بیکن ، بشیر و انچز در سال 2001 [1] بالاخره یک حدس طولانی در نظریه مدول ها را که بیان می کند همه مدول ها روی یک حلقه یکدار، دارای پوشش هموار هستند، ثابت کردند. اما تنها کار معتبر در مورد پوشش سیستم ها روی یک تکواره، متعلق به ایزبل در سال 1971[8]، فانتین در سال 1976[5] و کیلپ در سال 1997[9] می باشد، که آن ها نیز تنها به بررسی پوشش تصویری پرداختند. در این پایان نامه، شرایطی را روی تکواره ها در نظر می گیریم تا سیستم های راست دوری آن ها دارای یک پوشش تصویری باشند، سپس به شناسایی تکواره های کاملی می پردازیم که روی آن ها هر سیستم راست به طور قوی هموار، دارای یک پوشش تصویری باشد. همچنین به مطالعه پوشش های به طور قوی هموار و صادق در شرط (p) سیستم های راست دوری پرداخته و شرایط لازم و کافی برای وجود چنین پوشش هایی را ارائه می کنیم. به علاوه، به شناسایی تکواره هایی می پردازیم که روی آن ها هر سیستم راست، دارای یک پوشش به طور قوی هموار(صادق در شرط (p)) باشد، که این تکواره ها مشابه با تکواره های کامل، توسط شرط (p) و داشتن پوشش به طور قوی هموار(صادق در شرط (p)) برای هر سیستم راست دوری توصیف می شوند. در پایان، به بررسی و اثبات یکتایی پوشش های تصویری و به طور قوی هموار سیستم های راست(دوری) روی تکواره ها می پردازیم.

در این پایان نامه بعضی نتایج روی عدد خوشه ای و عدد رنگی گراف ایده آل های پوچ ساز یکدیگر حلقه جابجایی را نشان می دهیم. هم چنین ثابت می شود اگر r حلقه ای آرتینی و عدد خوشه ای گراف ایده آل های پوچ ساز یکدیگر حلقه r دو باشد آن گاه r حلقه ای گرنشتاین است. به علاوه حلقه های جابجایی را که گراف ایده آل های پوچ ساز یکدیگر آن ها کامل، دربخشی یا ستاره ای باشد را بررسی می کنیم.