در این پایان نامه پس از بیان تعریف قاب و بیان اهمیت قاب پارسوال در کاربردها به تعمیم قاب میپردازیم و این گسترش را قاب زیر فضاها می نامیم و بسیاری از قضایای مربوط به قاب را به این تعمیم جدید انتقال می دهیم. قضیه اصلی این پایان نامه در باره قاب زیر فضاهای پارسوال است. همچنین با استفاده از این تعمیم تعریف جدیدی از تجزیه گر همانی ارایه میدهیم که با استفاده از آن به فرمول بازسازی مفیدی دست میابیم.

در این رساله، ما مفهوم نوار نامتناهی و نواری از هذلولوی ها را بعنوان مراکز سازماندهی سیکل های حدی، در دستگاه های معادلات دیفرانسیل روی صفحه معرفی کرده و وقوع یک نوار از هذلولوی ها را در دستگاه های درجه 2 بررسی می کنیم. به منظور حل قسمت متناهی از مسئله 16 هیلبرت برای دستگاه های درجه 2، دوری گراف های تباهیده را مورد بررسی قرار می دهیم. در این راستا از روش هایی از نظریه اختلال تکین و انتگرال های دیورژانس کند کمک می گیریم. یادآور می شویم که روش انجام شده در این رساله در تولید سیکل های حدی با استفاده از نوارهای نامتناهی روشی جدید و متفاوت با کارهایی است که تا کنون در این زمینه انجام شده است.

معادله دیفرانسیل بیان کننده معادله حرکت یک نوسان کننده خطی است که مدارهای جواب آن تناوبی بوده و در یک منیفلد سه بعدی قرار دارند. سوال اساسی که در اینجا مطرح می شود این است که آیا جوابهای دوره ای تحت اختلالهای خطی یا غیر خطی باقی می مانند؟ در این تحقیق معادله دیفرانسیل (1) را تحت اختلالات کوچک مورد بررسی قرار داده و با استفاده از قضایای مربوط به منیفلد مرکزی در نزدیکی انشعاب هاپف سیستم رابه یک سیستم دوبعدی تقلیل می دهیم. این معادله دیفرانسیل تحت اختلال با پارامتر بزرگ به یک سیستم برآشفته تکین تبدیل می گردد که با استفاده از انشعاب هاپف در اینگونه سیستم ها نتایجی برای جوابهای دوره ای در این حالت به دست می آوریم. همچنین قضیه میانگین گیری را که ابزاری برای به دست آوردن جوابهای دوره ای به شمار می رود، در حالتهای غیر هذلولوی توسعه می دهیم.

در آزمایشاتی که روی dna تخریب شده ی سلول های پستانداران انجام شده، دینامیک جالبی از پروتئین p53 در فرآیند ترمیم چرخه ی سلّولی مشاهده گردید. پروتئین p53، شامل سه وظیفه اصلی است 1-از چرخه ی سلّولی جلوگیری می کند، در نتیجه به سلّول زمان می دهد کهdna تخریب شده را ترمیم کند. 2- ژن های مسئول ترمیم dna را فعّال می کند. 3- باعث مرگ سلّولی می شود. تحقیقات نشان داده، پروتئین p53 در برابر آسیب dna شروع به نوسان کرده که این پدیده را می توان توسط یک نوسان گر توصیف کرد. مدل ساده ای از این نوسان گر شامل دو نوع پروتئین p53 وmdm2 است که توسط آنزیم atm فعال می گردد. این نوسان گر شبیه مدار الکتریکی ای رفتار می کند، که توسط سوئیچatm روشن و خاموش (on/off) می شود. در این پایان نامه به مسئله ی پروتئین p53 و نقش آن در ترمیم و عدم ترمیم dna پرداخته و مدل پارامتری معادلات دیفرانسیل معمولی (ode) را برای آن ارائه می دهیم . سپس نقش تئوری انشعاب را بر ترمیم و یا عدم ترمیم dna در این مدل برّرسی کرده و با استفاده از آن به توصیف مسئله می پردازیم. همچنین نشان می دهیم که پارامترها، با به وجود آمدن انشعاب در یک سیگنال آسیب تغییر می کند. به عبارت دیگر هنگامی که dna تخریب می شود ، مناطقی که توسط این سیگنال آسیب پوشش داده شده، توسط یک انشعاب از حالت پایداری در ترمیم سلّول به پایداری آسیب تغییرکرده و برعکس به وسیله ی انشعاب دیگر از حالت پایداری آسیب، به ناحیه پایدارِ ترمیم تغییر می کنند

یکی از معمول ترین مدل های ریاضی در زیست شناسی، مدل شکار ـ شکارچی می باشد که در آن تعامل بین دو گونه از موجودات، که یکی شکار ودیگری شکارچی نامیده می شود، مدل سازی می گردد. مدل دیگری که مورد توجه بسیاری از محققان واقع شده است، مدل شیوع بیماری مسری در یک گونه ی جمعیتی است. که در آن تأثیرات شیوع بیماری بر رشد یک گونه ی جمعیتی مورد مطالعه قرار می گیرد. با تلفیق مدل ریاضی یک بیماری اپیدمیک با مدل شکار ـ شکارچی، مدلی حاصل می شودکه تأثیر شیوع بیماری در یکی از دو گونه را بر تعاملات هر دوگونه توصیف می کند. این مدل به مدل اکواپیدمیکی معروف است. بر اساس مشاهدات طبیــعی می توان دریافت که تأخیر زمانی، در اغلب پدیـده های طبیعی وجود دارد. بنابراین جنبه ی مهم دیگری که در هنگام مدل سازی باید در نظر گرفته شود فاصله ی زمانی موجود برای تولید مثل شکارچی بعد از شکار است. که این زمان ممکن است برای رسیدن شکارچی به سن بلوغ و دوران بارداری باشد. ما در این پایان نامه یک نمونه از مدل های اکواپیدمیک تأخیری را ارائه می نماییم. با در نظر گرفتن تأخیر به عنوان پارامتر انشعاب، پایداری نقطه تعادل مثبت و انشعاب هاف را بررسی می کنیم. به علاوه، جهت انشعاب هاف و پایداری جواب های دوره ای انشعابی با به کارگیری فرم نرمال و قضیه ی منیفلد مرکزی برای معادلات دیفرانسیل تابعی، تعیین می شود. در پایان برای بررسی فرمول های به دست آمده یک مثال عددی ارائه می گردد.

کروم به دلیل استفاده گسترده در صنایع مختلف به یک آلوده کننده جدی محیط زیست تبدیل شده است. اسید سالیسیلیک (sa) یک ترکیب فنلی است که در ایجاد مقاومت به تنش های زیستی و غیر زیستی مختلف در گیاهان دخالت دارد. این طرح با هدف بررسی تاثیر اسید سالیسیلیک بر بهبود آسیبهای ناشی از تنش کروم (cr3+) در مراحل مختلف رشد گیاه شبدر ایرانی انجام شد. برای این منظور دو سری آزمایش به طور مجزا در مراحل جوانه زنی و گیاهچه ای در قالب یک طرح کاملا تصادفی بصورت فاکتوریل با سه تکرار انجام شد. در مرحله جوانه زنی، بذرها در محلول های sa با غلظتهای 0، 5/0، 1 و 5/1 میلی مولار خیسانده شدند و سپس به پتری دیش های حاوی محلول cr3+ (cr(no3)3. 9h2o) در غلظتهای 0، 25، 50 و 75 میلی گرم در لیتر(ppm) منتقل شدند. در این آزمایش صفاتی شامل درصد جوانه زنی، سرعت جوانه زنی، بیومس و طول ریشه چه و هیپوکوتیل اندازه گیری شد. غلظتهای مختلف cr3+ درصد و سرعت جوانه زنی را بصورت معنی داری کاهش داد. همچنین cr3+ بصورت معنی داری تولید بیومس و رشد طولی اندام هوایی و ریشه چه را کاهش داد(05/0?p). اعمال تیمار sa اثرات تنش زایی cr3+ را به صورت معنی داری کاهش داد. در این آزمایش غلظت 5/0 میلی مولار sa موثرترین غلظت بود و مشاهده شد sa در غلظت 5/1 میلی مولار اثرات تنش زایی cr3+ را تشدید نمود. در مرحله گیاهچه ای cr3+ در غلظتهای 0، 10، 15، 20، 30 و 45 میلی گرم در لیتر به محلول غذایی اضافه شد. sa هم در غلظتهای 0، 25/0 و 5/0 میلی مولار به محلولها اضافه شد. پس از 6 هفته گیاهچه ها برداشت و صفاتی شامل وزن خشک اندام هوایی و ریشه، رشد طولی ریشه و اندام هوایی، شاخص کلروفیل(spad)، شاخص پایداری غشا، میزان مقاومت روزنه ای، میزان کروم در اندام های مختلف و میزان پراکنش آن در پیکره گیاه و میزان پرولین برگ و فعالیت آنزیم کاتالاز (cat) سنجش شد. نتایج نشان داد وجود cr3+ در محیط سبب کاهش معنی دار میزان تولید بیومس، شاخص کلروفیل و رشد طولی اندام های مختل می شود (01/0?p). همچنین cr3+ میزان مقاومت روزنه ای و تولید پرولین در برگ را افزایش داد. با افزایش غلظت کروم در محیط میزان کروم انباشت شده در بافتهای مختلف گیاه افزایش یافت که در این میان سهم ریشه تا 50 برابر بیش از اندام هوایی بود. علاوه بر این cr3+ سبب القا انباشت پرولین و کاهش فعالیت آنزیمcat شد. کاربرد sa سبب کاهش فعالیت آنزیمcat شد. اضافه شدن غلظتهای مختلف sa به محلول غذایی نه تنها اثرات منفی کروم را کاهش نداد بلکه آستانه تحمل این گیاه به تنش cr3+ را کاهش داد به این ترتیب که در غلظتهای بالای sa و cr3+ مرگ گیاهچه ها مشاهده شد. در آزمایش سوم در مرحله گیاهچه ای شرایط تنش کروم در خاک ایجاد شد و sa با روش اسپری برگی در اختیار گیاه قرار داده شد. پس از 5 هفته صفاتی شامل میزان بیومس و میزان رنگیزه های مختلف موجود در برگ گیاه سنجش شد. نتایح این آزمایش هم نشان داد اگر چه sa در شرایط عدم تنش تاثیر مثبت بر میزان رنگیزه ها و تولید بیومس داشت اما در کاهش اثرات تنش زایی cr3+ تاثیر معنی داری نداشت(05/0?p). در مجموع پیش تیمار sa در مرحله جوانه زنی توانست اثرات تنش زایی cr3+ را کاهش دهد اما در مرحله رشد رویشی sa نه تنها اثرات تنش زایی کروم را بهبود نداد بلکه آستانه تحمل گیاه را کاهش داد.