برای سیستم برهمکنشی از الکترونها و فونونها، هامیلتونی می تواند بصورت h = he + hph + he-ph توصیف شود. که he هامیلتونی برای الکترونهای در حال حرکت در حضور هسته های ثابت است، و hph هامیلتونی برای هسته های متحرک می باشد، که کوانتش توصیف کننده جابه جایی هسته ها«یونها» را فونون می نامند. قسمت he-ph جمله برهمکنشی بین الکترونها و فونونها را توصیف می کند. دیواره های کوانتومی نیمرسانا، ساختارهای جدیدی هستند و یکی از مباحث چالش برانگیز در حوزه فیزیک ماده چگال به حساب می آید که دارای سابقه طولانی در فیزیک است. این عرصه از فیزیک نیمرساناها هم از لحاظ نظری و هم از لحاظ تجربی از اهمیت فراوانی برخوردار است. برهمکنش الکترون- فونون یکی از مباحث مهم در این ساختارها به حساب میآید. برای توصیف هامیلتونی بالا یک مدل ریاضی ارائه می شود و این هامیلتونی ها را در نمایش کوانتش اول و دوم بدست می آوریم. در این تحقیق مراحل زیر انجام شده است: در فصل اول ارتعاشات شبکه در تقریب هارمونیک بررسی شده است و با تعریف عملگرهای خلق و فنای فونونها، هامیلتونی فونونها در نمایش کوانتش دوم بدست آمده است. در فصل دوم هامیلتونی الکترونها و ترازهای الکترونی بررسی شده است و با تعریف عملگرهای خلق و فنای الکترونها، هامیلتونی الکترونها در نمایش کوانتش دوم بدست آمده است. در فصل سوم برهمکنش الکترون- فونون و ماتریس پراکندگی بررسی شده است و هامیلتونی برهمکنشی بین الکترون- فونون در نمایش کوانتش دوم بدست آمده است. در فصل چهارم برهمکنش الکترون - فونون در دیوارههای کوانتومی مورد بحث قرار گرفته است.