در این رساله تحلیل حساسیت پایایی مجموعه حامی برای مساله های بهینه سازی خطی کلی و تحلیل حساسیت پایایی افراز بهینه برای مساله های بهینه سازی خطی سازی استاندارد وقتی که ضرائب تابع هدف و طرف راست قیدها هر یک در دو جهت مختلف پریشیده شوند و سپس تحلیل حساسیت چند پارامتری پایائی پایه بهینه را با استفاده از مفهوم ماکزیمم حجم ارائه شده بوسیله وانگ و هوانگ را برای مساله بهینه سازی کسری تکه ای خطی مطالعه می کنیم. برای مساله خطی کلی مساله خطی کمکی ارائه شده اند که با استفاده از انها بازه های متناظر با این نوع تحلیل حساسیت مشخص می شوند. برای شکل استاندارد چهار پارامتری مساله های خطی همراه با الگوریتم برای یافتن ناحیه پایائی که چند وجهی است ارائه می شود. بری مساله کسری ناحیه بحرانی و برای این ناحیه ماکسیمم حجم مشخص می شود. در پایان هر فصل مثالهایی برای توصیف نتایج ارائه شده است.

روش نقطه بیرونی یکی از جدیدترین روش های ارائه شده برای حل مسئله برنامه ریزی خطی می باشد، هدف از تهیه این رساله معرفی این روش و بررسی آن در مسائل برنامه ریزی خطی و همچنین مسائل جریان شبکه می باشد . پایان نامه شامل سه بخش می باشد، فصل اول حاوی تعاریف اولیه و قضایای بنیادی برای آشنایی با برنامه ریزی خطی و مسئله جریان شبکه می باشد . فصل دوم به ارائه روش نقطه بیرونی برای مسئله برنامه ریزی خطی اختصاص دارد، در این فصل به اثبات درستی الگوریتم می پردازیم و با ارائه جداول و نمودارهایی به تفاوت های میان این روش با روش سیمپلکس در تعداد تکرار و زمان اجرای الگوریتم خواهیم پرداخت . در فصل سوم روش نقطه بیرونی برای مسئله جریان شبکه با حداقل هزینه ارائه می شود و با بررسی آن بر روی شبکه و اثبات خوش تعریف بودن الگوریتم، با استفاده از جداول و نمودارهایی به بررسی رابطه بین تعداد تکرارها و زمان اجرای الگوریتم با بعد شبکه (تعداد گره های شبکه) خواهیم پرداخت .

در این پایان نامه یک الگوریتم برای نقطه درونی نشدنی با استفاده از روش اولیه-دوگان ارائه شده است. الگوریتم ارائه شده همانند سایر الگوریتم های نقطه درونی نشدنی شکاف دوگانی و مانده های شدنی بودن را با آهنگ یکسان کاهش می دهد.با فرض وجود جواب بهینه، نشان داده می شود که حداکثر (o(n تکرار برای کاهش شکاف دوگانی و مانده های شدنی بودن با عامل(1-theta)- کفایت می کند . این الگوریتم نقاط تکرار شدنی اکید را برای دنباله ای از پریشیدگی های ممساًله ی اصلی داده شده و دوگانش تولید می کند. ویژگی بارز این الگوریتم، استفاده از گام کامل نیوتن می باشد. این الگوریتم از دو نوع گام کامل نیوتن استفاده می کند، گام های شدنی و گام های مرکزی. گام های شدنی با شروع از نقاط تکرار شدنی اکید و بسیار نزدیک به مسیر مرکزی یک زوج پریشیده، جهت تولید یک جواب شدنی اکید برای زوج پریشیده ی بعدی مورد استفاده قرار می گیرند. با به کار بردن تعداد کمی از گام های مرکزی برای مساًله ی پریشیده ی جدید، به نقاط تکرار شدنی اکید خواهیم رسید که به اندازه ی کافی نزدیک مسیر مرکزی زوج پریشیده ی جدید هستند. در نهایت ،الگوریتم یک جواب بهینه برای مساًله پیدا می کند یا نشان می دهد مساًله اصلی نشدنی یا بیکران است.

تعمیم روش سیمپلکس مشهور برنامه ریزی خطی (lp) برای حل مسائل برنامه ریزی خطی تکه ای (plp) و مسئله برنامه ریزی کسری خطی (lfp) قابل استفاده بوده است. در این پایان نامه تعمیم دیگری از این روش را برای حل مسائل برنامه ریزی کسری خطی تکه ای با استفاده از یکتا سازی روش سیمپلکس برای برنامه ریزی خطی، برنامه ریزی خطی تکه ای و برنامه ریزی کسری خطی ارائه می دهیم.

فرض کنیدکه g گرافی با جورسازی کامل m باشد. عدد تحمیل کننده جورسازی کامل m، کمترین تعداد یال هایی در s زیرمجموعه m می باشد که در آن s مشمول درهیچ جورسازی دیگری نباشد.

پایه استاندارد که در روش سیمپلکس استفاده می شود تعمیم می یابد تا شامل ماتریس های مستطیلی نیز شود. در این حالت تعداد ستون های ماتریس پایه از تعداد سطرهای ان کمتر است. با استفاده از تجزیه ی lu این ماتریس پایه تجزیه شده و در هر تکرار عامل های lu آن به هنگام می شموند تا بهینگی به دست آید. مزیت این روش نست به روش سیمپلکس استاندارد، اجتناب از دور می باشد. در بخشی از این پایان نامه الگوریتم پیشنهادی روی 50 مسئله بزرگ جهان واقعی امتحان شده و کارآمدی آن اثبات می شود.

چندجمله ای احاطه گر گراف g از مرتبه n به صورت d(g,x)=?_(i=?(g))^n??d(g,i)? تعریف می شود که d(g,i) تعداد مجموعه های احاطه گر گراف g از اندازه i بوده و ?(g) عدد احاطه ای g است. ریشه d(g,x) را ریشه احاطه ای نامیده و با z(d(g,x)) نشان می دهند. در این پایان نامه خواص اساسی چند جمله ای بعضی گراف ها را مطالعه و چند جمله ای احاطه گر دورها و مسیرها را تعیین می کنیم.

تحلیل پوششی داده ها ‎‎‎‎ ابزاری قوی برای مدیران در تجزیه و تحلیل واحدهای تصمیم‎ ‎گیری‎ است. مدیران در تصمیم گیری های چند شاخصه ‎ نیازمند فراهم آوردن روابط ترجیحی روی یک مجموعه از واحدهای تصمیم گیری هستند. پس از ایجاد روابط ترجیحی با استفاده از بردار وزنی‎‎، ترجیحات گزینه های تصمیم گیری رتبه بندی می شوند. دراین پایان نامه، روشی جامع برای ارزیابی کارآیی واحدهای تصمیم‎‎گیری با استفاده از تحلیل پوششی داده ها و روابط ترجیحی فازی ‎ (fpr) ‎ پیشنهاد شده است که شامل سه مرحله به صورت زیر می باشد. ‎ ‎1‎ . بدست آوردن نمرات کارآیی زوجی با استفاده از مدل های ‎dea‎ ‎2‎ . ساختن روابط ترجیحی فازی با استفاده نمرات کارآیی زوجی بدست آمده از مرحله اول‎.‎ ‎3‎ . بدست آوردن بردار وزنی برای رتبه بندی کردن واحدهای تصمیم گیری.‎ روش پیشنهادی علاوه بر رتبه بندی واحدهای تصمیم گیری مشکل یکسانی رتبه بعضی از واحدهای ارزیابی را برطرف می کند. همچنین پیچیدگی روش پیشنهادی نسبت به روشهای قبلی کمتر است. ‎ برای این منظور در فصل اول و دوم این پایان نامه به ترتیب به معرفی علم ‎ dea و علم فازی پرداخته می شود. در فصل سوم نحوه ساختن روابط ترجیحی و کاربرد آن در مسئله تصمیم گیری را بیان می شود. در فصل چهارم چندین روش برای رتبه بندی مسئله تصمیم گیری چند شاخصه را مورد بررسی قرار می گیرد. نهایتا در فصل آخر مدل پیشنهادی که معایب روش های قبلی را برطرف می کند بیان می شود. ‎

مجموعهs از رئوس گراف gرا یک مجوعه احاطه گر تام نامند هرگاه هر رأس درv(g) با حداقل یک رأس از s مجاور باشد. مینیمم تعداد اعضای یک مجموعه احاطه گر تام را عدد احاطه ای نامیده و با?_(t ) (g) نشان می دهند. مجموعه s را یک مجموعه احاطه گر همبند مضاعف در g نامند هرگاه هر رأس درv(g)-s با حداقل یک رأس از s مجاور بوده و زیرگرافهای القایی g[s] و g[v-s] همبند باشند. مینیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر همبند مضاعف در g را عدد احاطه ای همبند مضاعف آن نامیده و با ?_cc (g) نشان می دهند. مینیمم تعداد یالهایی از گراف g را که با زیرتقسیم ـآنها عدد احاطه ای تام (عدد احاطه ای همبند مضاعف) افزایش یابد، عدد زیرتقسیم احاطه ای تام (عدد زیرتقسیم احاطه ای همبند مضاعف) نامیده و ب) sd_(?_t ) (g) sd_(?_cc ) (g) (نشان می دهند. فاوارون و همکارانش حدس زدند که در هر گراف همبند g از مرتبه n?3، sd_(?_(t ) ) (g)??_t (g)+1 و آن را برای برخی گرافها ثابت کردند. در این رساله، این حدس را برای گرافهایی که هر رأس آنها مشمول در حداکثر سه دور القایی c_4 باشد و گرافهای همبندی که دورهای القایی c_3 و c_5 ندارند، ثابت کرده و یک کران بالا برای عدد زیرتقسیم احاطه ای تام در رده خاصی از گرافها بر حسب عدد جورسازی ارایه می دهیم. همچنین عدد زیرتقسیم احاطه ای همبند مضاعف را مطالعه کرده و کرانهایی را برای آن برحسب پارامترهای مختلف یک گراف ارایه می دهیم.

مسائل بهینه سازی نیمه معین ، (sdo) مسائل بهینه سازی محدبی در اشتراک یک مجموعه آفینی و مخروط ماتریس های نیمه معین مثبت هستند. اخیرا یک الگوریتم نقطه درونی نشدنی اولیه- دوگان با بهترین کران تکرار برای بهینه سازی خطی طراحی شده است که گام کامل نیوتن را به کا رمی برد. دراین پایان نامه این الگوریتم نقطه درونی نشدنی را به بهینه سازی نیمه معین توسعه می دهیم. با این الگوریتم، ما تکرارهای اکیدا شدنی را برای یک دنباله پریشیده مسا له داده شده و دوگا ن آن نزدیک به مسیرمرکزی شان می سازیم ودو نوع گام کامل نیو تن به کار می بریم : 1- گا م شدنی 2- گا م مرکزی . الگوریتم باتکرارهای شدنی اکید جفت مسا له پریشیده روی مسیر مرکزی شان شروع می کند و گام های مرکزی برای ما تکرار های اکیدا شدنی برای جفت مساله پریشیده بعدی بدست می دهند . با استفاده از گام های مرکزی برای جفت مساله پریشیده جدید،ماتکرارهای اکیدا شدنی نزدیک به مسیر مرکزی جفت مسائل پریشیده جدید بدست می آوریم . این الگوریتم یا جوابی برای ما پیدا می کند یا مشخص می کند که جفت مساله اولیه - دوگان جواب بهینه ندارند.

مجموعه s از رئوس گراف g را یک مجموعه احاطه گر نامند هرگاه هر رأس v ? v(g) – s با حداقل یک رأس از s مجاور باشد. در گراف جهت دار d مجموعه s از رئوس را یک مجموعه احاطه گر نامند هرگاه هر رأس v ? v(g) – s در همسایگی خروجی حداقل یکی از رئوس s قرار داشته باشد. مینیمم تعداد اعضای یک مجموعه احاطه گر را عدد احاطه ای نامیده و با ?(g) نشان میدهند. مقدار عدد احاطه ای یک گراف و گراف جهت دار می تواند با اضافه کردن یال هایی به g کاهش و با کم کردن یال هایی از g افزایش یابد. کمترین تعداد یال هایی (کمان ها) که باید به یک گراف (گراف جهت دار) اضافه شود تا عدد احاطه ای آن کاهش یابد، عدد تقویت کننده، r(g)، نامیده می شود. بطور مشابه عدد k-تقویت کننده برای یک گراف کمترین تعداد یال هایی تعریف شده است که اضافه کردن آنها به گراف عدد احاطه ای آن را حداکثر k واحد کاهش میدهد. در این پایان نامه به کمک پارامترهای دیگر در گراف ها و گراف های جهت دار کرانهای بالا و پایینی را برای عدد تقویت کننده بدست می آوریم. و همچنین مقدار دقیق آنرا برای کلاس های خاصی از گراف ها تعیین می کنیم. و در نهایت مفهوم عدد تقویت کننده کسری را معرفی و مورد مطالعه قرار می دهیم.

در این پایان نامه، الگوریتم نقطه درونی اولیه-دوگان جدیدی را برای حل حالت خاصی از مسئله ی بهینه سازی نیمه معین محدب درجه دو، مبتنی بر تابع هسته بیان می کنیم. تابع هسته پارامتری ارائه شده در بدست آوردن جهت های جستجو ی جدید و همچنین اندازه گیری فاصله ی بین نقاط تکرار داده شده از µ-مرکزدر الگوریتم مورد استفاده قرار می گیرد. این خاصیت ها ما را قادر می سازد تا بهترین کران تکرار شناخته شده را برای الگوریتم با روش های بهنگام سازی بزرگ و بهنگام سازی کوچک بدست آوریم که به ترتیب برابر o(?n log n log n/?) و o(?n log n/?) می باشند که شکاف بین رفتار عملی و اجرای نظری الگوریتم را کاهش می دهند.

فرض کنید i یک ایده آل منومیال از حلقه چند جمله ای ] x ,..., x [ k=r باشدو) i ( d ماکزیمم درجه مو لدهای مینیمال i باشد.دراین مقاله ما ضمن تعیین نقطه ایستایی ) / r ( ass ,سعی در یافتن کران های بالایی برای چنین نقاطی هستیم.

در این پایان نامه دو نوع مساله ی ممانعت شامل جورسازی ها را که یکی از آن ها به حذف یال ها و دیگری به حذف راس ها منجر می شود، معرفی می کنیم. گراف بدون جهت g را که وزن های روی یال های آن مثبت است، در نظر بگیرید. در مساله ی ممانعت یالی از جورسازی، هر یال گراف g دارای هزینه است و هدف این مساله، حذف زیرمجموعه ای از یال ها با در نظر بودجه ی محدود است به طوری که بیشترین جورسازی در گراف حاصل، کمینه شود. مساله ی ممانعت راسی از جورسازی نیز همانند مساله ی ممانعت یالی از جورسازی است با این تفاوت که در آن زیرمجموعه ای از راس ها به جای یال ها حذف می شود. نتایج سختی هر دو مساله تحت محدودیت های مختلف روی وزن ها و هزینه های ممانعت و همچنین انواع مختلفی از گراف ها بیان شده است. به علاوه تقریب پذیری مساله ی ممانعت یالی و راسی از جورسازی روی گراف های مختلف مورد مطالعه قرار گرفته است. یک الگوریتم شبه چندجمله ای برای حل مساله ی ممانعت یالی از جورسازی روی گراف هایی با عرض درختی کران دار که به راحتی قابل تبدیل به یک مساله ی ممانعت راسی از جورسازی است، ارائه شده است. این الگوریتم یک چارچوب کلی را برای حل دسته ی وسیعی از مسائل min-max، با به کارگیری برنامه ریزی پویا روی درخت هایی با عرض درختی کراندار بیان می کند. به علاوه در مسائل ممانعت یالی از جورسازی روشی را برای تبدیل الگوریتم های شبه چندجمله ای به طرح تقریبی تمام پندجمله ای با استفاده از روش مقیاس گذاری و گردکردن بیان می کنیم.

در این پایان نامه شبکه هایی با سود ها و زیان های تجمیعی روی قوس ها بررسی می شود طوری که برای هر قوس موجود در شبکه تابع g(x)تعریف می گردد که بنابر علامت g(x) نوع قوس (سود آور یا اتلاف گر) مشخص می شود. در این نوع شبکه ها دو مدل وجود دارد: مدل مسیر و مدل جریان. برخی خاصیت های اساسی کوتاه ترین مسیر در مدل مسیر مظالعه شده و نشان داده می شود که مسئله کوتاه ترین مسیر در این مدل np-سخت است و در زمان شبه چندجمله ای برای هزینه ها و سود های نامنفی با برنامه ریزی پویا حل می شود. هر دو مسئله کوتاه ترین مسیر و جریان بیشنه در این شبکه ها np-سخت هستند. اما با استفاده از الگوریتم ادموندز-کارپ می توان نشان داد و مسئله جریان بیشینه خروجی در شبکه های تجمیعی با زیان واحد در زمان چند جمله ای حل می شود. در شبکه های تجمیعی، در همه گره ها به جز مبدا و مقصد بقای جریان وجود دارد در صورتی که قوس ها به این صورت نیستند. یک تابع سود روی قوس ها جریان را افزایش یا کاهش می دهد، اگر x>0 واحد جریان وارد قوس a شود آنگاه x+g(a) واحد خارج می شود که g(a) سود یال a در شبکه تجمیعی نامیده می شود برای هر قوس a تابع سود g_a وجو دارد طوری که اگرx واحد وارد a شود(x) g_a واحد خارج می شود. مقدار جریان باید در آخر هر قوس در هر دو حالت، سود و زیان نامنفی باشد و g_a(0)=0 نشان می دهد جریان و سود وجود ندارد. یک قوس سود دهنده و افزایش دهنده جریان است هرگاه g_a(x)-x >0 و اتلاف گر است هرگاه g_a (x)-x<0. هر قوس برای هر واحد جریان ورودی، دارای ظرفیت و هزینه است. شبکه هایی با سود و زیان کاربرد های زیادی به ویژه در تحلیل های مالی و انتقال اطلاعات دارند. سود و زیان ها تغییرات کالا را توسط تبخیر گاز ها و مایع ها و توسط نرخ سود روی سهام بیان می کنند. با سود و زیان های ضربی یعنی با تابع های سود خطی، مقداری از جریان روی یک قوس با در صد معینی تغییر می کند. چنین شبکه هایی تعمیم یافته گفته می شود. کاربردهای بسیاری با سود و زیان های خطی، خصوصا تابع های سود و تجمیعی وجود دارد. در انتقال کالاها یا مایعات، مقدار ثابتی از کالا ممکن است در اثر دزدی یا نشت یا تلفات از بین می رود که به معنی زیان تجمیعی است. کاربرد عمده از تابع های سود در معاملات مالی در تجارت دیده می شود. در اینجا توابع خطی، تجمیعی، و حتی توابع پیچیده برای توصیف هزینه های معامله در معاملات مالی، تبادل پول، و خرید و فروش سهام استفاده می شود. وقتی همه تغییرات قیمت و هزینه ها در نظر گرفته شوند، سیاست سرمایه گذاری بهینه به عنوان کوتاه ترین مسیر یا مسئله بیشینه جریان در شبکه هایی با سود ها و زیان ها قالب بندی می شود.

در این پایان نامه یک روش نقطه درونی برای مسائل مکملی روی مخروط های متقارن بر اساس توابع هسته ارائه می شود. همچنین آنالیز منحصربفردی از بهنگام سازی بزرگ و بهنگام سازی کوچک روش نقطه درونی برای مسائل مکملی روی مخروط های متقارن صورت می گیرد.کران های تکرار هر دو روش بهنگام سازی برای تعدادی توابع هسته واجد شرایط داده می شود. بهترین کران های تکرار برای بهنگام سازی بزرگ بوده و برای بهنگام سازی کوچک می باشد. توابع مانع بر اساس توابع هسته واجد شرایط ساخته شده و به برخی از ویزگی های آنها با مخروط های متقارن پرداخته می شود.

در این پایان نامه الگوریتم های نقطه درونی برای مسائل مکمل خطی مخروط مرتبه دوم بر اساس یک تابع کرنل پارامتری معرفی می شود. این خانواده از توابع هسته شامل توابع هسته لگاریتمی کلاسیک، اولین نمونه تابع خودمنظم و در حالت خاص شامل توابع خودنامنظم نیز می شود. تابع هسته پارامتری پیشنهاد شده هم برای تعیین جهت های جستجو و هم برای اندازه گیری نقاط تکرار به مسیر مرکزی بکار برده می شود. همچنین با استفاده از این تابع هسته بهترین کران های تکرار برای روش های بهنگام سازی بزرگ و کوچک بدست می اید. این کران ها شکاف بین رفتارهای عملی این الگوریتم ها و نتایج نظری شان را کاهش می دهد.

در این پایان نامه ، الگوریتم های نقطه درونی اولیه – دوگان برای بهینه سازی مخروط مرتبه دوم ، بر پایه توابع هسته متنوع ارائه می شود. و توابع هسته پیچیدگی بهتری را نتیجه می دهند، لذا از اهمیت زیادی برخوردارند. این دسته از توابع هسته ، قبلا" در بهینه سازی خطی بررسی شده است . کران های تکرار برای روش های بهنگام سازی بزرگ و کوچک o(?n log?n)log??n/?? و o(?n)log??n/?? بوده که n عدد مخروط مرتبه دوم در تدوین مسئله و ? دقت مطلوب می باشد.این کران های تکرار، بهترین کران های به دست آمده برای این قبیل روشها می باشند.مسائل بهینه سازی مخروط مرتبه دوم ، مسائل بهینه سازی محدب می باشند که تابع هدفشان یک تابع خطی و ناحیه شدنی اشان اشتراک یک فضای آفین با ضرب کارتزین یک تعداد متناهی از مخروط های مرتبه دوم هستند.این مسائل را با soco نشان می دهیم که به شکل زیر می باشند. (p) min{c^t x ?|a x=b? ,x?k} و دوگان آن بصورت زیر تعریف می شود: (d) max{b^t y?a^t y+s=c ,s?k} kضرب کارتزین مخروط های مرتبه دوم است.یعنی: k=k^1×k^2×…×k^n مخروط مرتبه دوم در r^n به صورت زیر تعریف می شود: k={(x_1 ,x_2 ,…,x_n ) ?r^n ? x_1^2 ? ?_(i=2)^n??x_1^2 ,x_1 ?0?} و ارائه روش نقطه درونی اولیه – دوگان برای بهینه سازی مخروط مرتبه دوم بر پایه توابع هسته و بررسی بستگی کرانهای تکرار به توابع هسته اساسی از اهداف این پایان نامه می باشند.

فرض کنید g گرافی با مجموعه رئوس v باشد. زیرمجموعه d از v یک مجموعه احاطه گر است هرگاه هر راس از v-d با راسی از d مجاور باشد. افراز دماتیک رئوس عبارت است از افراز رئوس به مجموعه های احاطه گر. بیشترین تعداد مجموعه در چنین افرازی، عدد دماتیک g نامیده میشود. فرض گنید f تابعی باشد که به رئوس گراف مقادیر 0، 1 و 2 را نسبت می دهد. هرگاه هر راس با مقدار 0 با راسی با مقدار 2 مجاور باشد، به چنین تابعی تابع احاطه ای رومی گفته میشود.

فرض کنید یک گراف ساده با مجموعه رئوس مجموعه یالهای باشد. همسایگی باز رأس عبارت است از و همسایگی بسته آن برابر است با . فرض کنید یک تابع حقیقی مقدار بر باشد. در این صورت را وزن تابع می نامند. تابع را یک تابع احاطه گر (تام) علامت دار در نامند هرگاه به ازای هر ، ( ). مینیمم وزن در میان تمام توابع احاطه گر (تام) علامت دار را عدد احاطه ای (تام) علامت دار نامیده و با ( ) نشان می دهند. تابع احاطه گر (تام) علامت دار در گراف را یک تابع احاطه گر (تام) علامت دار کلی نامند هرگاه یک تابع احاطه گر (تام) علامت دار در باشد. فرض کنید یک عدد صحیح باشد. تابع را یک تابع احاطه گر علامت دار در نامند هرگاه به ازای هر ، . مینیمم وزن در میان تمام توابع احاطه گر علامت دار را عدد احاطه ای علامت دار آن نامیده و با نشان می دهند. خانواده از توابع احاطه گر علامت دار در را یک خانواده احاطه گر علامت دار نامند هرگاه به ازای هر ، . بیشترین تعداد اعضای یک خانواده احاطه گر علامت دار در را عدد دماتیک علامت دار آن می نامند. در این رساله، مفهوم توابع احاطه گر تام علامت دار کلی را معرفی نموده و کرانهایی را برای عدد احاطه ای تام علامت دار کلی به دست می آوریم و درختها را بر اساس تفاضل عدد احاطه ای تام علامت دار کلی و عدد احاطه ای تام علامت دار دسته بندی می کنیم. همچنین عدد احاطه ای علامت دار و عدد دماتیک علامت دار و عدد دماتیک تام علامت دار در گرافهای جهت دار را معرفی نموده و کرانهایی را برای این پارامترها بر حسب پارامترهایی مانند درجه ورودی و درجه خروجی رئوس، مرتبه، اندازه و دیگر پارامترهای یک گراف به دست می آوریم.

دراین پایان نامه با استفاده از جبر جردن اقلیدسی به مطالعه الگوریتم نقطه درونی تعقیب مسیر اولیه-دوگان برای مسائل بهینه سازی متقارن و مسائل مکمل خطی روی مخروط های متقارن می پردازیم. الگوریتم های پیشنهاد شده هر کدام بر پایه ی شیوه ای جدید برای یافتن جهت های جستجو استوار هستند. این الگوریتم ها در هر تکرار فقط از گام های کامل نسترو-تاد استفاده می کنند. در پایان بهترین کران تکرار رایج برای روش های بهنگام سازی کوچک نتیجه خواهد شد. این کران تکرار ‎ o(?rlog(r/?)) ‎ است که در آن ‎ r ‎ رتبه جبر جردن اقلیدسی وابسته و ‎? ‎ دقت مطلوب است.

در این پایان نامه یک الگوریتم پیشگو-اصلاحگر با تصحیح های چندگانه را برای برنامه ریزی ‏مجذوری محدب بررسی می کنیم. این الگوریتم از یک عامل تحمیلی دینامیکی برای کمک به کاهش شکاف دوگانی استفاده می کند و همچنین اصلاح های چندگانه را در یک تکرار به کار می گیرد. نهایتاً بهترین پیچیدگی تکرار برای مسائل مجذوری که همانا ‎ o(sqrt{n}log nmu^{0}}{epsilon}) ‎ است به دست می آید. ما همچنین روش های نقطه درونی تعقیب مسیر اولیه-دوگان برای مسائل خطی را مرور می کنیم، به ویژه الگوریتم مشهور پیشگو-اصلاحگر میزونو-تاد-یه برای مسائل برنامه ریزی خطی را بیان می کنیم. این الگوریتم جز کارآمدترین الگوریتم های نقطه درونی می باشد و پیچیدگی چندجمله ای و همگرایی فوق خطی را به طور همزمان دارا است‎.‎ ، ، ، .

در این پایان نامه، یک روش نقطه درونی اولیه-دوگان برای بهینه سازی خطی و نیمه معین براساس تابع هسته جدید با جمله مانع مثلثاتی ارائه می شود. نشان می دهیم که کران تکرار برای روش بهنگام سازی کوچک و بهنگام سازی بزرگ به ترتیب عبارتند از o(?n log n/?)‎‎‎ و o(n^(3/4) log??n/??)‎‎‎، که این کران پیچیدگی، بهتر از کران پیچیدگی به دست آمده از تابع هسته ی کلاسیک است.

در تحلیل پوششی داده ها، مدل های پایه ای ‎ccr‎ و ‎bcc‎ در مولفه های شعاعی خود دارای ویژگی پایایی نسبت به واحد اندازه گیری هستند. اما این خاصیت برای متغیرهای کمکی در این مدل ها برقرار نیست و با تغییر واحد اندازه گیری یکی یا چند تا از داده ها، ‎ممکن است مقدار متغیرهای کمکی در بهینگی نیز تغییر کند و جواب قبلی برای مدل، بهینه نباشد. در این پایان نامه، روش و مدلی پیشنهاد می گردد که در پی رفع این مشکل بوده و مدل در تمامی مولفه ها نسبت به واحد پایا می باشد. این مدل که به نام مدل ‎fps‎ مشهور است با توسعه دادن مدل های پایه ای و ترکیب آنها با مدل غیر شعاعی ‎ sbmروشی را برای انتخاب و محاسبه متغیرهای کمکی در پیش می گیرد که در آن ویژگی های زیر برقرار است‎:‎ ‎-1‎ متغیرهای کمکی نسبت به واحد پایا هستند. پس مدل به طور کامل پایاست‎.‎ ‎2‎- بهبودهای نسبی که توسط متغیرهای کمکی صورت می گیرد، ماکزیمم می شوند‎.‎ ‎3‎- بیشترین مقدار اصلاحی که توسط متغیرهای کمکی انجام می گیرد و نیاز است از مولفه های متناظرشان کم شود، محاسبه می شود. به عبارت دیگر، مقدار کامل متغیرهای کمکی به دست می آید‎.‎ این مدل یک مدل تمام جهتی است که ابتدا بهبودهای مربوط به داده هایی که در ماهیت مدل قرار دارند را ماکزیمم می کند و سپس سایر بهبودها را بیشینه می کند. متغیرهای کمکی به دست آمده از این مدل توسط روش ‎psa‎ در یک امتیاز کارآیی کلی تلفیق می شوند که این امر باعث سادگی استفاده از نتایج و تفسیر آنها می شود. در آخر نتایج به دست آمده از این مدل ها با فرض بازده به مقیاس متغیر که برای بررسی کیفیت وام شعب یک بانک بزرگ در کشور کانادا به کار گرفته شده است، بیان می شود.

فرض کنید ( g=(v,e گرافی با مجموعه رئوس v ویالهایe باشد.عدد پوچساز گراف g بزرگترین عدد صحیح k است به طوری که مجموع k جمله اول دنباله درجات غیرکاهشی g حداکثر برابر تعداد یال های g باشد.در این پایان نامه کران بالا برای اعداد احاطه ای برحسب عدد پوچساز ارائه می دهیم.

مسأ‎‎له برنامه ریزی خطی‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ روی‎‎ مخروط ? یا به طور ساده مسأله –lp?، مینیمم کردن تابع خطی روی اشتراک فضای آفین و مخروط ? است. در اینجا ??r^n یک مخروط محدب، رأس دار، بسته، درون ناتهی با رأس در مبدأ است. در این پایان نامه روش های نقطه درونی‎ اولیه-دوگان، در حالت ‎‎خاصی که ? مخروط متقارن (خود دوگان و ‎‎در درونش همگن) است، بررسی می شود. مخروط های متقارن رابطه نزدیکی با جبرهای جردن اقلیدسی‎‎ دارند‎‎ و این جبرها ابزار اساسی برای تجزیه و تحلیل الگوریتم‎‎‎ فراهم می کنند. مخروط‎r_+^n ، مخروط ماتریس های نیمه معین مثبت و مخروط های مرتبه‎‎دوم موارد مهمی از مخروط های متقارن هستند.‎‎ بنابراین مسائل برنامه ریزی خطی‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎(lp)‎‎‎‎‎‎ ، برنامه ریزی نیمه معین ‎(sdp)‎ و برنامه ریزی مخروط مرتبه دوم ‎(‎socp‎‎‎‎)‎‎‎‎‎‎‎‎‎ حالت های خاصی از مسا‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ئل برنامه ریزی خطی روی مخروط متقارن هستند. دسته ای از روش های تعقیب مسیر، الگوریتم های پیشگو- تصحیح هستند که از میان آن ها الگوریتم‎ پیشگو- تصحیح مهروترا‎‎ ‎ به دلیل کارایی عملی بالا، اساس بسته های نرم افزاری ‎ipms‎ است.‎‎ صلاحی و مهدوی امیری‎‎‎‎ نوع جدیدی از الگوریتم پیشگو- تصحیح مهروتر‎ا ‎‎‎‎‎‎‎مرتبه‎‎دوم را پیشنهاد کردند. ‎‎این ‎الگوریتم‎ شامل یک حفاظ است که تکرارها را در همسایگی تعیین شده نگه می دارد و اجازه می دهد اندازه‎گام به قدر کافی بزرگ گرفته شود. این شیوه حفاظ همچنین زمانی که گام مقیاسی آفین به طور ضعیف رفتار می کند، برای تضمین پیچیدگی تکرار چندجمله ای، استفاده می شود. در ‎سال های‎ اخیر لیو و همکارانش الگوریتم پیشگو- تصحیح مهروترا مرتبه دوم ارائه شده توسط صلاحی و مهدوی امیری را به مسائل برنامه ریزی خطی روی مخروط های متقارن تعمیم ‎دادند‎‎‎‎‎‎ و اندازه گام بیشینه در گام پیشگو‎‎ را اندکی اصلاح کردند. در الگوریتم جدید استفاده از شیوه حفاظ زمانی که گام مقیاسی آفین به طور ضعیف رفتار می کند، ضروری نیست و این با الگوریتم ‎‎های قبلی متفاوت است. آن ها همچنین همگرایی چند جمله ای الگوریتم پیشگو-تصحیح مهروترا مرتبه دوم را با بهنگام سازی انطباقی پارامتر مرکزی روی مخروط های متقارن، بررسی کردند. برای حالت شدنی، ثابت شده که الگوریتم جدید بعد از حداکثر o(r log ‎‎?^(-1))‎‎‎‎‎‎ تکرار بر اساس جهت ‎nt‎ متوقف می شود‎ که ‎‎r‎‎ رتبه جبر جردن است.

let g=(v,e) be a graph with vertex set v and edge set e.for two vertices u,v of g ,the closed interval i[u,v] ,consists of u,v and all vertices lying in some u-v geodesic in g.if s is a set of vertices of g then i[s]is the union of all sets i[u,v]for u,v ? s. if i[s]=v(g) , then s is a geodetic set for g.the geodetic number g(g) is the minimum cardinality of geodetic set.the maximum cardinality of a minimal geodetic set is the upper geodetic number g^+ (g). a set s?v(g) is a connected gcedeodetic set of g if i[s]=v(g) and the subgraph in g induced by s is connected.the minimm cardinality of a connected geodetic set of g is the connected geodetic number g_c (g)of g and a connected geodetic set of g whose cardinality equals g_c (g)is a minimum connected geodetic set of g. in this thesis, we study geodetic number and upper geodetic number of graphs.

فرض کنید g=(v(g),e(g)) گرافی با مجموعه رئوس v(g) و مجموعه یال های e(g) باشد. زیرمجموعه s از رئوس g یک مجموعه احاطه گر نامیده می شود هرگاه هر رأس در v(g)-s حداقل با یک رأس در s مجاور باشد. عدد احاطه ای گراف g، کوچکترین اندازه یک مجموعه احاطه گر در g است و با ?(g) نشان داده می‍شود. به وضوح عدد احاطه ای گراف g با حذف یال هایی از g ممکن است افزایش یابد. اگر g یک گراف ناتهی باشد، مینیمم تعداد یال هایی که حذف آن ها باعث افزایش عدد احاطه ای می شود را عدد بانداژ نامیده و با b(g) نشان می دهند. واضح است عدد احاطه ای گراف g با افزودن یال های g افزایش نمی یابد و می تواند کاهش پیدا کند. اگر g یک گراف غیر کامل باشد، مینیمم تعداد یال هایی که افزودن آن ها باعث کاهش عدد احاطه ای می شود را عدد تقویت کننده نامیده و با r(g) نشان می دهند.

فرض کنید g = (v;e) گرافی با مجموعه رئوس v و مجموعه یالهای e باشد. مجموعه d از از رئوس گراف g یک مجموعه احاطه گر است هرگاه هر عضو v-d با راسی از d مجاور باشد. مجموعه d از رئوس گراف g یک مجموعه احاطه گر مهار شده است هرگاه هر راسی که در d نیست با راسی از d و راسی از v-d مجاور باشد. عدد احاطه ای مهار شده g یعنیr(g) مینیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر مهار شده در g است. در این پایان نامه کرانهایی برایr(g) پیدا کرده و گرافهایی را که این کران ها را اختیار میکنند دسته بندی میکنیم.

روش های نقطه-درونی اولیه-دوگان برای حل بسیاری از مسائل بهینه سازی موثر می باشند، از لحاظ تئوری بهترین کران پیچیدگی شناخته شده برای الگوریتم های با طول گام کوتاه، در مقایسه با الگوریتم ها ی بهنگام سازی بزرگ بهتر است ولی در عما الگوریتم های بهنگام سازی بزرگ موثر واقع شدند که این پدیده را شکاف بین تئوری و عنل می نامند. ‎در این پایان نامه ابتدا برخی ویژگی های تابع نزدیکی خود-منظم برای مسائل بهینه سازی خطی بیان می شود که توسط ر‎س‎ و همکاران مطرح گردیده است. توابع نزدیکی خود-منظم خاص که ما در این جا از آن ها استفاده می کنیم، دارای ویژگی های خاصی هستند این ویژگی ها سبب می شوند که وقتی تکرار کنونی در یک همسایگی بزرگ از مسیر مرکزی قرار داشته باشد، تنها انتخاب طبیعی برای بهنگام سازی، بهنگام سازی بزرگ باشد. ما این نتایج را برای طرح یک روش نقطه-درونی برپایه توابع خود-منظم خاص ?_1,3‎‎ و ‎ ?_1,q به کار می بریم و نشان می دهیم که این روش می تواند همانند روش های نقطه-درونی استاندارد، تغییرهای ‎شکاف دوگانی را پیش بینی کند. ‎‎روش ارائه شده‎ یک روش بهنگام سازی بزرگ دینامیکی در همسایگی بزرگ بوده که برخلاف روش های بهنگام سازی بزرگ پیشین از هیچ تکرار داخلی برای بهبود مرکزیت استفاده نمی کند. کران تکرار در بدترین حالت برای این روش o(qn^((q+1)/2q) log?(n/?))می باشد‎،‎‎ که q پارامتر مانع اندازه نزدیکی خود-منظم می باشد. برای ‎ ‎q=log‎ n ‎ این الگوریتم بهترین کران پیچیدگی را برای روش های بهنگام سازی بزرگ، یعنی ‎ ‎‎‎‎o(?(n ) log?n log?(n/?))ا‎ نتیجه می دهد. همچنین برای ‎تابع‎ نزدیکی ?_1,3 کران پیچیدگی در بدترین حالت، یعنی ‎‎o(n^(2/3) log?(n/?)) را به دست می آوریم

با توجه به ساختار شبکه ای زنجیره تأمین، برای محاسبه کارآیی زنجیره تأمین، معرفی مدل تحلیل پوششی داده های شبکه ای ضروری است. همچنین، با توجه به مزایای مدل های غیر شعاعی، در این پایان نامه از مدل غیرشعاعی برای محاسبه کارآیی زنجیره تأمین استفاده شده است که کارآیی یا ناکارآیی واحدهای تصمیم گیری را در یک مرحله شناسایی می کند. از طرفی، برای نزدیک تر کردن محاسبات به واقعیت، مدل ارائه شده با استفاده از داده های فازی نیز فرمول بندی شده است.

روش های تعقیب مسیر اولیه-دوگان از کارآمدترین روش های نقطه درونی برای حل مسائل برنامه ریزی خطی، مسائل درجه دوم، مسائل مکملی و مسائل بهینه سازی مخروطی هستند. این روش ها از لحاظ عملی بسیار موثر بوده و دارای پیچیدگی چندجمله ای ‎می باشند. در این رساله مسائل بهینه سازی خطی و دسته ای از مسائل مکملی تحت عنوان مسائل ‎$‎p_*(kappa)‎$‎-مکملی خطی را در نظر می گیریم و تلاش می کنیم که الگوریتم های تعقیب مسیر با پیچیدگی بهتر و نتایج محاسباتی رضایت بخش تر نسبت به الگوریتم های پیشین ارائه دهیم و یا حداقل به بهترین پیچیدگی که تاکنون ارائه شده برسیم. همچنین روش هایی را برای کمتر کردن فاصله ای که از لحاظ نظری بین الگوریتم های با طول گام کوتاه و الگوریتم های با طول گام بلند وجود دارد، مورد بررسی قرار می دهیم. یکی از ‎‎مزیت های روش های نقطه درونی قابلیت تعمیم آن ها به انواع مختلفی از مسائل بهینه سازی است. در این رساله دو نمونه از این تعمیم ها مدنظر قرار می گیرند. ‎

در سال ‎2005‎ ای و ژانگ برای اولین بار یک الگوریتم بهنگام سازی بزرگ بر اساس همسایگی های وسیع برای مسائل مکملی خطی اکید ارائه دادند که دارای پیچیدگی تئوری یکسان با روش های بهنگام سازی کوچک بود. ‏لیو و همکارانش با اصلاح روش ای-ژانگ، یک الگوریتم اصلاحگر مرتبه دوم برای مسائل برنامه ریزی خطی ارائه دادند. آنها برای بهبود عملکرد الگوریتم ای-ژانگ، در هر تکرار علاوه بر جهت ای-ژانگ یک جهت اصلاحگر را نیز محاسبه کردند و نشان دادند که به کار بردن گام اصلاحگر تاثیری روی پیچیدگی بدترین حالت الگوریتم ندارد. این الگوریتم اولین الگوریتم اصلاحگر مرتبه دوم در همسایگی وسیع با بهترین پیچیدگی شناخته شده برای روش های نقطه درونی است. روش های نقطه درونی را می توان بطور موثری به انواع مسائل بهینه سازی تعمیم داد. به عنوان یک نمونه، به بررسی الگوریتم اصلاحگر مرتبه دوم برای مسائل بهینه سازی نیمه معین می پردازیم.

قالب برنامه ریزی خطی مکرر در عمل استفاده می شود.بسیاری از مسائلی که در دنیای حقیقی نشدنی هستند با تبدیل به قالب فازی حل و جواب بهینه آنها بدست می آید و این به معنی صرفه جویی قابل توجه ای در زمان و بودجه ‎است‎‎. در این‎ پایان نامه برای نخستین بار روش سادک ثانویه فازی را برای مسائل خطی با اعداد فازی ذوزنقه ای متقارن مطرح، و در نهایت منجر به حل مسائل برنامه ریزی خطی فازی بدون تبدیل آنها به شکل رایج می شود. همچنین تحلیل حساسیت را برای این مسائل بررسی می کنیم زمانی که داده ها تغییر می کنند در حالی که جواب بهینه فازی ثابت باقی می ماند.

مجموعه های احاطه گر موضوعی پرکاربرد و گسترده در نظریه ی گراف است که به صورت های گوناگونی تعمیم یافته است و امروزه در سطح وسیعی در دست مطالعه و بررسی است. یکی از انواع این تعمیم ها توابع احاطه گر رنگین کمانی است. تابع ‎$f:v(g) ightarrow p({1‎, ‎2})$‎ را یک تابع احاطه گر ‎2-‎رنگین کمانی روی ‎$g$‎ گویند هرگاه به ازای هر راس ‎$vin v(g)$‎ با ویژگی ‎$f(v)=emptyset$‎ تساوی ‎$igcup_{uin n(v)}f(u)={1‎, ‎2}$‎ برقرار باشد. وزن یک تابع احاطه گر ‎2-‎رنگین کمانی به صورت ‎$omega(f)=sum_{vin v(g)}|f(v)|$‎ تعریف می شود. کم ترین وزن یک تابع احاطه گر ‎2-‎رنگین کمانی روی ‎$g$‎ را عدد احاطه ای ‎2-‎رنگین کمانی ‎$g$‎ گویند و آن را با ‎$gamma_{r2}(g)$‎ نشان می دهند. کم ترین تعداد یالی که می بایست زیرتقسیم شود (هر یال حداکثر یک بار) تا ‎$gamma_{r2}(g)$‎ افزایش یابد را عدد زیرتقسیم احاطه ای ‎2-‎رنگین کمانی ‎$g$‎ گویند و آن را با ‎${ m sd}_{gamma_{r2}}(g)$‎ نشان می دهند. % تابع احاطه گر ‎2-‎رنگین کمانی ‎$f$‎ را ماکسیمال گویند هرگاه % مجموعه ی ‎${ vin v(g) | f(v)=emptyset }$‎ یک مجموعه ی احاطه ای نباشد. %کم ترین وزن ممکن برای یک تابع احاطه گر ‎2-‎رنگین کمانی ماکسیمال روی ‎$g$‎ % را عدد ‎2-‎رنگین کمانی بیشینه ‎$g$‎ گویند و با نماد ‎$gamma_{mr}(g)$‎ %نشان داده می شود. تابع احاطه گر ‎2-‎رنگین کمانی ‎$f$‎ را مستقل گویند هرگاه هیچ دو راسی که ‎$f$‎ به آن ها مقدار غیر تهی نسبت داده است، مجاور نباشند. کم ترین وزن یک تابع احاطه گر ‎2-‎رنگین کمانی مستقل روی ‎$g$‎ را عدد احاطه ای ‎2-‎رنگین کمانی مستقل ‎$g$‎ گویند و آن را با ‎$i_{r2}(g)$‎ نمایش می دهند. پارامترهای ‎$gamma_{r2}(g)$‎ و ‎$ i_{r2}(g)$‎ را قویاً مساوی گویند هرگاه هر تابع احاطه گر ‎2-‎رنگین کمانی روی ‎$g$‎ با وزن ‎$gamma_{r2}(g)$‎، مستقل باشد و می نویسند ‎$gamma_{r2}(g) equiv i_{r2}(g)$‎. در این رساله با ارائه ی یک روش ساختاری، کلیه ی درخت ها و گراف های تک دور با ویژگی ‎$gamma_{r2}(g)equiv i_{r2}(g)$‎ را دسته بندی و عدد احاطه ای ‎2-‎رنگین کمانی در آن ها را محاسبه می کنیم. در خصوص عدد زیرتقسیم ‎2-‎رنگین کمانی نیز ثابت می کنیم که برای هر گراف ‎$g$‎ با بیش از سه راس، ‎${ m sd}_{gamma_{r2}}(g)le 3+min{d_2(v)mid vin v‎, ‎;{ mand}; d(v)ge 2}$‎ که در آن ‎$d_2(v)$‎ تعداد راس هایی از ‎$g$‎ است که در فاصله ی دو از ‎$v$‎ قرار دارند. هم چنین ثابت خواهیم کرد ‎${ m sd}_{gamma_{r2}}(g)le n-delta+2$‎ و ‎${ m sd}_{gamma_{r2}}(g)lemax{gamma_{r2}(g),delta(g)}$‎. در ادامه حدس ‎${ m sd}_{gamma_{r2}}(g)leq gamma_{r2}(g)$‎ را بیان و درستی آن برای چند دسته از گراف ها را نشان می دهیم.

بازی احاطه ای بر روی گراف های ساده ی بدون جهت توسط دو بازیکن $mathcal d$ و $mathcal a$ انجام می شود. هر یک از این بازیکنان در نوبت بازی خود یک یال بدون جهت را انتخاب و آن را جهت گذاری می کنند. بازی را بازیکن $mathcal d$ شروع می کند و در جهت گذاری یال ها به دنبال کاهش عدد احاطه ای گراف جهت داری است که در انتهای بازی به دست خواهد آمد، در حالی که بازیکن $mathcal a$ به دنبال افزایش این عدد است. عدد احاطه ای گراف جهت دار به دست آمده در انتهای این بازی را عدد بازی احاطه ای گراف $g$ می گویند و با $ gamma_g(g) $ نمایش می دهند. اولین بار آلن و همکارانش ${ m (discrete math 256(2002), 23-33)}$ این بازی را که موضوعی مشترک میان نظریه ی بازی ها و مجموعه های احاطه گر در نظریه ی گراف ها است، تعریف کرده و کران $gamma_g(g)+gamma_g(overline{g})leq dfrac{2}{3}n+3$ را وقتی $ g $ و $ overline{g} $ هردو همبند باشند، به عنوان یک حدس مطرح نمودند. در این رساله کران مذکور را در حالتی که $g$ و $ overline{g} $ دارای راس تنها نباشد، اثبات می کنیم. در ادامه ی رساله بازی های احاطه ای جدیدی بر حسب زیرتقسیم یال ها تعریف شده است. اولین بازی با نام بازی زیرتقسیم احاطه ای قواعدی مشابه بازی احاطه ای دارد با این تفاوت که $mathcal d$ در نوبت های بازی خود یکی از یال های بدون علامت $g$ را علامت گذاری کرده و $mathcal a$ یال های انتخابی خود را زیرتقسیم و آن ها را علامت گذاری می کند. بازی زمانی تمام می شود که تمام یال های $g$ علامت گذاری شده باشند. اگر گراف نهایی را با $g$ نمایش دهیم، هدف $mathcal d$ در بازی مینیمم کردن $gamma(g)$ و $mathcal a$ به دنبال افزایش آن است. این عدد را عدد بازی زیرتقسیم احاطه ای $ g $ می نامند و با $gamma_{gs}(g)$ نمایش می دهند. در بخش دوم این رساله، عدد بازی زیرتقسیم احاطه ای در درخت ها بررسی و چند کران برای آن ارائه شده است. هم چنین عدد بازی زیرتقسیم احاطه ای در چند رده از گراف ها به دست آمده است. پس از آن بازی جدید دیگری نیز تحت عنوان بازی زیرتقسیم احاطه ای رومی تعریف می کنیم. جزئیات این بازی کاملا شبیه بازی زیرتقسیم احاطه ای است اما هدف بازیکن های $mathcal d$ و $mathcal a$ در این بازی به ترتیب کاهش و افزایش عدد احاطه ای رومی در گراف جهت داری است که در انتهای بازی به دست خواهد آمد. این عدد را عدد بازی زیرتقسیم احاطه ای رومی $ g $ گویند و با نماد $gamma_{rgs}(g)$ نشان می دهند. در بخش سوم این رساله عدد بازی زیرتقسیم احاطه ای رومی مورد بررسی قرار گرفته و چند کران قابل وصول برای آن در درخت ها ارائه شده است.

مجموعه های احاطه ‏‏گر موضوعی کاربردی و گسترده در نظریه ی گراف می باشد که به صورت های گوناگونی تعمیم یافته و مورد مطالعه قرار گرفته است. زیرمجموعه ی ‎$s$‎ از ‎$‎v(‎g)$‎ را یک مجموعه‎‏ ی احاطه ‏گر گویند هرگاه ‎$n[s]=v(g)$‎. کمترین اندازه ممکن برای یک مجموعه ی احاطه گر را عدد احاطه ای گویند و با ‎$gamma(g)$‎ ‎‏نمایش می دهند. تابع ‎$f:v(g) ightarrow {0,1‎, ‎2}$‎ را یک تابع احاطه گر رومی روی ‎$g$‎ گویند هر گاه هر رأس ‎$vin v(g)$‎ با ‎$f(v)=0$‎ دارای یک همسایه ‎‎‎‎‎‎مانند ‎$‎u‎‎$‎‎‎ باشد به طوری که ‎$f(u)=2$‎‎‏. وزن یک تابع احاطه گر رومی ‎$‎‎‎f‎$‎ به صورت ‎$omega(f)=sum_{uin v(g)}f(u)$‎ تعریف می شود. کمترین وزن‎‏ یک تابع احاطه گر رومی روی ‎$g$‎ را عدد احاطه ای رومی ‎$‎‎‎g‎$‎ گویند و با‎‏ ‎$gamma_{r}(g)$‎ نمایش می دهند. کمترین تعداد یال هایی که می بایست از گراف ‎$g$‎ حذف شود تا عدد احاطه ای رومی آن افزایش یابد را عدد بانداژ رومی گویند و آن را با ‎$b_r(g)$‎ نمایش می دهند. تابع احاطه گر ‎$f$‎‏ ‎‎از ‎$g$‎ را مهار شده گویند در صورتی که زیرگراف القایی توسط ‎$‎v_0‎$‎‎‏ دارای راس تنها نباشد. کمترین وزن یک تابع احاطه گر رومی مهارشده روی ‎$g$‎ را عدد احاطه ای رومی مهارشده ‎$g$‎ گویند و با ‎$gamma_{rr}(g)$‎ نمایش می دهند. یک تابع احاطه گر رومی ماکسیمال روی ‎$g$‎، یک تابع احاطه گر رومی است به طوری که ‎$v_0 = {w in v(g) | f(w)=0}$‎ یک مجموعه ی احاطه گر روی ‎$g$‎ نباشد. کمترین وزن ممکن برای یک تابع احاطه گر رومی ماکسیمال روی ‎$g$‎ را عدد احاطه ای رومی ماکسیمال ‎$g$‎ گویند و با ‎$gamma_{mr}(g)$‎ نمایش می دهند. در این رساله برای عدد بانداژ رومی چند کران ارائه شده و در برخی از آنها گراف هایی که مقدار دقیق کران را احراز می کنند، دسته بندی شده است. در ادامه عدد احاطه ای رومی مهارشده و عدد احاطه ای رومی ماکسیمال برای اولین بار معرفی و برای هر یک چند کران قابل وصول ارائه شده است. مقدار دقیق این پارامترها نیز در برخی از گراف ها محاسبه گردیده است.