یک ab -دامنه نیم موضعی است اگر و تنها اگر r شامل هیچ دنباله نامتناهی از عناصر غیر یکال دو بدو v - متباین نیست. در پایان agcd-دامنه های از t-مشخصه متناهی را مورد بررسی قرار می دهیم.

در سراسر چکیده این پایان نامه حلقه های جابه جایی، یکدار و مدولها یکانی فرض شده اند در این پایان نامه به مطالعه و بررسی q-مدولها و تقریباًq-مدولها می پردازیم که به ترتیب توسیع های از q-حلقه ها و تقریباًq-حلقه ها هستند هرq-مدول تقریباًq-مول است اما با ارائه یک مثال نشان می دهیم که عکس این مطلب در حالت کلی برقرار نیست نشان می دهیم و سپس شرایط معادل برای اینکه یک تقریباًq-مدول یک q-مدول باشد را فراهم می آوریم . با استفاده از این شرایط معادل توصیفی ار q-مدول های نوتری را ارائه می دهیم.

فرض می کنیم خانواده ای از حلقه های جا به جایی باشد در این پایان نامه به مطالعه و بررسی خانواده ی متشکل از تمام زیر حلقه های آرتینی می پردازیم همچنین در جستجوی پاسخی برای این پرسش هستیم که اگر یک زوج صفر بعدی باشد تحت چه شرایطی زوج نیز یک زوج صفر بعدی است

در سرتاسر این پایان نامه تمای حلقه ها تعویض پذیر و یکدارند و زیر حلقه ها دارای همانی یکسان با خود حلقه می باشند. هر گاه یک توسیع از حلقه های تعویض پذیر باشند، آنگاه این توسیع را توسیع مینیمال می نامیم، هر گاه بین r و s زیر حلقه دیگری از s نباشد. بوضوح در چنین شرایطی یا r در s بسته صحیح است که در این حالت توسیع را توسیع بسته صحیح مینیمال می نامیم و یا s روی r صحیح می باشد که در این حالت، توسیع را توسیع مینیمال صحیح می نامیم. هدف اساسی در این پایان نامه، بررسی توسیع های مینیمال صحیح است.

در این پایان نامه هیات هایی را که دارای زیرحلقه ماکسیمال هستند را رده بندی می کنیم. به عنوان نتیجه خواهیم دید که هر میدان ناشمارا یا میدان هایی با مشخصه صفر همواره دارای زیرحلقه ماکسیمال هستند. همچنین به بررسی وجود زیرحلقه های ماکسیمال در حلقه های تعویض پذیر به ویژه حلقه های نویتری و آرتینی می ئردازیم. خواهیم دید که حلقه های آرتینی مانن میدانها هستند. یعنی هر حلقه آرتینی با مشخصه صفر یا با ناشمارا عضو دارای زیرحلقه ماکسیمال است. در انتها نشان می دهیم که چه موقع حاصلضرب دو حلقه دارای زیرحلقه ماکسیمال است، در واقع نشان می دهیم که حاصلضرب دو حلقه دارای زیرحلقه ماکسیمال است اگر و تنها اگر یا یکی از مولفه ها دارای زیرحلقه ماکسیمال باشد و یا آن دو حلقه دارای خارج قسمت های یکریخت باشند. همچنین نشان می دهیم که هر حلقه که شبه دوطرفه نباشد دارای زیرحلقه ماکسیمال است. در واقع نشان می دهیم که ایدال ساز ایدالهای یکطرفه ماکسیمال که دو طرفه نباشند زیرحلقه های ماکسیمال حلقه هستند.