برای گروه آبلی توپولوژیک g، مجموعة تمام همومورفیسم های پیوسته از g بتوی گروه دایره ای t همراه با توپولوژی فشرده- باز و عمل ضرب نقطه ای توابع که یک گروه آبلی توپولوژیک هاسدورف است بعنوان دوگان pontryagin این گروه شناخته می شود. فضای دوگان یک گروه آبلی توپولوژیک از لحاظ جبری ایزومورف با فضای دوگان هر زیرگروه چگال خود می باشد.“l. außenhofer” و “ m. j. chesco” مستقل از هم نشان دادند که فضای دوگان یک گروه آبلی متریک پذیر از جنبة توپولوژیکی نیز ایزومورف با فضای دوگان هر زیرگروه چگال خود می باشد که اصطلاحاً گفته می شود یک گروه آبلی متریک پذیر توسط هر زیرگروه چگال خود تعیین می شود یا یک گروه آبلی متریک پذیر یک گروه “تعیین شده ” است.در فصل های اول و دوم این نوشتار، می توانید ببینید که گروههای توپولوژیک از کجا آمده اند؟ نظریة دوگانی pontryagin چیست؟ و همچنین برهان außenhoferرا در تعیین پذیری گروههای متریک پذیر توسط هر زیرگروه چگال خود، مشاهده کنید. در فصل سوم، ساختار گروههای آبلی فشردة موضعی مورد بررسی قرار می گیرد و چگال بودن مؤلفة کمانی عنصر همانی در مؤلفة همبندی آن نشان داده می شود و در پایان تعیین پذیری یک گروه آبلی فشردة موضعی همبند را توسط مؤلفة کمانی عنصر همانی آن خواهیم دید که در مقاله ای از außenhofer با عنوان“on the arc component of a locally compact abelian group” مورد بررسی قرار گرفته است.قضایای کلاسیک این پایان نامه در نظریة گروههای توپولوژیک برگفته از کتابthe structure of compact groups/ k. h. hofmann & s. a. morris” می باشد.