هدف از پژوهشی که پیش روست آشایی با تعاریف و ویژگی های اساسی دوگان و دوگان دوم یک جبرر باناخ آرنز منظمی توابع تقریباً به طور ضعیف دوره ای و یافتن روابط مفید و کاربدی میان مفاهیم فوق می باشد. نشان خواهیم داد g یک گروه فشرده موضعی ناگسسته یا دارای یک زیر گروه میانگین پذیرنامتناهی باشد آن گاه دوگان دوم جبر گروهی g دارای برگشتی است که توسیع برگشت نمی باشد. لذا برای رده های بالا از گروه ها به پرسش دانکن و حسینیون که در سال 1979 مطرح شد پاسخ منفی می دهیم. همچنین شرط لازم و کافی برای این که دوگان زیر فضاهای توکشنده مشخص ا فضای تابع های مختلط مقدار پیوسته و کراندار روی g یک برگشت را بپذیرند را می بایم. نشان می دهیم مسئله برگشت وابسته به یک مسئله مضروب می باشد. در پایان نشان می دهیم که خارج قسمت های نابدیهی معین دوگان دوم جبر گروهی g برگشت دارند.