Key polynomials, invariant factors and an action of the symmetric group on Young tableaux

We give a combinatorial description of the invariant factors associated with certain sequences of product of matrices, over a local principal ideal domain, under the action of the symmetric group by place permutation. Lascoux and Schützenberger have defined a permutation on a Young tableau to associate to each Knuth class a right and left key which they have used to give a combinatorial description of a key polynomial. The action of the symmetric group on the sequence of invariant factors generalizes this action of the symmetric group, by Lascoux and Schützenberger, to Young tableaux of the same shape and weight. As a dual translation, we obtain an action of the symmetric group on words congruent with key-tableaux based on nonstandard pairing of parentheses. Résumé. Nous donnons une description combinatoire des facteurs invariants associés à certaines suites de produits de matrices, sur un domaine local des idéaux principaux, par l’action du groupe symétrique au permutation de place. Lascoux et Schützenberger ont consideré une permutation sur un tableau de Young pour associer à chaque classe de Knuth une clef gauche et droite qu’ils ont utilisé pour donner une description combinatoire d’un polynôme de clef. L’action du groupe symétrique sur la suite des facteurs invariants generalise cette action du groupe symétrique, dû à Lascoux et Schützenberger, aux tableaux de Young de même forme et poids. Comme résultat dual nous obtennons une action du groupe symétrique sur les mots congrues aux tableaux de clef basée au couplage non-standard des parenthèses.