در این پایان نامه خاصیت سایه زنی میانگین مجانبی و خاصیت سایه زنی میانگین برای شارها معرفی شده است، رابطه های بین این خاصیت ها و خاصیت تعدی پذیری برای شارها بررسی شده است. همچنین نشان داده ایم یک شار روی یک فضای متریک فشرده، تعدی پذیر زنجیری است اگر خاصیت سایه زنی میانگین مجانبی مثبت (یا منفی) داشته باشد. یک شار پایدار لیاپونوف مثبت (منفی)، تعدی پذیر توپولوژیکی مثبت (منفی) است به شرط اینکه دارای خاصیت سایه زنی مثبت (منفی) باشد. علاوه بر این، دو شرطی که یک شار را مینیمال میکند بدست آمده است. در انتها ثابت می کنیم یک شار پیوسته با خاصیت سایه زنی میانگین، تعدی پذیر زنجیری است و یک شار پایدار لیاپونوف با خاصیت سایه زنی میانگین، یک شار مینیمال است.