معادله ون در پل کاربرد زیادی در مدل سازی پدیده های فیزیکی، مهندسی(مکانیک)، بیولوژیکی دارد, همچنین بعنوان یک مدل در مدارهای الکتریکی در دیود و لیزر دیود بکار می رود. بدین سبب معادله ون در پل مورد توجه ریاضیدانان و مهندسین زیادی واقع شده است. معمولا در ‎ تجزیه و تحلیل مدلها‎, پایداری نقاط سکون و مدارهای دوره ای از اهمیت بسیار بالایی برخوردار است. نقاط پایداری و جواب های دوره ای معمولا تحت اختلالاتی حتی کوچک‎,‎ امکان دارد تغییر کند برای بررسی این مطلب تئوری انشعاب مطرح شد. لذا در این پایان نامه, پایداری و انشعاب دو معادله ون در پل درگیر با توجه به تاخیر زمانی مورد مطالعه قرار خواهدگرفت. بنابراین تغییر پایداری یعنی اینکه از ناپایداری به پایداری و بالعکس با استفاده از یک دنباله از انشعاب هاف بررسی می شود و با استفاده از نرمال فرم ها و قضیه منیفلد مرکزی به محاسبه جهت انشعاب هاف و پایدار کردن جواب های دوره ای ناپایدار در معادلات با تاخیر زمان خواهیم پرداخت.

با توجه به این حقیقت که آونگ غیرخطی مدلی جالب توجه برای پژوهشگران در حوزه علوم مهندسی می باشد ، در این پایان نامه مسأله آونگ غیرخطی را مورد بررسی قرار می دهیم. این سیستم ها غالبا دارای جواب های دوره ای می باشند و می دانیم جواب های دوره ای نقش اساسی در مسائل کاربردی دارند. جواب های دوره ای می توانند پایدار یا ناپایدار باشند که پایدار کردن جواب های دوره ای با استفاده از روشهای کنترل سیستم از اهمیت خاصی برخوردار است .

در این پایان نامه مدل پیشرفته ای از یک پدیده ی اقتصادی مورد مطالعه قرار گرفته است معادله دیفرانسیل تصادفی اغلب برای مدل بندی پدیده های تصادفی مانند تغییرات قیمت سهام و تغییرات سیستمهای مختلف مانند سیستم دینامیکی رشد جمعیت و رشد ویروس ها بکار میرود. معمولا این معادلات نویز سفید را به عنوان مشتق حرکت براونی در خود جای داده اند.در این پایان نامه از معادله دیفرانسیل تصادفی کسری استفاده شده است که مشتق حرکت براونی کسری را به عنوان نویز در خود جای داده است. همچنین در این پایان نامه مدل قیمت گذاری بلک شولز را به عنوان یک مدل پیشرفته اقتصادی معرفی کرده یم و بازارهای کامل و مناسب برای چنین قیمت گذاری ها را معرفی کرد ایم. از انجای که وجود فرصت اربیتراژ در بازارهای مالی باعث ناکارامدی این بازارها میشوند در این پایان نامه روشهای داشتن جواب بدون فرصت اربیتراژ را برای بازار مالی معرفی میکنیم.

در این پایان نامه به بررسی قضیهی وجود جواب برای دستگاه معادلات دیفرانسیل نیمه ضمنی می پردازیم. برای دستگاه معادلات نیمه ضمنی دو حالت کلی وجود دارد. حالت اول اینکه بتوانیم دستگاه را به صزرت یک دستگاه صریح نوشت که در این حالت وجود جواب از قضایای کلاسیک در نظریه معادلات دیفرانسیل بدست می آید، حالت دوم اینکه نتوانیم دستگاه را بصورت صریح بنویسیم که در این حالت از ابزاری به نام شمول دیفرانسیل استفاده می شود.

در این پایان نامه به بررسی وجود مدارهای ضعیف هموکلنیک برای دستگاه معادلات دیفرانسیل تکانشی مرتبه دوم می پردازیم . هدف اصلی معرفی دستگاههای تکانشی و وجود مدارهای هموکلنیک و هموکلنیک ضعیف و همچنین پیدا کردن شرط کافی برای وجود مدارهای هموکلنیک ضعیف در یک دستگاه تکانشی می باشد. در فصل اول مفاهیم و مقدمات لازم را خواهیم آورد.در فصل دوم به معرفی معادلات تکانشی مرتبه اول و دوم و تعریف مدارهای همو کلنیک ضعیف می پردازیم و سرانجام در فصل سوم با استفاده از لم های مورد نیاز به بیان و اثبات قضیه اصلی می پردازیم.

در میان علوم مختلفی که برای تحلیل، بررسی و توسعه دانش بشر نسبت به پدیده های طبیعی وجود دارد علم ریاضیات و بخصوص نظریات هندسی از جایگاه فوق العاده ای برخوردار می باشند. در این پایان نامه با استفاده از یکی از جدیدترین شاخه های علم ریاضیات یعنی نظریه هندسی معادلات دیفرانسیل به بررسی مدل رفتار در یک سلول عصبی می پردازیم. این مدل، مدل فیتز هاگ-ناگومو نام دارد. در مدل های عصبی آنچه که بیشتر از همه اهمیت دارد وجود یک سری فعالیت هایی است که منجر به یک رفتار متناوب می شوند. بنابراین شناسایی رفتارهای دوره ای مورد علاقه دانشمندان و محققان علم نورون شناسی است. در این تحقیق با استفاده از نظریات هندسی و نظریه انشعاب سراسری (انشعاب هاف، انشعاب کاسپ، انشعاب دم پرستویی و .‎..)‎ به دنبال اثبات وجود دقیقا دو دور حدی در دستگاه مدل فیتز هاگ-ناگومو هستیم. اثبات چنین قضیه ای به دلیل وجود ‎5‎ پارامتر در این مدل از پیچیدگی های بسیاری برخوردار است و برای انجام آن از ابزارهای مختلفی همچون خانواده پارامتر دوران، انشعابهای سراسری، نظریه شاخص پوانکاره، تصویر کردن بر نیم کره پوانکاره و نظریه تکینگی های متناهی و نامتناهی استفاده شده است. بنابرین این پایان نامه علاوه بر استفاده کاربردی که در علم نورون شناسی دارد حاوی اطلاعات مفیدی در تمام زمینه های ذکر شده نیز می باشد که از این منظر مورد استفاده برای محققان و دانشجویان رشته ریاضی می باشد.