نظریه نقطه ثابت شاخه ای کهن از ریاضیات است که در طی سال های متمادی دستخوش تغییرات فراوان گشته و بی شک کاربرد آن در زمینه هایی از قبیل معادلات دیفرانسیل، نظریه بازی ها و اقتصاد ریاضی براهمیت آن افزوده است. این نظریه توسط ریاضیدانان بسیاری مورد مطالعه و بررسی قرار گرفت. قضایای اثبات شده به وسیله ی این ریاضیدانان وجود نقطه ثابت رادر نگاشت هایی با شرایط و فرضیات متفاوت تحقیق می کند. اولین مطالعه ی وجود نقطه ثابت یک نگاشت با فرض انقباض، توسط باناخ انجام شد. او در سال 1922 قضیه نقطه ثابت مشهورش را ثابت کرد. بعد از ارائه قضیه نقطه ثابت با شرط انقباض بر روی نگاشت توسط باناخ، تعمیم های متنوعی از این قضیه صورت گرفت. این مطلب انگیزه ای برای مطالع انقباض هایی متفاوت از انقباض باناخ شد. کریستی، الستین، اکلند، میر و کیلر، برودر و ندلر لز جمله کسانی هستند که به این امر پرداختند. در این پاین نامه به معرفی و بررسی نگاشت های انقباض گوناگون و اثبات وجود نقطه ثابت در آنان می پردازیم. در ابتدا اصل انقبض باناخ و تعمیم هایی از آن را مطالعه می نماییم.سپس فرآیندهای تکرار نقطه ثابت و همگرایی انواع نگاشت انقباض به نقطه ثابت نگاشت مذکور را تحقیق می کنیم. در پایان نیز نگاشت هایی که در آنان یکتایی نقطه ثابت الزامی نیست را مورد بررسی قرار می دهیم.